《1.3.2三角函数的图象与性质（一）》教学案.doc

13.2三角函数的图象与性质（一）教学案第1课时正弦、余弦函数的图象与性质 (教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象(2)弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系，记住正、余弦函数的特征，会用五点法画正、余弦函数的图象(3)借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、对称性等性质(4)通过观察、猜想、归纳，培养学生的数学能力，掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力2过程与方法借助单位圆，利用三角函数线作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系诱导公式，自主探究出余弦函数的图象，尝试用五点作图法作正、余弦函数图象，并能结合图象分析有关性质充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想3情感、态度与价值观(1)通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责、一丝不苟的学习精神(2)通过正、余弦函数图象性质的理解，使学生体会从感性认识到理性认识，理解动与静的辨证关系，激发学生的学习积极性重点难点重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图难点：正、余弦函数的性质及应用教学方案设计(教师用书独具)教学建议 1作正弦曲线关于作正弦曲线的教学，建议教师在教学过程中：(1)给学生讲清作正弦曲线既是本课的重点，又是学好后面内容的关键，故要对这一点进行重点教学；(2)引导学生明确正弦曲线的作法有两种，有条件的教师应利用多媒体演示两种方法，并指明两种方法的优缺点；(3)要突出作图象的两个过程，明确意义2正、余弦函数的性质关于正、余弦函数性质的教学建议教师让学生利用定义从理论上简单总结正、余弦函数的性质，然后借助正、余弦函数的图象，通过对图象的深入分析，引导学生得出正、余弦函数的所有性质在教学过程中，要重点强调处理函数问题时，我们经常从图象看性质，用性质画图象，在反复演练中逐步渗透给学生数形结合思想3“五点法”作图关于“五点法”作图的教学，建议教师在教学过程中：(1)让学生观察函数ysin x，x0，2的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点；(2)重视“五点法”作图的作用，明确作图的步骤，通过适当的练习，让学生熟练掌握这种方法教学流程引导学生结合诱导公式和正弦函数图象，自主探究余弦函数的图象，并分析正、余弦函数的有关性质. 引导学生探究函数ysin x，x0，2的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点，完成例1及其变式训练，从而解决利用“五点法”作简图的问题.课前自主导学课标解读1.了解正弦函数、余弦函数的图象2会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象(重点)3借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2上的性质(重点、难点)正弦、余弦函数的图象与性质【问题导思】1你能说出正弦函数、余弦函数定义域、值域吗？【提示】定义域都是R，由三角函数的定义知，值域都是1，12正、余弦函数的奇偶性如何？【提示】由sin(x)sin x，cos(x)cos x可知，正弦函数ysin x为奇函数，余弦函数ycos x为偶函数1正弦、余弦函数的图象(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，余弦函数的图象叫做余弦曲线(2)函数ysin x，x0，2的图象上起关键作用的五个点是：(0，0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)，(3)函数ycos x，x0，2的图象上起关键作用的五个点是：(0，1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)(4)正弦函数、余弦函数图象间的关系是：将正弦函数ysin x的图象向左平移个单位就得到余弦函数ycos x的图象，因此正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，只是在直角坐标系中的位置不同2正弦函数、余弦函数的图象与性质函数正弦函数ysin x，xR余弦函数ycos x，xR图象定义域RR值域1，11，1最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1周期性周期函数，T2周期函数，T2奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y轴对称单调性在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，2k(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，(2k1)(kZ)上是减函数课堂互动探究利用“五点法”作简图例1用“五点法”作出下列函数的图象(1)ysin x1，x0，2；(2)y2cos x，x0，2【思路探究】在0，2上找出五个关键点，用光滑曲线连接即可【自主解答】(1)列表如下：x02sin x01010sin x110121描点连线，如图(1)所示图(1)(2)列表如下：x02cos x101012cos x32123描点连线，如图(2)所示图(2)规律方法1“五点法”中的五点即ysin x或ycos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点“五点法”是作简图的常用方法2列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节变式训练作出下列函数的简图(1)y1cos x，x0，2；(2)ysin 2x1，x0，【解】(1)列表：x02cos x101011cos x21012描点作图，如图所示：(2)列表：x02x02sin 2x01010sin 2x112101描点、连线，如图所示：求三角函数的值域例2求下列函数的值域(1)y32cos x；(2)ycos2 x2sin x2.【思路探究】(1)由1cos x1求32cos x的范围得值域(2)令tsin x，化成关于x的二次函数求解【自主解答】(1)1cos x1，1cos x1，22cos x2，132cos x5，即1y5.故函数y32cos x的值域为1，5(2)令tsin x(xR)，则由1sin x1，知1t1.ycos2 x2sin x2sin2x2sin x1t22t1(t1)2(1t1)，1t1，2t10，0(t1)24，即4y0.故函数ycos2x2sin x2的值域为4，0规律方法1求形如yAsin xB或yAcos xB型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间2求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性互动探究本例函数解析式不变，定义域缩小为x，如何求解？【解】(1)x，cos x1，1cos x，22cos x，132cos x3.