初三(下)数学竞赛辅导.doc

九年级数学竞赛辅导材料（下）61、函数的图象62、绝对值63、动态几何的定值64、最大 最小值65、图象法66、辅助圆67、参数法证平几68、选择题(二) 69、数的整除(三) 70、正整数简单性质的复习初三（下）数学竞赛辅导资料（61）函数的图象甲内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象.例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k 0)的图象是一条直线l. l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b； 若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1) 在直线l 上.2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x,y 的 二元一次方程kxy+b=0,那么直线l就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数，a0,b0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.例如：二元二次方程y=ax2+bx+c(a0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=(k0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律.例如： 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； 由图象的上升，下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小)； 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y0,y0,f(x)0 的解集和方程f(x)=0的解. 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是：应先确定自变量的取值范围.要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.乙例题例1.右图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)，试决定a,b,c 及b24ac的符号.解：抛物线开口向下，a0且a0.抛物线与纵轴的交点在正半轴上，截距c0.抛物线与横轴有两个交点， b24ac0.例2. 已知：抛物线f：y=(x2)2+5.试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程.画出f1和f2的略图，并求：（1） x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的；（2） x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；（3） 求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.（1980年福建省中招试题）解：f1：y=x2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f2 ：y=(x2)25 (由开口方向相反确定的).（1）当x0时，f1下降，当x2时，f2下降，当0x2时，曲线f1和f2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组x22x3=0 . x=1；或x=3. 当1x 3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间 1x 3内，设f1 上的点P1(x,y1), f2 上的点P2(x,y2)，求y1y2的最大值，可用配方法：y1y2(x2+5) (x2)252x2+4x+62(x1)2+8. 20，y1y2有最大值.当x=1 时，y1y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=的图象.解： 自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x1 时，y=(x+1)(x2)=2x+1；当1 x2时，y=x+1(x2)=3 ； 当x 2时， y=x+1+x2=2x1. 即y= x2123y=2x+1(x1)53y=3(1x2)33y=2x1(x2)35画函数y=的图象如下图：例4. 画方程x2+y2=1 的图象， m 表示不超过m 的最大整数.(1985年徐州市初中数学竞赛题).解：x20，且y2=1x20，x21 . 0x21.m 表示不超过m 的最大整数，当x2=0x=00x1 . 当x2=1x= 自变量x的取值范围是：1x2.x1x0 0 x11x2 x101x2101y2=1x2 010 y0110 y0y11y01y20y0,那么y=kx+k中，当k0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D)； 注意到y=1中， 当x=0和x=1时 y有最大值1，故选(A).丙练习611. 填空： 横坐标为2的点的集合，记作直线，纵轴记作直线，横轴记作直线，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程. 点P（x,y）关于横轴的对称点P1的坐标是（），点P关于原点的对称点P2的坐标是（）.f：y=3(x2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作f关于原点对称的抛物线f2记作. A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（）.点B（2，3）关于直线y=x的对称点B，的坐标是（）.2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 直线y=kx+b经过二、一、四象限，则k,b的符号是 抛物线y=ax2+bx+c的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a_, _,b_,c_,b24ac_,_3. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（）.（A）p=q, r=0 .(B) p=q, r=0.(C)p=q, r=1.(D) p=q, r=1.（2）下图（2）是二次函数y=ax2+bx+c的图象，如下答案哪个正确？（）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c0.（D）a+b+c值不定. (1) （3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a0 , m0, n0 它的图象（）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（）5（D）（5）在同一坐标系内，y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是（）(6)已知函数y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（）（1983年福建省初中数学竞赛题）)(x-6)(x+2 = 0.2)(xf-54.