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第二部分题型研究 题型五几何探究题 类型四旋转变换问题 例4 2017河南 如图 在Rt ABC中 A 90 AB AC 点D E分别在边AB AC上 AD AE 连接DC 点M P N分别为DE DC BC的中点 例4题图 1 观察猜想图 中 线段PM与PN的数量关系是 位置关系是 解 1 PM PN PM PN 解法提示 AB AC AD AE BD CE M P N分别为DE DC BC的中点 PMCE PNBD PM PN DPM DCE CNP B DPN PNC PCN B PCN A 90 B ACB 90 MPN MPD DPN ACD PCN B ACB B 90 PM PN 2 探究证明把 ADE绕点A逆时针方向旋转到图 的位置 连接MN BD CE 判断 PMN的形状 并说明理由 思维教练 根据旋转的性质及中位线性质易得MP NP 再利用三角形中角度间的关系进一步验证是否存在特殊角 2 PMN为等腰直角三角形 理由如下 AB AC AD AE BAC DAE 90 ABC和 ADE均为等腰直角三角形 BAD DAC DAC CAE BAD EAC BAD CAE SAS ABD ACE BD CE 又 M P N分别是DE CD BC的中点 PM是 CDE的中位线 PMCE 同理 PNBD PM PN MPD ECD PNC DBC MPD ECD ACD ACE ACD ABD DPN PNC PCN DBC PCN MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB 90 PMN为等腰直角三角形 3 拓展延伸把 ADE绕点A在平面内自由旋转 若AD 4 AB 10 请直接写出 PMN面积的最大值 思维教练 由 2 得到 当 ADE旋转时 PMN无论怎么变化都是等腰直角三角形 其面积可表示为PM2 要使其面积最大 则PM要最大 故问题转化为在旋转过程中寻找PM的最大值 3 PMN面积的最大值为 解法提示 由 2 可知 当 ADE旋转时 PMN为等腰直角三角形 S PMN PM2 要使 PMN的面积最大 即PM最大 由 2 得 PM CE 即当CE最大时 MP最大 如解图所示 当点C E在点A异侧 且在同一条直
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