《次型与二次曲面》PPT课件.ppt

第七章二次型与二次曲面 二次型讨论的对象是多元二次齐次函数 这种函数在物理 统计 规划 极值等问题中有广泛的应用 例如在三维空间的几何问题中 一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数 通过对二次型的讨论 可以研究二次曲面的分类 本章主要讨论 1 二次型的理论 2 空间曲面与曲线 3 二次曲面的分类 2 矩阵形式 则二次型的矩阵形式为为二次型的矩阵 为二次型的秩 3 二次型对称阵注 讨论二次型问题 首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵 反之 给定一个对称阵 会写出以它为矩阵的二次型 这里的关键概念是二次型的矩阵是一个对称矩阵 例1设二次型试写出二次型的矩阵 为三元二次型 解 将交叉项的系数即平均分配给及的二次型的系数矩阵为 例 将二次型写成矩阵形式 解 是一个四元二次型 先写出二次型的矩阵 例 设 试写出以为矩阵的二次型 分析 是一个3阶对称阵 对应的三元二次型 把与合并后写出二次型 解 设 7 1 2合同矩阵1 定义7 2 合同 二个阶方阵和 可逆阵 使 则称与合同 Congruent 记成 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似 也是阶方阵之间的一种等价关系 即2 合同等价 合同等秩 反之都不成立 但不等秩 则一定不合同 3 合同关系具有以下性质 1 自反性 2 对称性 则 3 传递性 则 4 与合同 则 可逆 4 二次型的变换 合同二次型设二次型 经可逆线性变换 可逆 其中 即与合同 仍是对称阵 所以经可逆线性变换后 二次型的对应矩阵是合同的 也可以说 合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵 我们教材是将变量看成个基下的坐标 是一个基到另一个基的过渡矩阵 合同阵是不同基下的矩阵 5 实对称阵 不但和对角阵相似 也与对角阵合同 由于实对称可正交相似对角化 所以存在正交阵 使所以实对称阵都与对角阵合同 换句话说 就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换化成只有平方项而没有混合项 这就引出了二次型的标准形的概念 例4 与矩阵既相似又合同的矩阵是 A B C D 分析 是实对称矩阵 所以正交阵 使它和一个对角阵既相似又合同 对角阵的对角元恰是的特征值 解 的特征值是 与既相似又合同的矩阵是 所以应选 D 7 2 1用正交变换化实二次型为标准形对于实二次型 最实用的方法是正交变换法 即所作的可逆线性变换中可逆矩阵不只是可逆 还是正交矩阵 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的 值得注意的是这种方法仅限于实二次型 定理7 1对元实二次型 正交线性变换 不惟一 使二次型化为标准形 是的个特征值 注1 的秩的标准形中系数不为0的平方项的个数 2 任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形 元二次型的标准形不惟一 有三种方法化标准形 例5用正交线性变换化实二次型为标准形 化成标准形 解 1 二次型的矩阵为 所以得同解方程组为得基础解系为 正交化 7 2 2用配方法化二次型为标准形如果不考虑正交变换 可以用可逆线性变换把二次型化为标准形 得到标准形不是惟一的 可逆 为可逆线性变换 7 2 3用初等变换法化二次型为标准形矩阵的初等变换法是对二次型矩阵 构造一个的矩阵 对交替作初等行变换和相应的初等列变换 对作列变换时 同时对作相同的列变换 当化作标准形时 就化作了 这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵 对角阵 例7用初等变换法将下列二次型化为标准形 并求可逆线性变换分析 由于左上角的元素为0 而主对角线上第二个元素不为0 将第一列和第二列变换 同时将第一行和第二行交换 使得左上角元素不为0 解 由此得标准形所用的可逆线性变换为所以 7 3 2正定二次型对于实二次型有一个特别重要的性质 正定性 1 定义7 3设有元实二次型 如果对且 都有 则称为正定 负定 半正定 半负定 二次型 的矩阵称为正定 负定 半正定 半负定 矩阵 2 正定阵实对称阵 但反之不一定 3 二次型正定的充要条件 与正定矛盾 正惯性指数 维实向量 由可逆知故为正定二次型 所以由可逆及可逆 知可逆 定理7 4实对称阵为正定的的各阶顺序主子式都大于零 即 重点与难点 在实二次型 或实对称阵 中 合同是一种分类的办法 正定性是另一种分类的方法 重点是正定二次型 或正定矩阵 注 说或是正定的 已经包涵了实对称 可逆 及 利用的正定性 来证明其他的问题 则是一个难点 要具体问题具体分析 1 正定阵 正定二次型的判断 例8判别二次型的正定性 解二次型的对应矩阵为 和具有相同的正定性 故判定的正定性即可 将分数运算化成参数运算 例9判断阶矩阵是否正定阵 解法2求的特征值 得的特征值为全 故正定 2 矩阵 二次型 正定性的证明 例10设是阶正定阵 证明也正定 证因为正定 所以是实对称 即 可逆 也是实对称 证1用正定阵全部特征值 已知正定 的个特征值都 又的特征值为都 正定 证2正定实可逆阵使 求逆令为实可逆阵 所以正定 使 其中是的特征值 7 4曲面与曲线 在3 