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第二章 平面力系的简化与合成引言 在工程实际中，作用于物体上的力系往往是较为复杂的。研究物体的平衡问题，就必须在保证作用效应完全相同的前提下，将复杂力系简化为简单力系，这就是力系的简化。而力系的合成则是将一个力系简化成一个力，用一个力代替一个力系。因此，力系的简化与合成是研究平衡问题的前提和基础。 本章将研究平面力系的简化与合成，为研究平衡问题打下基础。基本要求 1、掌握投影及力矩的求法； 2、理解力偶的概念及性质； 3、掌握各种平面力系的简化方法； 4、理解力的平移定理，掌握固定端约束的约束反力画法。第一节平面汇交力系的合成各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。一、投影的概念及求法力的作用效应取决于其大小、方向和作用点（对刚体而言是作用线），其大小、方向对作用效应的影响，可用力在坐标轴上的投影来描述。力在坐标轴上的投影不仅表征了力对物体的移动效应，而且还是平面汇交力系合成的基础。 在力的作用面内任选一坐标轴，由力的作用线的始端和末端分别向该轴做垂线，所得的两垂足间的线段冠以适当的正负号，就称为该力在该坐标轴上的投影。具体说明如下： 设力作用于物体上的点，其作用线为，在力的作用线所在的平面内建立直角坐标系。浏览器不支持嵌入式框架，或被配置为不显示嵌入式框架。 从力的两个端点、分别作x轴的垂线，得垂足a、b，在线段ab前冠以适当的正负号，就称为力在x轴上的投影，记作；同样从、分别作y轴的垂线，得垂足、，在线段前冠以适当的正负号，就称为在y轴上的投影，记作。 力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定如下：若从始端对应的垂足（a或a）到末端对应的垂足（b或b）的趋势（指向）与坐标轴的正向一致，则力在坐标轴上的投影为正，反之为负。如图2-1中，取正值，取负值。 若力的大小为，它与x和y轴所夹的锐角分别为、，则在x、y轴上的投影分别为： 上式表明，力在坐标轴上投影的大小，等于力的大小与力与该轴所夹锐角的余弦的乘积。 不难看出，当力与坐标轴平行（或重合）时，力在坐标轴上投影的绝对值等于力的大小，力的方向与坐标轴的正向一致时，投影为正，反之为负；当力与坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影等于零。 由投影的定义式可知，力在坐标轴上的投影仅与力的大小、方向有关，而与力的作用点或作用线的位置无关，它仅表征了力的大小、方向对力的作用效应的影响. 前面讲述了已知力求投影的方法，反过来，若已知力在坐标轴上的投影和，也可以求出力的大小和方向。 式中，表示力的大小，a表示与x轴所夹的锐角，的具体指向可由x和y的正负确定。显然，时，指向右上方；时，指向右下方；时，指向左上方；时，指向左下方。 必须指出，投影和分力是两个不同的概念，分力是矢量，投影是代数量，分力与作用点的位置有关，而投影与作用点的位置无关，它们与原力的关系分别遵循不同的规则，只有在直角坐标系中，分力的大小才和同一轴上的投影的绝对值相等。 二、合力投影定理 投影表征了力对物体一种效应的，同时，合力与分力又是等效的，那么，二者的投影间有何关系呢？ 可以证明，当刚体受1、2n组成的平面汇交力系的作用时， 若 12n 则 x1x+2xnxxy1y+2ynyy上式说明，合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。 既然合力投影与分力投影之间的关系对任意轴都成立，那么，在应用合力投影定理时，我们就应注意坐标轴的选择，尽可能使运算方便。 三、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系的合成方法主要有几何法和解析法两种。几何法是根据力的平行四边形法则逐一合成，工程上应用较多的是解析法。其具体方法如下： 欲求平面汇交力系1、2n的合力，首先建立直角坐标系，并求出各力在x、y轴上的投影，然后根据合力投影定理计算合力的投影和，最后根据公式（2-2）求出合力的大小和方向： 式中，为合力的大小，为与x轴所夹的锐角，的具体指向仍由和的正负确定，合力的作用点在力系的汇交点。 例题：如图所示，在O点作用有四个平面汇交力，已知F1100N，F2100N，F3150N，F4200N，试求该力系的合力。需注意的是，所选坐标系不同，力系合成的结果一样，但繁简程度也不同，解题时，将坐标轴选取在与尽可能多的力垂直或平行的方向，可简化运算过程第二节力对点之矩 。力对物体的作用效应，除移动效应外，还有转动效应。其移动效应取决于力的大小和方向，可用力在坐标轴上的投影来描述。那么力对物体的转动效应与哪些因素有关？又如何描述呢？ 一、力对点之矩的概念 如图所示，当我们用扳手拧螺母时，力使螺母绕点转动的效应不仅与力的大小有关，而且还与转动中心到的作用线的距离d有关。大量实践表明，转动效应随或d的增加而增强，可用与d的乘积来度量。另外，转动方向不同，效应也不同，为了表示不同的转动方向，还应在乘积前加上适当的正负号。点击图片观看动画 在力学中，为度量力使物体绕某点（矩心）的转动的效应，将力的大小（）与矩心到力的作用线的距离（力臂d）的乘积d冠以适当的正负号所得的物理量称为力对点之矩，简称力矩，记作，即， 力对点之矩是一个代数量，其正负号的规定为：力使物体绕矩心逆时针转动时，取正号；反之，取负号。