画下列函数的图象y=； y=； y=()2； y=.5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ；y=x22|x|3.7.这是一张追及图看图回答：谁追及谁？谁早出发，早几小时？甲、乙在这段路程速度各多少？追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.8.如图，抛物线L1：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；.求出点B和点C的横坐标；.若ABBC，OCOD，求a,b,c的值 . 9.坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=-1CBDA1的图象上找出满足y的所有整点(x,y), 并说明理由.(1995年全国初中数学联赛题)（8）练习611. x=2,x=0,y=0,y=x,y=x；(x,y),(x,y)；y=3(x2)25, y=3(x+2)25(3，1)，(3，2) 2.k0.正，负，正，负，负，正，负.3. (A)，(B)，(B)，(C)，(D)，(C) 4.x0，图象不以过原点；y0；x0；y0. 5.y=(x 是正整数xm=5). 6.（如图）7.乙追及甲；甲先1小时；时速甲4、乙5千米；乙用4小时追上甲先走的4千米y甲=4x, y乙=5x 8.由图象a,a+1异号，L2过A，B，C三点.3，1.，0，. 9.(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(3，3)，(6，6).由x2x+1810.当x0时，x2x+1810x, x211x+180, (x2)(x9)0，2x9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当x0时，x2x+1810x, x29x+180，（x+6）(x+3)0，6x3, 这时有两个整数点：(3，3)，(6，6).初三（下）数学竞赛辅导资料（62）绝对值甲内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：02X00x22. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法.例如： （1）化简 解：当x=0,x=2时,=0；当x2时,=x(x2)=x22x；当0x2时，=x(x2)=x2+x.（2）解方程=6.解：当x2时，x=4.原方程的解是：x=2， x=4. （3）作函数y=的图象.解：化去绝对值符号，得y=2x+2 (x2). 分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=的图象.3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如：解方程；解不等式；解不等式.解：的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和3，方程的解是x=3, x=3.的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，不等式的解集是3x3.的零点是x=2, 的几何意义是：x是数轴上到点（2）的距离大于3个单位的点所表示的数，的解集是x1.（如下图）1-2 0-54. 绝对值的简单性质：绝对值是非负数；两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤.例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折作函数图象：y= y=（2） 当f（x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x223的图象，可先作y=x2+2x3自变量x0时的图象（左半图）再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3） 把y=的图象向上平移个单位，所得图象解析式是y=；把y=的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=.（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.乙例题例1. 已知方程ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x0. a1； 当x0时，原方程为x=ax+1,x=, 1a0. a1且a1，a的取值范围是a1.例2. 求函数y=2的最小、最大值.解：当x0时，y=x+6； 当0x1.例5. a取什么值时，方程 有三个整数解？ (1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得=a, =1a , x2=(1a)， x=2(1a) . 当a=1时，x恰好是三个解4，2，0. 用图象解答更直观；（1）先作函数 y= 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y= 图象相交，恰好是三个交点时，y=1, 即a=1.本题若改为：有四个解，则0a1；一个解，则a不存在；无解，则a0.丙练习621.方程=4的解是.2.方程=0的解是_.3.方程=3的解是_.4.方程=5的解是.5.不等式25的解集是_.6.不等式5的解集是_.7.不等式3的解集是_.8.不等式的解集是_.9.已知3-x,那么 _.10.关于x的方程=ax+2有根且只有负根，求a取值范围. 11.a取什么值时，方程无解？有解？有最多解？12.作函数y=的图象；并求在3x3中函数的最大、最小值.13.解方程.14. 作函数y=的图象.15. 选择题：（1972、1973年美国中学数学竞赛试题）.对于实数x ，不等式1x27等价于（）（A）x1或x3（B）1x3（C）5x0（D）5x1或3x9（E）6x1或3x10不等式x1+x+25的所有的实数解的集合是（）（A） (B) (C) (D) (E) （空集）练习621. 7，1. .2. 2. 3. 1x2. 4. 1，4. 5.2x0，5x8 6. 2x37.空集. 8. 0x 9.当xRA)的定圆B内切.那么：动点A有规律地变化，形成了一条轨迹：以B为圆心，以RBRA的长为半径的圆.而A，B两点的距离，却始终保持不变：AB=RBRA.若另有一个半径为RC的圆 C与圆B外切，则A，C两点的距离变化有一定的范围： RB+RC(RBRA)ACRB+RC+(RBRA).即RC+RAAC2RB+RCRA . 所以AC有最大值：2RB+RCRA ； 且有最小值：RC+RA.3. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ： 先探求定值.它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明.乙例题例1.已知：ABC中，ABAC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PEPF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法. 把点P放在BC中点上.这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A，PEPF2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍.DAEBPCF因此原题可转化：求证：PAPB2AD（AD为底边上的高）.