音阶与律制的数学背景.pdf

黄 钟 中国 武汉 音乐学院学报 2 o 0 9 年第l 期 HUANGZ HoNG J o u r n a l o f W u h a n C o n s e r v a t o r y o f Mu s i c C h i n a 黄力 民 文章编号 1 O 0 3 7 7 2 1 2 O 0 g O 1 一O 1 5 5 0 6 音 阶与律制的数学背景 摘 要 从数 学角度指 出 两音 的频率 比若 为简单 的整数关 系则 两音具有 听觉和谐 的效果 由 2比 1 3比 2的频率比关系产生 系列 和谐音 以音列 的近似封 闭规则 合理确定 五度 律音 阶的音 数 计算结果 与与音乐 中使用 的音 阶完全吻合 五度 律音阶 的音数 又是 十二平均律 与纯律产 生的前提 关键 词 音阶 频 率比 音列封 闭 乐律 中图分 类号 J 6 1 2 文献标识码 A 音乐 中的 1 2 3 4 5 6 7并不是数字而是专 门的记号 唱 出来是 d o r e mi f a s o l a s i 它来源 于 中世 纪意大利一首赞美诗 中前七 句每句句首的第一 个音 节 音乐 与语 言的历史 一样 都是如 此悠久 其渊源 已难 以考证 达尔文 C h a r l e s D a r w i n 认为人类产 生和欣赏音乐 的能力远在语 言能力之前 令人惊异的是可 以运用数学 知识来解 释音乐基本 元素一 乐音 与音 阶的构成 原理 也 就是说 1 2 3 4 5 6 7这些记号确实有着数字 或数学的背景 一 音 阶与音 的振动频率 音 阶是音 乐的要素 常用 的音 阶由 7 个基本 的音组成 1 2 3 4 5 6 7 或用唱名表示 即 d 0 r e mi f a s o l a s i 用 7 个音 以及 比它们 高一个 八度或几个八度 的音 低一个八度或几个八度 的音做 成各种 组合就是曲调 美 国音乐理论 家珀西 该丘斯 P e r c y G 0 e t s c h i u s 1 8 5 3 1 9 4 3 说 对 于求知 心切 的音 乐学习者与 音乐爱好者 再 没有 象 音 阶 似的 音乐要 素 即刻 而又持 久地 引起 他们 的好 奇心与惊异的 了 口 第 1页 7 音组成 的音阶按 高度 自低 向高排列 要搞清音 阶的原理 首 先须知道 什么是 音 的 高度 音 与音之 间的 高度 差是多少 物体发生振动时产生声音 振 动的强弱 能量 的大小 体 现为声 音的大小 不 同物体 的振 动体现为声 音音 色的不同 而振动的快慢就体 现为声音的高低 振动的快慢在物理学上用频 率表示 频率定义为每秒钟 物体振动的次数 用 每秒振 动 1次作为频 率的单 位称 为赫兹 频率为 2 6 1 6 3赫兹 的音在音乐里 用字母 c 1 表示 相应地音 阶表示 为 c d e f g a b 在将 c音唱成 d o 时称为 c调 对 于频 率过高或过低 的声音 人耳感 觉不舒 服 或完全 不 能感知 音乐 中常 使用 的频率 范 围大约是 1 6 4 o 0 O 赫 兹 而人声及器乐 中最 富于表 现力的频率范 围大约 是 6 O 1 O o 0 赫 兹 作者简介 黄 力民 1 9 4 5 男 中国计 量学院教授 杭 州 3 1 0 O 1 8 收藕 日期 2 O 0 8 一 l 1 2 O 1 5 6 黄钟 中国 武汉音乐学院学报 2 0 0 9年第 1 期 在弦乐器上拨动一根空弦 它发出某个频率 的声音 如果 要求某人 唱出这个音 他 怎能知道 他的声带振 