3节已熟悉了平面和空间的直线与三元一次方程之间的关系 现在在前两节研究二次型的基础上 本节重点又从代数转向几何 主要是讨论二次曲面 与平面 直线一样 曲面和曲线也可以看成是满足某种条件的点的集合 在坐标系下 这个条件表现为方程 在空间直角坐标系下 若曲面和三元方程有下述关系 曲面上的任一点的坐标都满足方程 坐标满足方程的点都在曲面上 则称方程为曲面的方程 也称为方程的图形 下面对几何特征很明显的几种常见的曲面和曲线建立它们的方程 平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面 定曲线叫做柱面的准线 动直线叫做柱面的母线 设柱面的母线轴 准线是平面上的曲线 则此柱面方程为 一般地 含有两个变量的方程在平面上表示一条曲线 在空间里表示一个柱面 母线平行于不出现的那个变量对应的坐标轴 同理表示母线平行于轴的柱面 表示母线平行于轴的柱面 7 4 2柱面 7 4 3旋转曲面 平面曲线C绕平面一直线L旋转一周 所成的曲面叫做旋转曲面 曲线C称为母线 L称为旋转轴 设在面yOz上 给定曲线C 将其绕轴z旋转一周 求此旋转曲面方程 设为曲面上任一点 位于曲线上点的转动轨道 圆周 上 显然 且由到轴的距离相等 有 所以旋转曲面方程为 同理曲线绕轴转一周得旋转曲面方程为 总之 在坐标面上的曲线绕其上一个轴转动得到的旋转曲面方程可以这样写处 将曲线方程中与转轴相同的变量不动 而把另一个变量换为它自己的平方与方程未出现的变量的平方和的平方根即可 例4直线绕轴转动得到的曲面为即 或 图称为圆锥面 其半顶角的正为 例5椭圆绕轴旋转得到旋转椭球面 例6双曲线绕轴旋转得旋转单叶双曲面 例7抛物线绕轴旋转得旋转抛物面一般地说 在一个方程中 若有两个变量以平方和的形式出现 它就是旋转曲面的方程 一 空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两曲面 的交线称为空间曲线的一般方程 注 由于过曲线的曲面有无穷多 所以的方程不唯一 例如 以原点为球心 1为半径的球面与面的交线 是平面上的以原点为圆心的单位圆 其方程为 7 5空间曲线及其方程 例8方程组表示怎样的曲线 解为平行于轴的圆柱面 为平行于轴的平面 方程组表示平面与圆柱面的交线 例9方程组表示怎样的曲线 解第一个方程表示以原点为球心 a为半径的球的上半球面 第二个方程表示准线为的面上的圆且母线平行于轴的圆柱面 方程组为上半球面与圆柱面的交线 也称为维维亚尼曲线 与面的交线 即曲线是椭圆 与面的交线 是双曲线 与面的交线 是双曲线 解 例10曲面与坐标面的交线是什么 二 空间曲线的参数方程 与平面曲线一样 空间曲线也可由参数方程表示 上的动点为参数的函数 给定得上的一点随的变动便得到c的全部点 即为曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 以空间曲线为准线 作母线平行于轴 或轴 或轴 的柱面 这个柱面与坐标面 或 的交线称为曲线在坐标面 或 上的投影 曲线 求空间曲线的投影是很重要的 若已知曲线的方程为从这个方程组中 消去所得到的方程 就是以为准线 母线平行于轴的柱面方程 故在面上的投影为同样从的方程中消去或 可得到在和面上的投影 例12已知两球面的方程为 和 求它们的交线在面上的投影方程解先求母线平行轴过曲线的柱面方程 从 中消去 化简得再以代入 或 得柱面方程为两球面交线在面上的投影是 7 6二次曲面 在第五节我们讲了空间曲面的概念 建立了球面方程和各种柱面方程等 这节我们要专门讨论二次曲面 在平面几何中我们研究了二次曲线 圆 椭圆 抛物线 双曲线等 在空间解析几何中我们将三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面 平面称为一次曲面 7 4节讲过球面 圆柱面 抛物面和双曲面 这些都是二次曲面在那节里我们只是粗略地描绘它们的图形 平面解析几何中有时用描点法研究它的图形 对于三元方程所表示的曲面的形状 显然难以用描点法得到 这节我们用截痕法来研究常用的二次曲面 即用坐标和平行于坐标面的平面与曲面相截 考察其交线 即截痕的形状 然后加以综合 从而了解曲面的全貌 一 椭球面由方程 1 所确定的曲面叫做椭球面 称为椭球面的半轴 由 1 知 即 椭球面 1 完全包含在以原点为中心的长方体内 为了知道这一曲面的形状 我们先求出它与三个坐标面的交线 这些交线都是椭圆 再看这曲面与平行于面的平面的交线 这是平面内的椭圆 它的两个半轴分别为 当由小变大时 椭圆的截面由大到小 最后缩成一点 且这一系列椭圆的中心都在轴上 同样用平行于面和平行于面的平面截椭球面 分别可得类似的结论 根据这些截痕 就可以知道椭球面的形状 特殊地 当时 方程 1 变为球面 当时 1 变为 是由绕轴旋转的旋转椭球面 由方程 与同号 所表示的曲面叫做椭圆抛物面 不妨设 用截痕法来考察它的 1 用坐标面与这曲面相截 截得一点为原点 即为曲面的顶点 用截曲面 其交线为这是平面上椭圆 中心在轴 两个半轴为 当变动时 这种椭园的中心都在轴上 面与这曲面不相交 二 抛物面 形状 2 用坐标面截这曲面所得截痕为抛物线对称轴是轴 顶点 开口向上 若用平面去截时 得抛物线对称轴平行于轴 顶点为开口向上 3 同理用 面 去截 或去截得交线都是抛物线 综上所述 椭园抛物面的形状就很清楚了 若异号 即 与同号 所表示的曲面叫做双曲抛物面 或 鞍形曲面 时 方程 变为为旋转抛物面 绕z轴旋转得到的