其单位为牛顿米（）或千牛顿米（），显然，。 由力矩的定义式可知，力矩具有以下性质: (1)、力矩的大小和转向与矩心位置有关，同一力对不同矩心的力矩不同。 (2)、力沿其作用线滑移时，力对点之矩不变，因为此时力的大小、方向未变，力臂也未变。 (3)、当力的作用线通过矩心时，力臂为零，力矩也为零。 二、合力矩定理 合力与分力是等效的，而力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。可以证明：合力对平面内任意一点之矩，等于所有分力对同一点之矩的代数和。即， 若 12n 则 m（）m（1）m（2）m（n） 此关系称为合力矩定理。该定理不仅适用于平面汇交力系，对任何有合力的力系均成立。 三、力对点之矩的求法 求力对点之矩的方法，一般有以下两种： 1、直接根据定义式求。 这种方法的关键是求力臂d。需要特别注意的是，力臂是矩心到力的作用线的距离，而点到线段的距离是垂线段的长度，即力臂一定要垂直于力的作用线。 例题： 例1、求图中各力对O点之矩。MO（F1）F1OA MO（F2）0 MO（F3）F3AB MO（F4）F4OCcos 例2 已知力Fn1400N，压力角20，半径r60cm，计算力Fn对圆心O之矩。根据力矩定义求：hrcos 0.6 cos20=0.5638mMO(Fn)=Fn.h14000.5638=789.32Nm 根据合力矩定义求：将力Fn分解为圆周力Ft和径向力Fr，则 MO(Fn)=MO(Fr)+MO(Ft)=Fn.cos20.r=789.32Nm 例3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为，又知OB=l，BC=h，求力F对O点的力矩。根据力矩定义求：根据合力矩定义求：第三节力偶及平面力偶系的合成 一、力偶及力偶矩 力学中，把作用在同一物体上，大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力称为力偶，记作（，），力偶中两个力的作用线间的距离d称为力偶臂，两个力所在的平面称为力偶的作用面。 在工程实际和日常生活中，物体受力偶作用而转动的现象十分常见，例如，司机两手转动方向盘，双手用丝锥攻丝，用两个手指拧动水龙头、开门锁等所施加的都是力偶。 由实践经验可知，力偶中的两个力不满足二力平衡条件，不能平衡，也不能对物体产生移动效应，只能对物体产生转动效应。而且，力偶对物体的转动效应随力的大小或力偶臂d的增大而增强，因此，我们用二者的乘积d冠以适当的正负号所得的物理量来量度力偶对物体的转动效应，称之为力偶矩，记作m（，）或m，即， 在平面内，力偶矩与力矩一样，也是代数量，正负号表示力偶的转向，其规定与力矩相同，即，逆正顺负。力偶的单位也与力矩相同，常用m和km。 力偶对物体的转动效应取决于力偶矩的大小、转向和力偶的作用面的方位，我们称这三者为力偶的三要素。三要素中，有任何一个改变，力偶的作用效应就会改变。 二、力偶的性质 根据力偶的概念，可以证明，力偶具有以下性质： 1、力偶在任意轴上的投影恒等于零，故力偶无合力，不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡，因此，力偶只能用力偶来平衡。可见，力偶和力是组成力系的两个基本物理量。 2、力偶对其作用面内任意一点之矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的位置无关。 3、力偶的等效性：凡是三要素相同的力偶，彼此等效，可以相互代替。此即力偶的等效性。 根据力偶的等效性，可得出以下两个推论： 推论一：力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关，力偶可以在其作用面内任意移动或转动，而不改变它对刚体的效应。 推论二：在保持力偶矩的大小和转向不变的情况下，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的效应。 在平面力系中，由于力偶对物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小和转向，因此，在表示力偶时，没有必要表明力偶的具体位置以及组成力偶的力的大小、方向和力偶臂的值，仅以一个带箭头的弧线来表示，并标出力偶矩的值即可，如图所示，其中箭头表示力偶的转向。 应当注意：力偶的等效性及其推论，只适用于刚体，不适用于变形体。 三、平面力偶系的合成 作用于同一物体上的若干个力偶组成一个力偶系，若力偶系中各力偶均作用在同一平面，则称为平面力偶系。 既然力偶对物体只有转动效应，而且，转动效应由力偶矩来度量，那么，平面内有若干个力偶同时作用时（平面力偶系），也只能产生转动效应，显然其转动效应的大小也等于各力偶转动效应的总和。可以证明，平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即m1m2mn第四节 平面任意力系的简化力系中，各力的作用线都处于同一平面内，既不全都汇交于一点，又不全都平行，这样的力系称为平面任意力系。它是工程实际中最常见的一种力系。平面任意力系的简化以力的平移定理为依据. 