动频率与弦振动频率完全相等呢 这就需要 共 鸣原理 当两 种振动 的频率相等 时合 成的效果得 到最大 的 加强而没有丝毫 的减弱 因此应 当通过体验与感悟去调整 自己的声带振动频率使声带振 动与弦的振动发生 共鸣 此 时声带振动频率等于弦振 动频率 人 们很早就发现 一根弦所发 出的声音与 同一根弦但长度减半后发 出的声音有 非常和谐的效果 或者说 接近于 共鸣 后来这两个音被称 为具有八度音 的关 系 可 以用 如影 随形 来形 容一对八 度音 除非两音 频率完全相等 的情形 八度 音是具有最密切听觉和谐效果的关 系音 古人在弦乐器的实践中轻易地验证 了如下 的规律 一根 弦在 绷紧状 态下发出 的声 音高于松 弛状 态下发 出的声 音 细弦发出的声音高于粗 弦发 出的声音 短弦发出的声音高 于长弦发 出的声音 1 8 世 纪初英 国数学家泰勒 T a y 1 0 r 1 6 8 5 1 7 3 1 确 立的数学公式精确地描述 了以上规 律 弦振动频率与 弦的张紧力的平方根成正比 与弦的线密度 单位长度的质量 的平方根成反 比 与弦的长度成反 比 2 第 2 1 1 页 其 中尤其简单 明快的数量关 系是 弦振动频率与弦的长度成反 比 因此一对八度音就是频率之 比等于 2 1的两音 现在可 以这样来描述音 与音之 间的高度差 了 假定一根空弦发 出的音是 d o 则二分之一长度 的弦发 出高 八 度 的 d 萼 长 度 的 弦 发 出 r e 筹 长 度 的 弦 发 出 m i 导 长 度 的 弦 发 出 fa 詈 I 长 度 的 弦 发 出 s 长 度 的 弦 发 出 la 长度的弦发出s i 等等类推 例 如高 八度的s o 应由 专长度的弦的一半就 是寺长度的弦 发出 为了方便 将d o 音的频率算作一个单位 高八度的d o 音的频率就是两个单位 而 r e 音的频率是 个单 位 将音名与各 自的频率列成下表 表 1 音名 C D E F G A B C 与主 音 1 9 8 1 4 3 2 7 2 4 3 一 一 一 2 频率 比 8 6 4 3 2 1 6 1 2 8 这就是音阶 d o r e mi f a s o l a s i 的数字关系 它本质上 是振动 的频率关系 不论发生振动 的是什么 乐器或非乐器 对于弦乐器则是外在很直观的弦长关 系 二 五度律与五声音 阶 七声音阶 十二声音阶的由来 为什么要用具有 这些频率 之 比的音来构 成音 阶 首 先更应 回答 的问题是 为什么要 用 7个 音来构 成音 阶 这是一个 千古之谜 由于无法从逝去的历史进行考证 古今 中外便有形 形色色 的推 断 臆测 例如西方文 化 的一种说法基于 7 这个数字的神秘色彩 认 为运行 于天穹 的 7 大行星 这是在只知道有 7 个行 星的年代 发 出不 同的声音组成 音阶 用不同的音组合 成曲调 当然要考虑这些音放在一起是不是很和谐 前面已谈到八度 音是在 听觉和谐效 果上关系最密切 的音 但是仅用八度音不能构成 动听的曲调 至少它们太少了 例 如在音乐频率范 围内 c 与 c 的八度音只有如下 的 8个 c 1 6 3 5赫兹 c 3 2 7赫兹 c 6 5 4赫兹 c 1 3 O 8赫兹 c 2 6 1 6赫 兹 c 5 2 3 2赫兹 c 1 0 4 6 4 赫兹 c 2 O 9 2 8赫兹 对于人声所能发 出的就只有 C c c c 这 4 个音 了 为 了产生新的和谐音 必须重 申前述八度音 和谐 的理由是振动的共鸣或近似于共鸣 数学理论 指出 每个音 振动 