辽宁省沈阳市高中数学《 坐标系与参数方程》课件 新人教版选修44.ppt

坐标系与参数方程 地位与作用 是 平面解析几何初步 和 圆锥曲线与方程 的延续与拓广 地位与作用 是解析几何与函数 三角函数 向量等内容的综合应用 内容 是高中数学课程选修系列4 4的第四个专题 包括 坐标系 和 参数方程 两部分内容 内容 第一讲坐标系一 平面直角坐标系二 极坐标系三 简单曲线的极坐标方程四 柱坐标系与球坐标系简介 内容 第二讲参数方程一 曲线的参数方程二 圆锥曲线的参数方程三 直线的参数方程四 渐开线与摆线 坐标系的作用 坐标系是解析几何的基础 有了坐标系 使几何问题代数化成为可能 它是实现几何图形与代数形式互相转化的基础 使精确刻画几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能 坐标系的多样性 在不同的坐标系中 同一个几何图形可以有不同的表现形式 这使解决问题的方法有了更多的选择 平面直角坐标系 教材从一个思考题出发 复习了建立平面直角坐标系解决实际问题的方法 并进一步提出思考 这种方法与用直角坐标刻画点p的位置有什么区别和联系 你认为哪种方法更方便 为引入极坐标系埋下了伏笔 伸缩变换的定义 设点是平面直角坐标系中的任意一点 在变换的作用下 点对应到点 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 极坐标系 在平面内取一个定点o 叫做极点 自极点o引一条射线ox 叫做极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 极坐标 设m是平面内一点 极点o与点m的距离叫做点m的极径 记为 以极轴ox为始边 射线om为终边的角xom叫做点m的极角 记为 有序数对叫做点m的极坐标 记做m 一般地 不作特殊说明时 我们认为 可取任意实数 极坐标 建立极坐标系后 给定和 就可以在平面内惟一确定点m 反过来 平面内任意一点 也可以找到它的极坐标 请注意 这里没有强调一一对应 不惟一性 一般地 极坐标与表示同一个点 特别地 极点o的坐标为和直角坐标不同 平面内一个点的极坐标有无数种表示 惟一性 如果规定 那么除极点外 平面内的点可用惟一的极坐标表示 同时 极坐标表示的点也是惟一确定的 极坐标和直角坐标的互化 设m是平面内任意一点 它的直角坐标是 极坐标是 可以得到它们之间的关系 曲线的极坐标方程 一般地 在极坐标系中 如果平面曲线c上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 并且坐标适合方程的点都在曲线c上 那么方程叫做曲线c的极坐标方程 圆的极坐标方程 圆心在极点的圆的极坐标方程为圆心不在极点 但经过极点的圆的极坐标方程是其中是非零数 是常数 直线的极坐标方程 其为常数 重点 过极点的直线 柱坐标系的概念 柱坐标系 柱坐标与直角坐标的互化 球坐标系的概念 球坐标系 球坐标系 球坐标与直角坐标的互化 曲线的参数方程 参数方程是曲线的另一种表现形式 它弥补了普通方程表示曲线的不足 极坐标与参数方程为研究较为复杂的曲线提供了工具 参数方程的概念 一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组所确定的点都在这条曲线上 那么方程就叫这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 参数方程和普通方程的互化 可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 如果知道变数x y中的一个与参数t的关系 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系 那么就得到曲线的参数方程 参数方程的应用 求常用曲线的参数方程直线的参数方程圆锥曲线的参数方程渐开线与摆线 圆锥曲线的参数方程 椭圆的参数方程双曲线的参数方程抛物线的参数方程 直线的参数方程 经过点 倾斜角为的直线的参数方程是 参数方程曲线欣赏 摆线渐开线 渐开线 将一个圆轴固定在一个平面上 轴上缠线 拉紧一个线头 让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切 那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线 渐开线 直线在圆上纯滚动时 直线上一点k的轨迹称为该圆的渐开线 该圆称为渐开线的基圆 直线称为渐开线的发生线 渐开线的形状仅取决于基圆的大小 基圆越小 渐开线越弯曲 基圆越大 渐开线越平直 基圆为无穷大时 渐开线为斜直线 渐开线方程 渐开线方程为 x r cos r sin y r sin r cos 式中 r为基圆半径 为展角 其单位为弧度 渐开线画法 摆线 摆线是研究一个动圆在一条曲线 基线 上滚动时 动圆上一点的轨迹 当基线是直线时 就得到平摆线或变幅平摆线 当基线是圆且动圆在定圆内滚