第五章 第三讲 向量的数量积.doc

第5章 第3讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2011东北三校第一次联合模考)设a，b，c是非零向量，下列命题正确的是()A(ab)ca(bc)B|ab|2|a|22|a|b|b|2C若|a|b|ab|，则a与b的夹角为60D若|a|b|ab|，则a与b的夹角为60命题意图：考查平面向量的数量积的基本概念及运算律解析：对于选项A、B可用数量积定义判断，对于选项C、D可选用向量加、减法的几何意义，对于选项A显然错误，因向量的数量积不符合结合律(ab)c|a|b|cosc，a(bc)a|b|c|cos(其中、分别为a与b，b与c的夹角)(ab)c是与c共线的向量a(bc)是与a共线的向量对于选项B.|ab|2(ab)2a22abb2|a2|2|a|b|cos|b|2，故B错对于选项C、D可用向量加、减法的几何意义如图显然C不正确，D正确对于选项D也可用下面方法证明设是a和b的夹角，|a|b|，|ab|2(ab)2a22abb22|a|22ab|a|2cos，60，故选D.答案：D2若向量a(1,2)，b(1，3)，则向量a与b的夹角等于()A45 B60 C120 D135解析：因为cos，且0，180，所以135.答案：D3已知a(1,0)，b(1,1)，(ab)b，则等于()A2 B2 C. D解析：(ab)b，(ab)b0.abb20.120.答案：D4已知直线axbyc0与圆C：(x3)2(y2)24相交于A、B两点，且ABC的面积是，则的值是()A. B.C D与a，b，c的值有关的数解析：SABC22sinACB，sinACB.在ABC中，cosACB，代入|cosACB.答案：C5已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b方向上的投影为()A. B3 C4 D5解析：ab|a|b|cos，|a|cos.故选A.答案：A6(2010河北石家庄质检)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，若，则向量a与向量ab的夹角是()A. B. C. D.解析：以原点O为起点分别表示向量a，b，易知相应的终点A，B位于以原点O为圆心的单位圆上，以|、|为邻边作平行四边形OACB，则AOB，OAOB1，即平行四边形OACB是菱形，则COA，则ab，故a，ab的夹角等于，选B.答案：B7(2010江西南昌一模)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且2，若DE是圆A另绕圆心A运动的一条直径，则的值是()A B C D不确定解析：()()()()22，又2，|AB|1，|FA|.22|2|21.答案：B8(2010重庆高三联考)称d(a，b)|ab|为两个向量a，b间的“距离”若向量a、b满足：|b|1；ab；对任意的tR，恒有d(a，tb)d(a，b)，则()Aab Ba(ab)Cb(ab) D(ab)(ab)解析：依题意得|atb|ab|，即(atb)2(ab)2，亦即t22tab(2ab1)0对任意的tR都成立，因此有(2ab)24(2ab1)0，即(ab1)20，故ab10，即abb2b(ab)0，故b(ab)，选C.答案：C二、填空题(4520分)9(2009江西，13)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,2)，若(ac)b，则k_.解析：ac(3k，1)，b(1,3)(ac)b.1(3k)(1)30k0.答案：010(2010浙江，文13)已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_解析：|1，|2，由(2)知，(2)0,21，所以|2|2424242410，故|2|.答案：11已知a，b，且2，AOB60，则_；ab与b的夹角为_解析：2；(ab)bb2ab6，则，故填2，.答案：212已知平面上三点A、B、C满足|3，|4，|5，则的值等于_分析：本题考查平面向量数量积的计算方法，突出运算技能的考查，为了便于比较，下面给出5种思路解析：思路1：(向量数量积的定义)因为B90，所以|cos(C)|cos(A)25.思路2：(向量数量积的坐标表示)由已知三角形ABC三边长为3、4、5.所以B90.如图，以B为原点，建立直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(3,0)，(0,0)，(0,4)，所以(0,4)(3，4)(3，4)(3,0)034(4)3(3)(4)025.思路3：(向量数量积的运算律)因为B90，所以0，从而()|225.思路4：(整体配凑法)受思路3启发，由广义对称思想出发可得如下更为一般的解法：()()()()(324252)25.思路5：因为0，所以()20，即(|2|2|2)25.答案：25总结评述：思路1,2,3都利用了B90这一条件，对向量数量积的不同理解产生了不同的思路，而思路4和思路5不仅未用到B90这一条件，还揭示出了更一般的结论：已知平面上三点A、B、C满足|a，|b，|c，则(a2b2c2)由于向量具有“数”与“形”的双重身份，因此其运算形式丰富多彩，独具魅力，特别是思路4,5不仅简化了运算，还揭示了问题的本质若将三点改为四点，如何？研究会继续下去以上各问题，我们都给出了若干解法，有的题目不同解法的繁简程度大相径庭，对于数学问题，只有抓住本质，才能发现简捷、灵活的解题方法，这里有直觉和灵感，更是知识与思想方法融会贯通，是数学学习追求的理想境界，但是，又必须指出，高考复习阶段特别是基础知识复习阶段，我们不提倡刻意追求客观题的特殊解法，只有平时的“小题大做”，才能取得考场上的“小题巧做”三、解答题(41040分)13已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)(1)若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形，求实数m的值解析：(1)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线(3,1)，(2m,1m)，故知3(1m)2m，实数m时，满足条件(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，则，3(2m)(1m)0，解得m.B为直角，(1m，m)，则，3(1m)(m)0，解得m.C为直角，则，(2m)(1m)(1m)(m)0，解得m.综上所述，m或m或m.14(2009湖北，17)已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量bc的长度的最大值；(2)设，且a(bc)，求cos的值思路点拨：本小题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基础知识，考查基本运算能力解析：(1)解法一：bc(cos1，sin)，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos)1cos1，0|bc|24，即0|bc|2.当cos1时，有|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.解法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当cos1时，有bc(2,0)，即|bc|2，向量bc的长度的最大值为2.(2)解法一：由已知可得bc(cos1，sin)，a(bc)coscossinsincoscos()cos.a(bc)，a(bc)0，即cos()cos.由，得cos()cos，即2k(kZ)，2k或2k，kZ，于是cos0或cos1.解法二：若，则a(，)又由b(cos，sin)，c(1,0)得a(bc)(，)(cos1，sin)cossin.a(bc)，a(bc)0，即cossin1，sin1cos，平方后化简得cos(cos1)0，解得cos0或cos1.经检验，cos0或cos1即为所求15(2010湖北黄冈模拟，18)已知ABC中，AB8，AC3，BC7，A为圆心，直径PQ4，求的最大值、最小值，并分别指出取得最值时与夹角的大小解析：在ABC中，由余弦定理知cosBAC，故BAC60.所以()()|cos60|cos180124()888|cos，故的最大值为84722，此时与夹角为0，的最小值为8476，此时