都可分解为由一次谐 波与一 系列整数倍频 率谐波 的叠加 若假定 C音的 频率是 1 那么它分解为频率为 1 2 3 4 的系列谐 波 的叠加 高八度 的 C音 的频率是 2单位 它分解 为频 率为 2 4 6 8 的系列谐波 的叠加 I 2 第 1 8 4 1 8 8页 C音与 高八 度 C音 的谐波 系列 的频率有 一半是相 同的 这正是一对八度音近似于共鸣的数学解释 由此可建立所谓和谐性 原理 因为每个音都 可分解为 由一 次谐波与一系列整数倍谐波的叠加 两音 的频率 比若是整数关系则两音具有和谐的 听觉效 果 两音的频率 比 黄力民 音阶与律制的数学背景l 5 7 愈是 简单的整数关系意 味着 对应 的两个谐波列含有相 同频率的谐波愈多 即两音有更 和谐 的关 系 就简单程度而言 次 于 2比 1的简单 整数 比是 3比 2 实验 表明 一 根空弦发 出的音 假定是表 1的 C 且 作为 d o 与 长度的弦发出的音无论先后奏出或同时奏出其效果都很和谐 可以推想当古人发现这一现象 时一定非常兴奋 今人由于揭示了其中的数学道理更有理由兴奋 接下来 奏出 长度弦发出的音也是和谐 的 它的频率是 c频率的 已经低于 c音的频率 为了便于在八度 内考察 用它的高八度音即频率是 c的 的音代替 很显然我们已经得到了表 l中的 G s o 与 F f a 从 C音 出发 累次按频率 比 3比 2产生新 的音 然后 又利 用 2比 1关系折 回到八 度之 内 似乎这 就是构 成乐音体 系的途径 了 问题是这样做下去得 到纳入八度之 内的每 个音却 是互不 相 同的 或者说 从 C音开始 依次用频率 比 3比 2 不可 能制出恰好是 c的高若 干个八度 的音 此 一现 象的实 质就是 数学上 容易证 明不可 能有 自然数 m n使下式成立 3 2 一 2 1 从 C音 出发 累次 按频率 比 3比 2 产生 的音列不是只有 7 个音而是有无数 多个含 混不清的音 因此仅有 2 比 1与 3比 2的和谐关系并不能构 成阶梯分布 的音 阶 兹 举一 数字算 例 从 C音 出发按 3比 2频率 比反复 3 0 6次产生 的音 再 降八度 1 7 8次纳入 到八度之 内所 得音与 主音频率之 比等 于 1 9 9 7 9 5 7 折合 为 1 1 9 8 2 3音 分 它与主音 的高八度仅有 1 7 7音分之 差 由于 1 式之不能满足 此 时理性思维的 自然发展 是利用 近似等式 经过计算 有 3 2 7 5 9 4 2 8 l 9 一 9 l 其相对误差等于5 1 3 即 J 吉 J 下同 从 c音出发按频率比3比2 产生四个音 I l 耋 号 号 号 便不再产生第5 个音f 昔1了 因为它近似于2 即高三个八度的c 音 不视作新的 音 或者说具有频率比 詈 的 音 与 c 音 算 作 是 同 一 音 同 样 导 与 号 之 比 号 与 号 之 比 也 近 似 于 2 即 高 三 个 八 度关 系等等都算 作是 同一音 现在 在 八度相 同 的意义上说总共 只有 5 个 音 可 以称此为音列 的近似封 闭 规则 依此 规则所 得 5 个 音与主音 的频率 比是 耋 耋 I 号 号 c 纳 入 到 八 度 之 内 也 就 是 将 号 耋 降 低 八 度 分 别 成 为 詈 将 号 降 低 两 个 八 度 成 为 按 频 率 自低到高排列得 到 9 8 1 3 2 7 而 对照表 1 知道这 5 个音是 C d o D r e E mi G s o A 1 a 这是所谓五声 音阶 它在世 界各 民族 