矢量法在数学应用中的证明.doc

矢量法在数学应用中的证明摘要: 解释了矢量法在平面几何、在证明共点问题中、初等几何中、数学分析、 法解析几何 、高等代数等领域的证明题中的应用.关键词: 矢量法 数学证明数学中的应用；矢量法在数学中的应用非常广泛, 在数学某些问题的证明中引入矢量法 , 可使证明过程大大简化, 有利于学生理解矢量法的应用, 也有助于启发学生更好地学间解析几何下面解释矢量法在平面几何、数学分析、高等代数等三领域应用，并加以例题说明.1、 在平面几何中的应用例 1连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半( 三角形的中位线定理) .证 如图 1 设 二边，之中点分别为，那么， 且所以,1.在证明共点问题中的应用在证明三线共点问题上可采取如下两种常用方法: 第一, 可把共点问题转化为证明从同一始点引出的三矢量相等; 第二, 先证两直线交于一点, 再证明该交点也在另外一直线上.例 2四面体对边中点的连线交于一点, 且互相平分.证 如图 2 设四面体一组对边，的中点 ， 的连线的中点为 , 其余两组对边中点连线的中点分别为 只需证明 三点重合即可.取不共面的三矢量，,先求用的线性表达式。连接AF，应为是的中线，所以有,又因为是的中线。所以又有，而从而得同理可得 例3试证三角形的三条高交于一点。该结论在平面几何中的证明非常麻烦, 但如果使用矢量法则非常简便易懂。证 如图3 设有, 两边上的高交于点, 再设, , 那么, , . 因为,所以, 即, 又因为, 所以，即,从而,即, 所以.这就证明了点在第三条边上的高线上, 所以的三条高线交于一点2. 矢量法在初等几何中的证明引理1 三点的共线的充要条件是：存在实数，使。引理 2 如图4所标，设为的中线，则：例4 证明三角形三个中线共点。证 如图5所标，设三个中线分别为为中点，并设与交于点，只需证明共线。 在这里选取坐标矢量：则，又引理2可得因为共线，共线，又引理1可设：于是则 解得 因此又引理1的共线，即三个中线共点，证毕。错误！未找到引用源。图5二在数学分析中的应用在数学分析中, 利用积分证明柯西施瓦兹不等式非常麻烦, 而如果利用矢量法证明则非常简洁。例5 利用矢量的数性积证明证 设，。因为 ，而。所以，从而，所以三、 在高等代数的应用在高等代数中对于克莱姆法则的证明相当麻烦, 而且不易理解, 而改用矢量法则可使证明过程大大简化 例6 设为三个不共面的矢量，求矢量对于的分解式。解 可设为，为确定x的值，可在等式的两边分别与矢量作数积，即在等式两边分别与作混合积，则有，而，所以，因为不共面，所以，所以。同理可求得，。取直角坐标系，设的分量为，。把这些分量代入上面的分解式与的表达式，上面的解法就是解线性方程组，的克莱姆法则。四矢量法解析几何中的证明例7 用矢量在空间解析中的应用证 如图4 在 中，设 由矢性积的几何意义等式中消去有，同时除，可得， 变形可得 。从以上例题可以看出，用矢量法证明某些数学问题简单明了。矢量法的应用非常广泛。参考文献： 1吕林根, 许子道. 解析几何 M . 北京: 高等教育出版社, 1993. 160. 2朱鼎勋. 空间解析几何 M . 上海: 上海科学技术出版社, 1986. 47128. 3 陈志杰.高等代数与解析几何 M . 北京: 高等教育出版社,2000：361365Proof in vector method in mathematical applicationAbstract: Explained the Plane geometry of vector method, in prove of Concurrent problems, in elementary geometry. mathematics analysis ,method of analytic geometry and proof of higher algebras