证明：ADPF，；.BCFPA即.PEPF2AD. 把点P放在点B上.这时PE0，PF2AD（三角形中位线性质），结论与相同.还可以由PFBCtanC，把定值定为：BCtanC.即求证PEPFBCtanC.（证明略）同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可.例2.已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上求证：PA2PB2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. 点P放在直径AB上.得PA2PB2（Rr）2（. Rr）22（R2r2）. 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2PB2 R2r2R2r22（R2r2）.证明：设POA，根据余弦定理，得PA2R2r22RrCos，PB2R2r22RrCos(180).Cos(180)Cos.PA2PB22（R2r2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R,r的关系式，关键是引入参数.例3.已知：ABC中，ABAC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,b,c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明.证明：设MP为t, 则NP=at.MNBC，.即；=c 是定线段，是定值.即有定值.例4.已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作M的切线，两条切线相交于点C.求证：ACB有定值.分析：M是ABC的内切圆，AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理SinAMB=)，所求定值可用它来表示.证明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的内心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180（CAB+CBA）=1802(180AMB)= 2AMB180.由正弦定理，SinAMB=.弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值，AMB有定值.ACB有定值2AMB180.丙练习631.用固有的元素表示下列各题中所求的定值(不写探求过程和证明)：.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是_.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是.正n边形内的任一点到各边距离的和有定值是.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：B1，B2，B3，B4，B5它们的度数和是_，延长凸n边形(n5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是_.(2001年希望杯数学邀请赛初二试题).两个定圆相交于A，B，经过点B任意作一条直线交 一圆于C，交另一圆于D，则有定值是_.在以AB为直径的半圆内，任取一点P，AP，BP的延长线分别交半圆于C，D，则APAC+BPBD有定值是.AB是定圆O的任意的一条弦，点P是劣弧AB上的任一点(不含A和B)，PA，PB分别交AB的中垂线于E，F.则OEOF有定值是_.2.已知：点P是O直径AB上的任一点，过点P的弦CD和AB相交所成的锐角45.求证：PC2+PD2有定值.3.已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PDBA交BA延长线于D，PEAC交AC的延长线于E.求证：DOE是定角4.已知：点P是线段AB外一点，PDAB于D，且PD=AB，H是PAB的垂心，C是AB的中点.求证：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是O的两条直径，点P是O上任一点(不含A，B，C，D).求证：点P在AB，CD的射影之间的距离是个定值.6.经过XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.7. ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，P100，记mi=APi2+BpiPiC (i=1,2,3,100).则m1+m2+m100=. (1990年全国初中数学联赛题) 8. 直角梯形ABCD中，ABCD，DAAB，AB26cm,CD=24cm,AD=8cm,有两个动点P和Q，点P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移动，点Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移动.问时间t经过几秒时，BCPQ为平行四边形？等腰梯形？PQ与以AD为直径的圆O相切？相离？相交？练习631腰上的高.一边上的高或3r3 . nrn. 180度，(n4)180度.两圆半径比.AB2 O的半径的平方.2.定值是AB平方的一半，证RtCOMRtOBD，OM=DN.3. 定值是直角，以PA为直径的圆经过A，O，E，P，D五点，PE=AD，AOD=POE . 4.定值是AB的一半，证明 仿例3.5.定值是O的半径与两直径夹角的正弦的积，证明仿例4.6. 定值是(xoy=2)，证明 作AROQ交Dx于R，.7. 4100.初三（下）数学竞赛辅导资料(64)最大 最小值甲内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为y=a(x+)2+.在实数范围内(x+)20，若a0时，当x= 时， y 最小值=；若a0，y，这时取等号，则y 为最小值；若a0,b0,a+b=k .(k为定值).那么ab=a(ka)=a2+ka=(ak)2+.当a=时，ab有最大值.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a0,b0,ab=k (k为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+, a2ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a 为正实数， 0. 即(y)24k 0，y24k0.y2(不合题意舍去)； y 2. y最小值=2.解方程组得a=b=. 当a=b=时，a+b 有最小值 2 .3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理： 定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.乙例题例1.已知：3x2+2y2=6x, x和y 都是实数，求：x2+y2 的最大、最小值.解：由已知y2=, y是实数，y20.即0，6x3x2 0， x22x 0. 解得0x2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法， x2+y2=x2+=( x3)2+ 在区间0x2中，当x=2 时，x2+y2有最大值 4. 当x=0时，x2+y2=0是最小值 .