物理学2a-质点运动学小结.pdf

质点运动学小结 张宏浩 中山大学 Contents 1质质质点点点的的的速速速度度度和和和加加加速速速度度度1 2坐坐坐标标标系系系2 2 1直角坐标系 2 2 2平面极坐标系 2 2 3自然坐标系 3 3典典典型型型的的的曲曲曲线线线运运运动动动4 3 1匀加速运动 4 3 1 1匀加速直线运动 4 3 1 2抛体运动 4 3 2圆周运动 5 3 2 1匀加速圆周运动 6 3 2 2匀速圆周运动 6 4相相相对对对运运运动动动6 4 1牛顿的绝对时空观 6 4 2伽利略变换 Galilean transformation 7 4 2 1坐标变换 7 4 2 2速度变换 7 4 2 3加速度变换 8 4 3平动和转动的参考系 9 4 3 1平动参考系 9 4 3 2转动参考系 9 1 2坐标系 1质质质点点点的的的速速速度度度和和和加加加速速速度度度 质质质点点点 particle 如果物体的内部结构或运动可以忽略 而且它的所有部 分以相同方式运动时 我们可以把它看成质点 We often treat physical objects as particles by which we mean bodies whose internal structures or motions can be ignored and whose parts all move in exactly the same way 参参参考考考系系系 Reference frame 每一个观察者定义了一个参考系 一个参 考系需要一个坐标系和相对于其静止的一系列钟 使得该观察者在其 中可以观测位置 速度 以及加速度等物理量 Each observer defi nes a reference frame A reference frame requires a coordinate system and a set of clocks which enable an observer to measure positions velocities and accelerations in his or her particular reference frame 在参考系上可选择一点作为原点 质点的位置可用从原点到质点的矢 量 r 表示 称为位矢 质点的运动则由位矢随时间 t 的变化 r t 描述 质 点的位矢在某一段时间 t 之间的变化 r 称为质点的位移 displacement 质点的速度 velocity 和加速度 acceleration 分别定义如下 v d r dt lim t 0 r t 1 a d v dt d2 r dt2 2 若简记任一物理量 X 对时间的导数为 X 则上面的式子可记为 v r a r 3 2坐坐坐标标标系系系 2 1直直直角角角坐坐坐标标标系系系 在三维平直空间可以建立直角坐标系 正交归一的基矢 ex ey ez 不随 时间变化 因此在直角坐标系中 r x ex y ey z ez 4 v x ex y ey z ez 5 a x ex y ey z ez 6 c 张宏浩 中山大学2 2坐标系2 2平面极坐标系 2 2平平平面面面极极极坐坐坐标标标系系系 对于平面问题 还可以建立平面极坐标系 r 其正交归一的基 矢 er e 随地点而异 在一个固定的平面直角坐标系下可表示为 er cos ex sin ey 7 e sin ex cos ey 8 由 d ex y 0 可得 d er d e d e d er 9 因此 er d er dt d dt d er d e e er 10 而在平面极坐标系中 质点的位矢 r 为 r r er 11 因此其速度为 v r r er r er r er r e 12 其加速度为 a v r er r er r e r e r e r er r e r e r e r 2 er r r 2 er 2 r r e 13 2 3自自自然然然坐坐坐标标标系系系 以质点在 A 点速度的切向单位矢量和指向曲线凹侧的法向单位矢量 et en 为 基矢建立的坐标系 称为自然坐标系 由定义可知 v v et 14 自然坐标系的基矢与以该运动曲线在 A 点的曲率中心为原点建立的瞬时平 面极坐标系基矢 er e 的关系为 et e sin ex cos ey 15 en er cos ex sin ey 16 c 张宏浩 中山大学3 3典型的曲线运动 由Eq 10 立得 et en en et 17 因此在自然坐标系中质点的加速度为 a v v et v et v et v en 18 又由Eq 14 可知位移的长度为 d r vdt R d 19 其中 R 为曲线 A 点的曲率半径 因此 v R 