《曲线凹凸性》PPT课件.ppt

第四节 一 曲线的凹凸性与拐点 机动目录上页下页返回结束 二 曲线的渐近线 曲线的凹凸性与拐点 第三章 函数作图 三 函数作图 问题 如何研究曲线的弯曲方向 一 曲线的凹凸性与拐点 如图所示曲线弧 在区间 a b 内虽然一直上升 但却有不同的弯曲状况 弧 是向上凹的 曲线在切线的上方 弧 是向上凸的 曲线在切线的下方 而B是弯曲状况的 分界点 定义1在区间 a b 内 连续曲线 如果曲线弧位于其任意一点切线 的上方 则称曲线弧在 a b 内是凹的 或凹弧 此区间 a b 称为凹区间 如果曲线弧位于其任意一点切线 的下方 则称曲线弧 此区间 a b 称为凸区间 在 a b 内是凸的 或 凸弧 定义2 y f x 上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线y f x 的拐点 定理2 曲线凹凸性的判定定理 1 若在 a b 内 则曲线y f x 在 a b 内是凹的 2 若在 a b 内 设函数 在区间 a b 内有二阶导数 那么 一阶导数判单调二阶导数定凸凹 若 定理设函数 则在 a b 内单调递增 递减 在开区间 a b 内可导 回顾前面所学 即 则曲线y f x 在 a b 内是凸的 例1 判定曲线 的凹凸性 解 故曲线 在 内是凸的 例2 判定曲线 在 0 2 内的凹凸性 解 令 得 当 时 曲线 是凸的 当 时 曲线 是凹的 点 是曲线 的一个拐点 例3 判断曲线 的凹凸性 解 故曲线 在 上是向上凹的 说明 1 若在某点二阶导数为0 2 根据拐点的定义及上述定理 可得求拐点的步骤如下 则曲线的凹凸性不变 在其两侧二阶导数不变号 求拐点的步骤如下 1 确定函数y f x 的定义域 2 求出使 的点和 不存在的点 3 对于 2 中求出的每个点x0 考察 在点x0左 右 两侧邻近的符号 如果两侧的符号相反 则点 是拐点 如果两侧的符号相同 则点 不是拐点 例4 求曲线 的凹 凸区间与拐点 解定义域 不存在 因此 曲线的拐点 凹区间 凹 凸 令 得x 3 不存在的点为x 2 2 凸 3 0 4 凹区间 凸区间 列表 内容小结 1 可导函数单调性判别 在I上单调递增 在I上单调递减 2 曲线凹凸与拐点的判别 拐点 连续曲线上的凹凸分界点 1 曲线 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示 及 作业P128 第一题 思考与练习 无渐近线 点M与某一直线L的距离趋于0 二 曲线的渐近线 定义3若曲线y f x 上的动点M沿着曲线无限远离坐标 原点时 则称直线L为 曲线y f x 的渐近线 例如 双曲线 有渐近线 但抛物线 渐近线分为水平渐近线 铅直渐近线 和斜渐近线三种 定义4 1 若 则称直线y b为曲线y f x 的一条水平渐近线 2 若 则称直线x x0为曲线y f x 的一条铅直渐近线 3 若 则称直线y ax b为曲线y f x 的一条斜渐近线 并由此可推得 例5 求曲线 的渐近线 解 为水平渐近线 为铅直渐近线 该曲线无斜渐近线 例6 求曲线 的渐近线 解 所以该曲线有铅直渐近线 又因 为曲线的斜渐近线 所以该曲线没有水平渐近线 一阶导数判单调二阶导数定凸凹 三 函数作图 步骤 1 确定函数 的定义域 期性等特性 2 求 并求出 及 3 列表判别单调及凹凸区间 求出极值和拐点 4 求渐近线 5 补充函数图形上的若干特殊点 为0和不存在的点 并考察其奇偶性 周 找出f x 的间断点 6 综合上述分析 描绘出函数的图形 如与坐标轴的交点等 例7 作函数 的图形 解 1 定义域为 函数无周期性 2 3 列表 拐点 极小 4 曲线无渐近线 为奇函数 故只需作出区间 0 上的图形 得 得 它的图形关于原点对称 所以 6 作图 5 特殊点 曲线与坐标轴的交点为 例8 作函数 的图形 解 1 定义域为 2 又x 3为f x 的间断点 定义域内无 不存在的点和 不存在的点 3 判别曲线形态 极大 拐点 无定义 5 求特殊点 为铅直渐近线 为水平渐近线 无斜渐近线 4 求渐近线 曲线与坐标轴的交点为 6 作图 例9 作函数 的图形 解 1 定义域为 图形对称于y轴 2 求关键点 3 判别曲线形态 极大 拐点 极大 拐点 为水平渐近线 5 作图 4 求渐近线 水平渐近线 铅直渐近线 内容小结 1 曲线渐近线的求法 斜渐近线 按作图步骤进行 2 函数作图 思考与练习