二次曲线学习辅导(1).doc

第5章 二次曲线第5章 二次曲线学习辅导（1）学习方法引荐本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识，来研究二次曲线的性质的。在射影平面上取定坐标系后，首先给出二阶（级）曲线的代数法定义，阐明其几何意义之后，给出二阶（级）曲线的射影定义，并研究二阶（级）曲线在射影变换下的不变性质。然后基于射影变换的基本不变性质（结合性）和不变量（交比），反映在二阶（级）曲线上，证明了两个著名的定理巴斯卡定理和布利安香定理，这两个定理是相互对偶的。在此基础上，定义了二阶（级）曲线的极点和极线概念，导出了其求法。在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。根据对偶原理，在射影平面内可将二次曲线看作点曲线（二阶点列），称为二阶曲线。也可以将曲线看作直线的包络，也就是看作是线曲线（二级线束），称为二级曲线，统称二次曲线。因此，对于二阶曲线的每一性质，都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。这一点在学习的过程中要加以注意。本章最后，研究了二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质：二阶曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线，给出了二次曲线的仿射分类：椭圆型曲线、双曲型曲线和抛物型曲线。在仿射平面上研究二阶曲线性质，是以无穷远直线在仿射变换下保持不变为基础来进行的，因此研究仿射性质要把握住无穷远元素。疑难解析 1 二次曲线的概念 教材中首先给出了二次曲线的代数法定义： 二次曲线：满足二次方程 的全体点称为二阶曲线，二阶曲线是点的轨迹. 二级曲线：满足二次方程的直线的全体称为二级曲线，二级曲线看成是直线的包络.二阶曲线和二级曲线统称二次曲线。两个不共心的射影线束（两个不共底的射影点列），对应直线的交点（对应点的连线）的全体连同两个线束的中心（两个点列的底）组成一条二阶曲线（二级曲线）.这实际上给代数定义找到了几何背景，由此引出了二次曲线的射影定义（也称作几何定义）：二阶曲线：两个射影线束对应直线交点的全体称为二阶曲线。 二级曲线：两个射影点列对应点连线的全体称为二级曲线. 当成射影对应的两个线束（点列）为透视的，则此二阶曲线（二级曲线）退化为二直线（二点）。此时称该二阶曲线（二级曲线）为退化的二阶曲线（二级曲线）。一个由射影线束生成的二阶（二级）曲线，可以由其上任意二点（二线）为中心（底）构成的射影线束（点列）生成.由此定理推出两个重要的结论：（1） 平面内给定无三点共线的五点（无三线共点的五条直线），可决定唯一一条二阶曲线（二级曲线）.（2） 二阶曲线上四定点（二级曲线上四条定直线）与其上任意第五点所连四直线（任意第五条直线相交）所得四线（四点）的交比不变.利用这两个结论可以解决有关二次曲线的作图问题。2巴斯卡（）定理和布利安香（）定理这是关于二次曲线的两个重要定理，要注意以下几点：（1）这两个定理是两个对偶的定理，因此其一的证明完全可以从另一个对偶地得出，教材中已经给出这两个定理的证明。值得注意的是，巴斯卡定理的证明中，射影中心的选择可以是其中的任意两点，同理布利安香定理的证明中，点列的底的选择也是任意的两点。（2）这两个定理的逆定理也是成立的。 （3）这两个定理的应用： 已知二阶曲线上的五个点利用巴斯卡定理可以作出第六个点（见典型例题）；对偶地，已知二级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。 可利用他们证明三点共线问题（见典型例题）；对偶地，也可用之证明三线共点问题。3二次曲线的极点与极线极点与极线是关于二次曲线的重要概念，对于讨论二次曲线的仿射性质起着重要的作用。极点与极线的概念是由关于二阶曲线的调和共轭点引入的。（1） 调和共轭点：如果两点被它们连线与二阶曲线的交点调和分离，即，则称关于是调和共轭的.（2） 不在上两点，关于调和共轭当且仅当。（3） 一定点关于二阶曲线：的调和共轭点的轨迹是一条直线.这条直线称为点的极线，而点称为直线的极点。