一、力的平移定理由力的基本性质可知，在刚体内，力沿其作用线滑移，其作用效应不变。如果将力的作用线平行移动到另一位置，其作用效应是否改变呢？由经验可知，力的作用线平移后，将改变原力对物体的作用效果。例如，如图2-12所示，当力作用于点并通过其轴心时，轮不转动，而力的作用线平移至点后，轮则转动。显然，力的作用线从点平移到点后，其效应发生了改变。 可见，力的作用线平移后，要保证其效应不变，应附加一定的条件。可以证明，将作用于刚体上的力，平移到刚体上任意一点，必须附加一个力偶才能与原力等效，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点之矩，此即为力的平移定理。 力的平移定理可用 下图予以解释。点击图片观看动画 应用力的平移定理时必须注意： 1、力线平移时所附加的力偶矩的大小、转向与平移点的位置有关。 2、力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用，并且力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另一刚体。 3、力的平移定理的逆定理也成立。 力的平移定理不仅是力系简化的依据，而且也是分析力对物体作用效应的一个重要方法，能解释许多工程和生活中的现象。例如，用丝锥攻丝时，为什么单手操作时容易断锥或攻偏 （观看动画）；打乒乓球时，为什么搓球能使乒乓球旋转等。请读者自己分析。 二、平面任意力系简化方法 设刚体上作用着平面任意力系1、2n。在力系所在平面内任选一点作为简化中心，并根据力的平移定理将力系中各力均平移到点，同时附加相应的力偶。于是原力系等效地简化为两个力系：作用于点的平面汇交力系1、2n和力偶矩分别为m1、m2mn的附加平面力偶系，如图所示，（其中，11、22nn；m1m(1)、m2m(2)mn= m(n) ）。分别将这两个力系合成。 对平面汇交力系1、2n，可进一步合成为一个力：12n称为原力系的主矢量，简称主矢。它等于原力系中各分力的矢量和，但并不是原力系的合力，因为它不能代替原力系的全部作用效应，只体现了原力系对物体的移动效应。其作用点在简化中心，大小、方向可用解析法计算：1x+2xnxx1y+2ynyy式中， q表示与x轴所夹的锐角，的指向可由x、y的正负确定。显然主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 对于附加力偶系，可进一步合成为一个合力偶，其力偶矩：m1m2mn (2-9)称为原力系的主矩。它等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。同样，它也不是原力系的合力偶矩，因为它也不能代替原力系对物体的全部效应，只体现了原力系使物体绕简化中心转动的效应。显然主矩的大小和转向与简化中心的位置有关。点击图片观看动画 综上所述，平面任意力系向平面内任一点简化，可得一力和一力偶，该力称为原力系的主矢量，它等于原力系中各力的矢量和，作用点在简化中心上，其大小、方向与简化中心无关；该力偶的矩称为原力系的主矩，它等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，其值一般与简化中心的位置有关。例2-8 如图所示，物体受1、2、3、4、5五个力的作用，已知各力的大小均为10，试将该力系分别向点和点简化。解：(1)向点简化： 向点简化的结果如图b所示。(2)向点简化： m向点简化的结果如图c所示。 三、固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束，称为固定端约束。例如，建筑物中的阳台、车床上车刀的固定（观看动画）、电线杆插入地面以及焊铆接和用螺栓连接的结构等，这些工程实例都可抽象为固定端约束，其力学模型如图所示。 固定端约束所产生的约束反力比较复杂，物体插入部分各点所受的约束反力的大小、方向均不同，但在平面力系问题中，这些反力组成一个平面任意力系（观看动画），在不清楚插入部分受力情况的条件下，把这个力系向固定端上的点简化，可得到作用于点的一个力和一个力偶m。一般情况下，的方向未知，常用两个正交反力x、y来表示，因此，固定端约束有两个约束反力和一个约束反力偶，其中两个约束反力x、y限制物体的移动，约束反力偶m限制物体的转动。 本章小结 一、平面汇交力系的简化与合成 1、各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。 2、投影的概念及求法：由力的作用线的始端和末端分别向坐标轴做垂线，所得的两垂足间的线段冠以适当的正负号，就称为该力在该坐标轴上的投影。其求法为： 3、合力投影定理：合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴上投影的代数和，此即合力投影定理。 4、平面汇交力系合成的合成：二、力对点之矩1、力对点之矩的概念：力的大小与矩心到力的作用线的距离（力臂）的乘积冠以适当的正负号所得的物理量称为力对点之矩。力使物体绕矩心逆时针转动时，取正号；反之，取负号。其单位为牛顿米。2、力对点之矩的求法：直接根据定义式求：根据合力矩定理求：m（）m（1）m（2）m（n）三、平面力偶系的合成 1、力偶及力偶矩：作用在同一物体上，大小相等、方向相反、但不共线的一对平行力称为力偶。力的大小