将其代入Eq 19 可得 a v et v2 R en 20 由于 v2 R 0 直线运动时任一点曲率半径 R 这时等号成立 可知质点作任意曲线运动时 加速度的方向只可能指向曲线的凹侧 不可 能指向曲线的凸侧 3典典典型型型的的的曲曲曲线线线运运运动动动 3 1匀匀匀加加加速速速运运运动动动 a Const 21 v t v0 Z t 0 dt a v0 a t 22 r t r0 Z t 0 dt v r0 v0t 1 2 a t 2 23 3 1 1匀匀匀加加加速速速直直直线线线运运运动动动 当 a 为常矢量 而且 a 与 v 共线时 则质点作匀加速直线运动 v v0 a t 24 x x0 v0t 1 2a t 2 25 两式联立消去 t 还可得到位移 x 与速度 v 的关系 2a x x0 v2 v2 0 26 c 张宏浩 中山大学4 3典型的曲线运动3 2圆周运动 3 1 2抛抛抛体体体运运运动动动 取抛射点为坐标原点 设抛射角为 以水平方向和竖直方向分别为 x 轴 和 y 轴 则有 x0 y0 0 27 v0 x v0cos v0y v0sin 28 a0 x 0 a0y g 29 质点在 x 方向和 y 方向分别作匀速和匀加速直线运动 x v0cos t 30 y v0sin t 1 2gt 2 31 两式联立消去 t 可得抛体的轨迹方程为 y xtan gx2 2v2 0cos2 32 令上式中 y 0 可得 x 的两个根 x1 0 x2 v2 0sin2 g 33 因此抛体的射程为 x2 x1 v2 0sin2 g 在 45 时射程最大 3 2圆圆圆周周周运运运动动动 圆周运动适合在平面极坐标系中描述 以圆心为极坐标原点 则质点的位 矢为 r R er 这里 R Const 34 令 12 和 13 式中的 r R Const 可求得作圆周运动的质点的速度和 加速度为 v R e a R 2 er R e R 2 en R et 35 其中加速度 a 中的径向部分 R 2 er称为向心加速度 用以改变质点运动 方向使之维持作圆周运动 它的切向部分 R e 才是引起线速度大小变化 的原因 c 张宏浩 中山大学5 4相对运动 事实上对于圆周运动的质点 我们着重关注的是角量 角位置 角 位移 角速度 和角加速度 由Eq 35 可知线量与角 量的关系为 速率与角速度 v R 36 切向加速度与角加速度 at R 37 法向加速度与角速度 an R 2 v2 R 38 以上讨论的是一般的圆周运动 以其为基础 我们下面可以讨论更具体的 匀加速圆周运动和匀速圆周运动 3 2 1匀匀匀加加加速速速圆圆圆周周周运运运动动动 Const 39 0 t 40 0 0t 1 2 t 2 41 后两式联立消去 t 可得 2 0 2 2 0 42 3 2 2匀匀匀速速速圆圆圆周周周运运运动动动 Const 43 0 t 44 4相相相对对对运运运动动动 4 1牛牛牛顿顿顿的的的绝绝绝对对对时时时空空空观观观 牛牛牛顿顿顿对对对绝绝绝对对对空空空间间间的的的定定定义义义 Absolut space in its own nature without relation to anything external remains always similar and immovable 绝对空间 就其本性而言 与外界任何事物无关 而永远是相似的和 不可移动的 c 张宏浩 中山大学6 4相对运动4 2伽利略变换 Galilean transformation 牛牛牛顿顿顿对对对绝绝绝对对对时时时间间间的的的定定定义义义 Absolut true and mathmatical time of itself and from it own nature fl ows equally without relation to anything external 绝对 真实与数学的时间本身 由于它的本性而均匀流逝 与外界任 何事物无关 绝绝绝对对对时时时空空空观观观 在不同的参考系 对长度和时间的测量结果是相同的 在弱引力 低速 远低于真空光速 运动情况下 绝对时空观符合实验结 果 4 2伽伽伽利利利略略略变变变换换换 Galilean transformation 4 2 1坐坐坐标标标变变变换换换 设参考系 O0相对于参考系 O 作任意运动 这意味着在参考系 O0相对静 止的基矢 e0i 在参考系 O 观测者看来有可能随时间 t 而变化 设空间任 一质点 P 在参考系 O0观测者看来的位矢为 r0PO0 x0i e0i 45 另一方面 在参考系 O 观测者看来 该点与 O0点之间的距离可以通过矢 量的减法得到 rPO0 rPO rO0O 46 牛顿绝对时空观认为 P 点与 O0点之间的距离在任何参考系的观测者 