欧拉平衡微分方程.ppt

2 2欧拉平衡微分方程 讨论在平衡状态下 作用于液体上的表面力和质量力之间应满足的关系 建立表示液体平衡的微分方程 2 2 1欧拉平衡微分方程 2 2 2重力下流体的压强分布规律 2 2 1欧拉平衡微分方程 一 欧拉平衡微分方程的推导 二 欧拉平衡微分方程的综合形式 三 质量力的势函数 有势力 等压面 一 欧拉平衡微分方程的推导 如图2 5 在平衡液体中 取一微小六面体 为研究的方便 使其各边分别平行于坐标轴 边长分别为 dx dy dz 其形心点为M x y z 点M的压强为p x y z 图2 5 一 欧拉平衡微分方程的推导 由于六面体各面的形心到点M的距离很小 压强在M点附近的变化可用泰勒级数表示 且可忽略二阶以上的微量 于是 图2 5 分析作用于六面体表面的力 为简化 只讨论X方向 Y Z方向同理可得 1 表面力 只有静水压力 一 欧拉平衡微分方程的推导 a b d c 面上的中心点M1 x dx 2 y z 其压强为 abdc面上的中心点M2 x dx 2 y z 其压强为 图2 5 M1 M2 一 欧拉平衡微分方程的推导 作用于abdc面上的静水总压力为 作用于a b d c 面上的静水总压力为 图2 5 一 欧拉平衡微分方程的推导 单位质量力在各坐标轴方向的分量为 X Y Z 六面体的质量为 2 质量力F 一 欧拉平衡微分方程的推导 根据平衡条件 Fx 0 则有 除以dxdydz 得 同理可得 2 2 2 3 一 欧拉平衡微分方程的推导 欧拉平衡微分方程 表明 在静止液体中 静水压强沿某方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等 2 3 二 欧拉平衡微分方程的综合形式 将欧拉平衡微分方程分别乘以dx dy dz 后相加得 2 4 综合形式 压强差公式 三 质量力的势函数 有势力 等压面 2 4 式左边是p x y z 的全微分 右边括号内各项之和也应是某一函数的全微分 这个函数是U x y z 称为质量力的势函数 简称力势函数 有力势函数存在的力场 叫势场 2 4 三 质量力的势函数 有势力 等压面 当力势函数存在时 有 所以 2 5 只有当质量力是有势力时 液体才处于平衡状态 三 质量力的势函数 有势力 等压面 2 5 2 5 表明压强在空间的变化是由质量力引起的 等压面 在同一种连续液体中 由压强相等的各点所组成的面 在等压面上 压强p 常数 const 于是 U 常数 const 所以等压面也是等势面 三 质量力的势函数 有势力 等压面 等压面的微分方程 即 2 6 等压面的微分方程 dx dy dz是单位质量力的微小位移在各坐标轴方向的投影 2 6 表明 单位质量力所做的微功等于零 由于质量力和位移都不为零 所以在静止液体中质量力与等压面正交 三 质量力的势函数 有势力 等压面 因此 在质量力只有重力时 等压面为一水平面 常见的等压面 1 液体的自由表面2 不相混合的两种液体的交界面 图2 6 2 2 2重力下流体的压强分布规律 一 重力下流体的压强分布规律推导 二 静水压强基本方程的意义 一 重力下流体的压强分布规律推导 静止的液体 所受的质量力只有重力 则X 0 Y 0 Z g 代入压强差公式 取图2 7所示坐标系 一 重力下流体的压强分布规律推导 对均质流体 const 则 即 2 8 上式表明 在重力作用下 不可压缩的静止液体中各点的相等 即对液体中的任两点 2 9 静力学的基本方程 2 7 一 重力下流体的压强分布规律推导 在自由表面上 即 若取h的方向与z相反 则 2 11 静水压强的基本方程 2 10 h 自由液面以下的淹没深度p0 液面压强 则 z z0 0 p p0 一 重力下流体的压强分布规律推导 2 液重压强 h 即从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量 式 2 11 静水压强的基本方程表明 静止液体中的任一点的压强由两部分组成 1 表面压强p0 液面压强 等值传递到液体内各点 巴斯卡原理 一 重力下流体的压强分布规律推导 例2 1一封闭水箱 如图2 8液面上压强p0 120kN m2 求h 0 4m处A点的压强 图2 8 二 静水压强基本方程的意义 水头和单位势能 式中 z 位置高度 位置水头 是研究点相对于某一水平面 基准面 的高度 从能量的角度看 z是单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能 单位位能 下面从能量和几何的角度分析各项的意义 下面从能量和几何的角度分析各项的意义 液柱高度 压强水头 研究点在自由液面以下的高度 从能量的角度看 是单位重量液体所具有的压能 单位压能 测压管水头 测管水头 从能量的角度看 是单位重量液体所具有的势能 单位势能 式中各符号的规定 表明 静止液体内各点单位重量液体