故函数y32cos x，x，的值域为1，3(2)ycos2 x2sin x2sin2 x2sin x1(sin x1)2.x，sin x，1sin x11.0(sin x1)2.y0，故所求函数值域为，0.求三角函数的单调区间例3(1)求函数ycos()的单调区间；(2)求函数y2sin(2x)的单调增区间【思路探究】对于第(1)小题，可将角看成一个整体，运用余弦函数的单调性求出x的范围，得到所求的单调区间；对于第(2)小题，先用诱导公式把x的系数化为正，然后用解第(1)小题的方法求解【自主解答】(1)令2k2k2，kZ，则4kx4k，kZ，故函数的单调增区间是4k，4k，kZ.令2k2k，kZ，则4kx4k，kZ，故函数的单调减区间是4k，4k，kZ.(2)函数y2sin(2x)2sin(2x)，因此要求函数y2sin(2x)的单调增区间只需求函数y2sin(2x)的单调减区间即可令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，即原函数的单调增区间为k，k，kZ.规律方法求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的一般步骤：(1)当0时，把“x”看成一个整体，由2kx2k(kZ)解出x的范围，即为函数递增区间；由2kx2k(kZ)解出x的范围，即为函数递减区间(2)当0，0)的单调性讨论同上变式训练求函数y2sin(x)的单调区间【解】y2sin(x)2sin(x)，由2kx2k，得2kx2k，kZ.由2kx2k，得2kx2k，kZ，故函数y2sin(x)的递增区间为2k，2k，kZ；递减区间为2k，2k，kZ.利用三角函数的单调性比较大小例4比较下列各组数的大小：(1)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4；(2)cos 217，cos(1 220)【思路探究】第(1)小题把自变量2，3都化到区间0，上，利用单调性比较大小，而sin 40，从而可得四者的关系；第(2)小题只需把自变量化到090上即可比较大小【自主解答】(1)因为sin 2sin(2)，sin 3sin(3)，且0312，4，又函数ysin x在0，上单调递增，所以sin 2sin 1sin 30，而sin 40，故sin 2sin 1sin 3sin 4.(2)因为cos 217cos 37，cos(1 220)cos 40，又ycos x在090上是减函数，所以cos 37cos 40，即cos 37cos 40，即cos 217cos(1 220)规律方法比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较变式训练比较下列各组数的大小(1)cos()与cos；(2)sin 194与cos 160.【解】(1)cos()cos，coscos(2)cos()cos.0cos，即cos()cos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(9070)sin 70，sin 14cos 160.易错易误辨析判断函数奇偶性时忽略判断定义域是否关于原点对称典例判断f(x)的奇偶性【错解】f(x)sin x，f(x)sin(x)sin xf(x)，f(x)为奇函数. 【错因分析】判断函数的奇偶性，必须先判断函数的定义域是否关于原点对称，上述解法错误的原因是没有考虑定义域，事实上，此函数的定义域不关于原点对称【防范措施】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的基本条件，因此在判断函数的奇偶性时要先判断定义域是否关于原点对称【正解】由题意得1sin x0，sin x1，x2k(kZ)函数的定义域不关于原点对称，函数f(x)是非奇非偶函数1“五点法”作图(1)利用“五点法”画正弦、余弦函数的图象时应注意图象的对称性和凸凹方向(2)利用“五点法”作出正弦、余弦函数在0，2内图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线2判断三角函数的奇偶性判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提另外还要注意诱导公式在判断f(x)与f(x)之间关系时的应用3正、余弦曲线的对称性正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形，并且有无数个对称中心和对称轴，其中正弦曲线对称中心坐标为(k，0)(kZ)，对称轴方程xk(kZ)，余弦曲线的对称中心坐标为(k，0)(kZ)，对称轴方程为xk(kZ)当堂双基达标1下列函数的图象相同的是_(填序号)ycos x与ycos(x)；ysin(x)与ysin(x)；ysin x与ysin(x)；ysin(2x)与ysin x.【解析】ycos(x)cos x，与ycos x的图象不同；ysin(x)cos x，与ysin(x)cos x图象不同；ysin(x)sin x与ysin x的图象不同；ysin(2x)sin x与ysin x的图象相同【答案】2使cos x有意义的实数m的取值范围是_【解析】由题设|1|1m|1m|且m1，得m0.【答案】(，03当取30，60，90，180中的_时，函数ysin(x)是奇函数【解析】要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合所给的角，当180时，ysin(180x)sin x是奇函数【答案】1804不求值，比较各组中三角函数值的大小：(1)sin()与sin()；(2)cos()与cos .【解】(1)0，ysin x在(，0)上是单调增函数，sin()sin()(2)cos()cos cos(2)cos，cos cos(2)cos .0，ycos x在0，上是单调减函数，cos cos ，cos()cos .课后知能检测一、填空题1下列所给的四个图象中，ysin x，x0，2的图象是_图132【解析】x时，ysin 1，排除，利用“五点法”作图验证正确【答案】2函数f(x)1是_函数(填“奇”或“偶”)【解析】定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，且f(x)11f(x)【答案】偶3函数y33cos(2x)的值域是_【解析】1cos(2x)1，0y6.【答案】0，64函数ycos (2x)的单调减区间是_【解析】由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，故单调递减区间是k，k，kZ.【答案】k，k，kZ5将cos 150，sin 470，cos 760按从小到大排列为_【解析】cos 1500， sin 470sin 110cos 200，cos 760cos 400且cos 20cos 40，所以cos 150cos 760sin 470.【答案】cos 150cos 760sin 4706已知函数f(x)sin(x)(xR)，下面结论错误的是_(只填序号)函数f(x)的最小正周期为2；函数f(x)在区间0，上是增函数；函数f(x)的图象关于直线x0对称；函数f(x)是奇函数【解析】ysin(x)cos x，T2，即正确ycos x在0，上是减函数，则ycos x在0，上是增函数，即正确由图象知ycos x的图象关于x0对称，即正确ycos x为偶函数，即不正确【答案】7(2013南京高一检测)函数ysin(x)在区间0，的最小值为_【解析】0x，x，sin(x)1.【答案】8函数f(x)lg(cos x)的定义域是_【解析】由题意得解得2kx2k，定义域为x|2kx2k