的音乐文 化 中较为少见 卖报歌 是 熟知的一例 至此本文 已用音列 的近似封闭规则解释 了五声音 阶何 以 由 5个音构 成 接下 来根据 另一 近似等式 3 2 一1 7 n 0 2 4 1 6 相对 误差6 8 1 即f 号1宦 斤 似于2 4 即亭四 个八度的c 音 而不视作新的音 总共应 由 7 个音组 成音阶 在 2 的基础上用 3比 2的频率 比上行 一次 下行一次得到 由 7个音组成的音列 其与主 音频率 比是 詈 耋 号 号 号 号 纳入到八度之 内并按频率 自低到高排列就是 詈 器 号 翟 c 3 百 丽 l 5 8 黄钟 中国 武汉音乐学院学报 2 0 O 9年第 1期 这是常见 的五度律七声音 阶大调式如表 1 该丘斯解释音阶的形成时称 C G D A E是音阶的 内环 或 核心 两 端分别上行 下行频率 比 3比 2 得 B音 F音而得大调七声音 阶 第 7 8页 但他未能说明音阶何以由五音或七音组成 常见文献 中可能 回避音 阶的音数问题 例如口 第 4 6 4 7页 音乐史 与科 学史上 亦不 乏对此 的种 种附 会 参 见 第 2 9 3 7 页 考察一下五度律七声音 阶中相邻两音的频率之 比 通过计算知道 只有两种情况 d o r e r e m i f a s o s 0 一l a 1 a s i 频率之 比是 9 8 称为全音关系 mi f a s i d o频率之 比是 2 5 6 2 4 3 称 为半音关系 如果在 五声音阶音列 2 的基础上用 3比 2的频率 比上行两次也可 以得到 由 7 个音组成 的音列 其频率 比是 导 詈 号 耋 号 号 纳入到八度之内就是 9 8 1 7 2 9 3 2 7 2 4 3 虿 这也是五度律七声 音阶 它与 3 的差别是半音位置发生改变 音乐 上称之为 f a调式 再换用其 他方式 来 获得 7个音的音列 还将 出现多种调式 调式的选择应 归于长期艺术实践的结果 以 2 1与 3 2的频率 比关系产生和谐音 的法则称 为五度律 在 中国 五度律最早 的文字记 载见于典 籍 管子 的 地 员篇 由于 管子 的成书时间跨度很大 学术界一般认 为五度律产生 于公元 前 7世纪至公元 前 3世纪 西方学者认为是公元前 6世纪古希腊 的毕达哥 拉斯学派最 早提 出了五度律 人类历史 进程 中 某种音乐文化的发生不 可能 限于一时或一地 但五度律几 乎同时在东西方出现 毕竟表 明了人类 音乐艺术禀 赋 的贯通 再根据近似等式 3 2 一1 2 9 7 2 一1 2 8 相对误差 1 3 3 并仿照 以上方法制出五度律 十二声音阶如 下 表 2 音名 C C D D E F F G G A A B C 与 主音 1 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 一 一 一 2 频率比 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 五度律十二声音 阶相邻 两音 的频率之 比有两种 2 5 6 2 4 3与 2 1 8 7 2 0 4 8 分别 称为 自然半音 与变化半 音 若以音分计 自然半音是 9 O 2 2音分 变化半音是 l 1 3 6 8音分 从表 中可看到 音名不 同的两音例如 C D的关 系是 自然半音 音名相同的两音例如 C一 C的关系 是变化半音 考 察其它类 型的近似等式 还 有 3 2 一9 8 5 3 2 一1 O 2 4 相对误差 3 7 9 由此构造五度律十七声音阶 