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文档简介

令 就是Bernoulli數Bk，但只表示Pk(n)中i次方的係數，並非Bk的i次方。仿照前面由P1(n)，P2(n)求得P3(n)的過程，可得 比較兩邊係數，就得 利用此式，用數學歸納法，依次可得 最後一個式子就相當於Bernoulli的Pk(n)公式，而由前一個公式，我們可以迅速按順序寫下P1(n)，P2(n)，P3(n)，的公式；Pk(n)與Pk-1(n)的關係也可以用如下的積分式表示出來： Pk(n)的公式及Bernoulli數與其他的許多數學也很有關係，我們僅舉出兩個例子。 十七世紀時，積分學的突破就在於用分割的方法， 求得曲線 yxk下的面積。如圖，將區間0,1n等分，然後在各小分段上立起一矩形，則這些矩形面積之和為 它是曲線下，0,1上面積的近似值。因Pk(n)為的k1次，且首項係數為1k1，所以 這正是我們想要的面積。 n2時，xnynzn無正整數解，這個著名的Fermat 猜測也和Bernoulli 數有關。我們知道只要考慮 nP為質數的情形就好。若P次方根p與整數所生成的整數域Op有因數分解唯一的性質，則由因數分解 可輕易證得Fermat 猜測是對的。然而有這樣性質的P卻只有P3、5、7、11、13、17、19 這七個質數。每個整數域Op都相應有一類數hp，它正表示Op偏離分解唯一的情況：hp1，則分解唯一；hp，則否，且hp愈大，Op愈遠離分解唯一。關於Fermat 猜測，我們有一重要的定理，它說：若P不整除hp，則Fermat 猜測一定是對的；而P不整除hp的充要條件為P不整除B2，B4，Bp-3這些Bernoulli 數中任一個的分子。檢查已知的Bernoulli 數表，我們發現，在 範圍內，除了37、59、67 外，P都有這樣的性質。雖然Bernoulli 數的研究不一
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