（4） 不在二阶曲线上两点，关于调和共轭的充要条件是。4二阶曲线的切线 我们从讨论二阶曲线（二级曲线）与直线（点）的相关位置入手，推导出二阶曲线（二级曲线）的切线（切点）的方程。 设两点的坐标为，则直线上任意点的坐标可以写成，其中（）（1）为了求直线与二阶曲线（） （2）的交点，我们将（1）式代入（2）式，得展开并整理，得()（）0 （3）如果点不在二阶曲线上，则（3）式是关于的二次方程，有二值适合（3）式，这两个值或实、或虚、或重合，所以直线与二阶曲线或相交，或相离，或相切。由于，所以，因此（3）式可以写成()20（4）显然当()2 ()（）0（5）时，方程有二相等实根，即表示直线与二阶曲线相切。若点在二阶曲线上，则切线方程为=0，写成矩阵形式为此方程表示过二阶曲线上一点的二阶曲线的切线方程。其中A为二阶曲线的系数矩阵。类似的方法，可以讨论二级曲线与点的位置关系，求出切点的方程和切点的坐标。在此留给同学们自己讨论。5.二次曲线的仿射性质本教材主要是对非退化的二次曲线来讨论它的仿射性质的。由于仿射变换也是射影变换，它是使无穷远直线变到它自身的射影变换，所以用射影观点研究仿射性质必然与无穷远直线有关。 例如中心是无穷远直线关于这二阶曲线的极点，直径是无穷远点的极线等等。（1） 二阶曲线的中心“无穷远直线关于二阶曲线的极点称为这个二阶曲线的中心”，这个定义与解析几何二次曲线的中心定义“平面上的一点，如果二次曲线的通过这点的弦都被这点平分时，这点就称为二次曲线的中心”是完全一致的。如图，设无穷远直线的极点为C，过C任作直线与二阶曲线交于P1,P2，与交于，现在只要证明平分弦P1P2。因为C是的极点，所以有（P1P2，C）1 由于是无穷远点，所以（P1P2C）1 P2C即C是P1P2的中点。反之，如果C平分经过它的任意弦P1P2，则（P1P2C）1 C 即（P1P2，C）1 P1当弦P1P2变动时，无穷远直线的极点为C。 （2）直径与共轭直径“无穷远点关于二阶曲线的极线称为这个二阶曲线的直径”，直径是普通直线，非退化二次曲线有无穷多条直径，且对有心二次曲线而言，其直径是以中心为心的线束，这个定义与解析几何中的定义“过中心的直线叫直径”或“一组平行弦的中点的轨迹叫做直径”都是一致的，因为（1） 由配极原则可知，中心是无穷远直线的极点，故无穷远点的极线一定通过中心。（2） 设一组平行弦的公共无穷远点为，则当 且仅当为其中某弦的中点时有 A 即 所以这组平行弦的中点轨迹恰为的极线。 B 共轭直径的定义“二阶曲线的一条直径与无穷远直线交点的极线”是对有心二次曲线而言的。它与解析几何中的定义“平分与一已知直径平行的平行弦的直径叫已知直径的共轭直径过中心的直线叫直径”或“一组平行弦的重点的轨迹叫做直径”都是一致的。设与直径AB平行的平行弦的交点，则的极线必为另一直径EF，且EF平分那组平行弦，又EF是直径AB与无穷远直线的交点的极线，根据配极原则EF与无穷远直线的交点的极线是AB，所以共轭直径是互相的。又由图可看出，由于的极线是EF，所以F与E是二阶曲线的切线，因此过一直线的两端点所作二次曲线的切线是平行的。3渐近线渐近线的定义“二阶曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二阶曲线的渐近线”，所以，只有双曲线才有渐近线，抛物线在无穷远点处的切线是无穷远直线，所以抛物线没有渐近线，而椭圆与无穷远直线交于虚点，所以椭圆的渐近线是虚直线。渐近线有重要性质：二阶曲线的两条渐近线相交于中心，而且调和分离任何一对共轭直径。5.二次曲线的仿射分类由于仿射变换使无穷远直线保持不变，又由于仿射变换保持结合性，所以无穷远直线与二阶曲线的相关位置经仿射变换后不变，因此研究二阶曲线的性质就可以从二阶曲线与无穷远直线的相关位置入手。利用二阶曲线与无穷远直线的相关位置，可以把二阶曲线分为三种类型，在每一类型中又按照二阶曲线退化与否，实、虚情况分为各种不同情况。设二阶曲线：（），是中的余子式。（1），即的秩为3中心的齐次坐标为。若，则是有限点，这时中心的非齐次坐标为，。曲线称为有心的二次曲线，分为两种情况：当时，二次曲线与无穷远直线有两个交点，满足方程：，方程有两共轭复根（看成的方程），于是无穷远直线与二次曲线有两个虚交点，这时的二次曲线称为椭圆.时，方程有两个互异实根，说