3 2 一1 6 8 3 4 1 2 1 6 3 8 4 相对误差 2 7 5 由此构造五度律 十四声音 阶 3 2 1 2 7 8 3 4 O 2 一1 3 1 O 7 2 相对误差 2 4 7 由此构造五度 律二 十九声音 阶 3 2 一2 1 8 4 1 6 4 4 2 一2 O 9 7 1 5 2 相对误差 4 1 5 由此构造五度律三 十六声音阶 3 2 一1 6 5 8 5 9 9 8 5 2 一1 6 7 7 7 2 1 6 相对误差 1 1 4 由此构造五度律 四十一声音阶 3 2 一2 8 3 3 8 7 3 3 3 4 2 2 6 8 4 3 5 4 5 6 相对误差 5 5 7 由此构造五度律 四十八声音 阶 3 2 2 1 5 1 9 7 2 5 6 3 2 2 一2 1 4 7 4 8 3 6 4 8 相对误差 0 2 1 由此构造五度律五十三声 音阶 这 7种音 阶在音乐史上均有记载 但较少用于音乐实践 总之 本文利用数学原理不仅解释了由最简整数频率 比关系来构造具有和谐关系 的两音 而且 提出以音 列近似封闭的规则确定音 阶的音数 所得五度律 1 O 种音 阶与音乐中使 用的音 阶完全吻合 三 十二平均律 音乐中的等 比数 列 五度律七声音 阶中的全音频率比并不 等于两 个半音频率 比的乘积 俗称一个 全音不等 于两个半音 或 者说五度 律十二声音阶 中有两种不同的半 音 其根 源是我们 引进 的是 1 式 的近似等式 另一方面 由于五 度律十二声音阶 中的这两种半音尽 管不 同相差却 甚小 可 以考虑如果 消除这种差 别对于有 固定音高 的键 盘 黄力 民 音阶与律制的数学背景1 5 9 乐器 的转调将是 十分方便 的 消除两种半音差别 的办法是 使相邻各音频 率之 比相 等 在 1 与 2 之 间插 入 1 1 个数使它们组成 等 比数列 显然其公 比就是 2 2 约等于 1 0 5 9 4 6 它大于 自然半音频率 比 2 5 6 2 4 3 1 0 5 3 5 0 小于变化半音频率 比 2 1 8 7 2 O 4 8 1 0 6 7 87 如此确立的是十二平均律 它 的任何 相邻 两音 频率 之 比都 是 2 当然没 有 自然半 音 与变 化半音 之 区 别 在音分制 中 2 作为计量基准计为 1 O O 音分 用十二平均律构成 的七声音 阶如下 表 3 音 名 C D E F G A B C 与主 音 1 2 2 2 2 2 2 2 频率 比 同五度律七声音阶一样 C D D E F G G A A B是全音 关系 E F B C是半 音关 系 但 它 的 全音频 率之 比恰好等于两个半音频率之 比的乘积 十二平 均律的产生前提乃 因为五度律 十二声音 阶的存在 而本文前 已解释何 以 由 1 2个音组 成音阶 那 么为什 么五度 律五声 音阶 五度律七声音 阶不能导出平均律 乃因为五度律 十二声音 阶中相邻两 音之 比 即 两种半音相差 不大 在 此基础上建立必定是 十二平均 律 五度 律五声 音 阶 五度律 七声音 阶并无 此特点 当然 不能导出平 均律 十二平均 律与五度律十二声音阶 的渊源 关系表 明 十二 平均 律对五 度律原 则 的基本 认 同 但 是 十二平 均律 的出现又使得前 面确立 的和谐 性原 理 两音 的频 率 比愈是 简单 的整 数关 系则两 音愈具 有 和谐 的关 系 不再成 立 不 过不必为此而沮丧 因为本质上说艺 术行为不是一定要服从 科学道理 的 正如符合 黄金 分割原理 的绘 画是艺 术 反其 道而行之的绘 