看来都是相同的 即 rPO0 r0PO0 因此我们得到了伽利略的坐标变换公 式 rPO r0PO0 rO0O x0i e0i rO0O 47 4 2 2速速速度度度变变变换换换 在参考系 O 观测者看来 质点 P 的位矢 rPO t 随时间 t 而变化 O0相 对于 O 作的运动 rO0O t 也随时间 t 而变化 另一方面 在参考系 O0观测 者看来 P 的位矢 r0PO0 t0 则在随时间 t0而变化 c 张宏浩 中山大学7 4相对运动4 2伽利略变换 Galilean transformation 牛顿绝对时空观认为 两个事件之间的时间间隔在任何参考系的观测者 看来都是相同的 因此可通过调节 t 和 t0的原点使得 t t0 将 47 式对 时间 t 求导 我们便得到了伽利略的速度变换公式 d rPO dt d r0PO0 dt d rO0O dt d dt x 0 i e0i d rO0O dt dx0i dt e0i x0i d e0i dt d rO0O dt dx0i dt0 e0i x0i d e0i dt d rO0O dt 48 其中等号左边即质点 P 在参考系 O 的速度 被参考系 O 观测者称为绝对 速度 absolute velocity 等号右边最后一行的第一项即质点 P 相对于参 考系 O0的速度 称为相对速度 relative velocity 最后一行的第二项与 第三项之和 称为牵连速度 connected velocity 它表示在质点 P 的位 置相对于参考系 O0静止的质点相对于参考系 O 的速度 因此我们可以把 伽利略速度变换公式记忆为 绝对速度 相对速度 牵连速度 49 4 2 3加加加速速速度度度变变变换换换 将 48 式继续对时间 t 求导 我们可得到伽利略的加速度变换公式 d2 rPO dt2 d2 r0PO0 dt2 d2 rO0O dt2 d2x0i dt2 e0i 2dx 0 i dt d e0i dt x0i d2 e0i dt2 d2 rO0O dt2 50 其中等号左边即质点 P 在参考系 O 的加速度 被参考系 O 观测者称 为绝对加速度 absolute acceleration 等号右边最后一行的第一项即 质点 P 相对于参考系 O0的加速度 称为相对加速度 relative acceler ation 最后一行的最后两项之和 称为牵连加速度 connected accel eration 它表示在质点 P 的位置相对于参考系 O0静止的质点相对于 参考系 O 的加速度 最后一行的第二项是有趣的一项 它在 dx0i dt 6 0 且 d e0i dt 6 0 时不为零 它在转动参考系中通常被称为科里奥利加速度 Coriolis acceleration 因此 一般地 我们有 绝对加速度 相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度 51 c 张宏浩 中山大学8 4相对运动4 3平动和转动的参考系 由 50 式可看出 科里奥利加速度在下列三种情况下为零 1 质点 P 相对于参考系 O0静止 这时相对速度的所有分量为零 即 dx0i dt 0 for all i 2 参考系 O0相对于参考系 O 作平动 即 d e0i dt 0 for all i 3 dx0i dt 0 for some i 且 d e0i dt 0 for other i 4 3平平平动动动和和和转转转动动动的的的参参参考考考系系系 4 3 1平平平动动动参参参考考考系系系 若参考系 O0相对于参考系 O 所作的运动能够保持在参考系 O0相对静止 的所有基矢 e0i 不随时间变化 则称为参考系 O0相对于参考系 O 作平 动 由定义 平动等价于 d e0i dt 0 for all i 特别地 若参考系 O0相对于参考系 O 作速度为 v ex的匀速直线运动 可调节坐标使得在 t t0 0 时两参考系原点重合 则伽利略变换为 x x0 vt0 y y0 z z0 t t0 52 ux u0 x v uy u0y uz u0z 53 a a0 54 若参考系 O0相对于参考系 O 作速度为 ac的匀加速直线运动 这时速 度变换的 53 式仍然成立 加速度变换则应为 a a0 ac 55 4 3 2转转转动动动参参参考考考系系系 若两参考系的原点重合即 rO0O 0 参考系 O0相对于参考系 O 作圆周 运动 在某一时刻 t 的瞬时速度为 ez ez 我们可将相对于参考 c 张宏浩 中山大学9 系 O0静止的正交归一基矢 e0i 在参考系 O 的转动用角位移 参数化为 e0 x cos ex sin ey 56 e0y sin ex cos ey 57 e