例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a,b 其周长、面积的数值为k.那么2(a+b)=ab=k. 即 a和b是方程x2kx+k=0 的两个实数根.a,b都是正实数，0.即()24k0.解得k16；或k0 .k0不合题意舍去.当k16取等号时，a+b,ab 的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3.如图ABC的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH，问EH取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S矩形=y, 则GH=.AHGABC， . y=. 当x=时，y 最大值 =. 即当EH=时，矩形面积的最大值是.例4.如图已知：直线m n，A，B，C都是定点，AB=a, AC=b, 点P在AC上，BP的延长线交直线m于D.问：点P在什么位置时，SPAB+SPCD最小？解：设BAC=，PA=x, 则PC=bx. mn，.CD=SPAB+SPCD=axSin+(bx) Sin=aSin(=aSin(2x+. 2x =2b2 (定值)，根据定理二，2x +有最小值. 当2x =， x=时，SPAB+SPCD的最小值是(1)abSin.例5.已知：RtABC中, 内切圆O的半径 r=1.求：SABC的最小值. 解：SABC=ab ab 2S.2r=a+bc,c=a+b2r.a+b2r= . 两边平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r= a2+b2. 4r2+2ab4(a+b)r=0. 用r=1,ab=2S 代入，得 4+4S4(a+b) =0. a+b=S+1.ab=2S且a+b=S+1.a,b是方程x2(S+1)x+2S=0 的两个根.a,b是正实数，0，即 (S+1)242S 0，S26S+10 .解得S3+2或S32. S32不合题意舍去.SABC的最小值是3+2.例6.已知：.如图ABC中，AB=，C=30.求：a+b 的最大值. 解：设 a+b=y , 则b=ya. 根据余弦定理，得()2=a2+(ya)22a(ya)Cos30 写成关于a 的二次方程：(2+)a2(2+)ya+y2(8+4)=0.a 是实数，0.即(2+)2y24(2+)y2(8+4)0，y2(8+4)2 0 . (8+4)y (8+4).a+b 的最大值是8+4.又解：根据定理三 AB和C都有定值. 当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，()2=a2b22abCos30可求出a=b=4+2.丙练习641.x1,x2,x3,x4,x5 满足. x1+x2+x3+x4+x5=. x1x2x3x4x5，那么. x5的最大值是.(1988年全国初中数学联赛题)2.若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为_，_时，其面积最大，最大面积是_.3.面积为100cm2的矩形周长的最大值是.4.a,b均为正数且a+b=ab,那么 a+b的最小值 是_.5.若x0,则x+的最小值是_.6. 如图直线上有A、B、C、D四个点.那么到A，B，C，D距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.(1987年全国初中数学联赛题)7.如右图ABC中，AB=2，AC=3，是以AB，BC，CA为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是.(1988年全国初中数学联赛题)8.下列四个数中最大的是 ( )（A） tan48+cot48 .(B)sin48+cos48.(C) tan48+cos48. (D)cot48+sin48. (1988年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线y=x2+2x+8与横轴交于B，C两点，点D平分BC，若在横轴上侧的点A为抛物线上的动点，且BAC为锐角，则AD的取值范围是_(1986年全国初中数学联赛题) 10.如图ABC中，C=Rt，CA=CB=1，点P在AB上，PQBC于Q.问当P在AB上什么位置时，SAPQ最大？11.ABC中，AB=AC=a，以BC为边向外作等边三角形BDC，问当BAC取什么度数时AD最长？12.已知x2+2y2=1, x,y都是实数，求2x+5y2的最大值、最小值.13.ABC中B=，AC=1，求BA+BC的最大值及这时三角形的形状.14.直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F分别在ABC的边BC、AC、AB上，若BDDC=CEEA=AFFA=k(1k) (0k1). 问k取何值时，SDEF的值最小？16.ABC中，BC=2，高AD=1，点P，E，F分别在边BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形.问点P在BC的什么位置时，SPEAF的值最大？练习641. 5. 2. 5，5 25. 3. 40cm 4. 4 5. 6 6.BC上，BC+AD.7. 最大值是9，S=32SinBAC,BAC=90度时值最大.8.(A). 9. 30均已包含在内)有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是3. 在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.乙例题例1.已知：方程7x2(k+13)x+k2k2=0的两个实数根x1,x2满足：0x11x20,记作f(0)0；1当x=1时，y0, f(1)0, f(2)0.得不等式组解这个不等式组得 原不等式组解集是2k1；或3k4.答：k的取值范围是2k1；或3k0； 顶点横坐标 1；纵坐标0.得不等式组解这个不等式组得原不等式组解集是6m22. 答：当6m22时，方程x2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1.本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵坐标.例3.已知：方程(1m2)x2+2mx1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).求：m的取值范围.解：函数y=(1m2)x2+2mx1的图象可由：它在纵轴上的截距是1；与横轴的两个交点在0到1之间.得知开口是向下的，画出略图如下： 1111从图象分析：a0； f(1)0； 02.本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标.例4.已知：方程x2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.求：p的值. 解：根据抛物线y= x2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：1根据图象可知：f (1)0； 顶点纵坐标0.得不等式组解这个不等式组，得不等式组解集是p7 . 答(略)本题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式.其实只要f (1)0,x210建立不等式(x11)(,x21)1时，y=a与y=都有2个公共点，就是方程有2个解.例6.求代数式|x+1|+|x1|+|x+2