画也是艺术 总之 十二平均律 既是对 五度律原则 的借鉴又是对 五度律的反叛 十二平均律 的出现意味着无理数 2 等等 进入 了音乐 领域 这是一件令人惊异 的事 无理数是数 学 中 一 大怪物 当今一个非数学专业 的大学生在学完大学数学 之后仍 然不能明 白无理数 是什么 数学 家使用无理 数有 2 5 O O多年 之久却 直到 1 9世 纪末 才建立 无理数 的严密理论 古希腊 毕达哥拉斯 学派极度 推崇整数 认 为 宇宙 间的一切现象都 能归结为整 数或整 数之 比 无理 数是 丑陋 的 被视为 和谐之 大敌 第 3 7页 毕 达哥拉斯学派 的理念长期影 响着西方音乐的发展 居于 c 与 c 音之 中的所谓三重音被称为 音乐 中的魔鬼 第 2 4页 十二平均律似乎不 在乎无理数的艰深 轻易地将 高雅艺 术贴上了无理数的标签 十二平均律的原理在欧 洲有较 长时间的酝酿 与认识过 程 通 常认 为理论 意义上 的发 明者是荷 兰人 斯特 芬 s t e v i n约 1 5 4 8 一约 1 6 2 0 时间在 1 6 O O年前后 中国明代科学家 音乐 家朱载土 育 1 5 3 6 1 6 1 2 在 1 5 8 1 年 前发明 了十二平均律 这又是人类艺 术禀赋 的贯 通性在 音乐 文化方 面 的惊人 表现 可惜 中国人在发 明十二 平均律后却很少有实践与传播 的记 录 体现 了中国文化 的某种缺 陷 四 纯律 2比 1 3比 2之外新 的频 率 比 五度律七声音阶 的 1 3 5 d o mi s 0 三 音的频率 之 比是 1 8 1 6 4 3 2 即 6 4 8 1 9 6 纯律将此 作微 小的修 改成为 6 4 8 O 9 6或 1 5 4 3 2或 4 5 6 使大 三和弦 d o mi s o三音 间的频率之 比更 显简单 事实 上是最 简单 然后按 1 5 4 3 2的频率 比从 5 s o 音 上行复 制两音 7 2 从 1 d o 音 下行复制 两音 6 4 即 4 6 1 3 5 7 2七音 的频率之 比是 号 号 丢 导 号 导 将此七音 纳入 到八 度之 内构成纯律七声音 阶 1 6 O 黄钟 中国 武汉音乐学院学报 2 o o 9年第 1期 表 4 音 名 C D E F G A B C 与主音 1 9 5 4 3 5 1 5 一 2 频 率 比 8 4 3 2 3 8 它与五度律七声 音阶比较 表 1 有 4个音 C D F G是相 同的 有 3个音 E A B不 同 如果没有五度律七声音 阶 当然不会想到对 其中大三和弦三音间频率 比作如此 修正 因此纯律 的出现也 是 以五度律为前提的 纯律中出现了 2比 1 3比 2 之外新的频率 比 5 这个数字的参加使得频 率 比的类型增多 了 在相邻两 音 的频率 比方面 纯律七声音 阶有 3种关 系 9 8 1 O 9 1 6 1 5 这些 数字 比五 度律七声音 阶相邻两音 的 频率 比 9 8与 2 5 6 2 4 3 要 简单得多 然 而频率 比的种类 却 比五 度律七声音 阶多 出一个 仅就 大三和弦而 言纯律七声音阶 比五度律七声音阶的大三和弦更加 和谐 但在作品整体效果上孰好 孰坏 从数学角度 尚不能 作 出判断 纯律发轫于古希腊 时期 1 3世纪末 叶由英 国人奥丁汤 d i n g t 0 n 1 2 4 8 一l 3 1 6 正式确立 参 考 文 献 1 柏西 该丘斯著 缪天瑞译 音乐的构成 M 人民音乐出版 社 1 9 6 4 2 M 克莱 因著 北京大学数学系译 古今数学思想