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第六节空间直线及其方程 教学内容1空间直线的一般方程 2空间直线的对称式方程与参数方程 3两直线的夹角 4直线与平面的夹角 本节考研要求掌握直线方程的求法 会利用平面 直线的相互关系解决有关问题 会求点到直线与点到平面的距离 定义 空间直线可看成两平面的交线 空间直线的一般方程 一 空间直线的一般方程 方向向量的定义 如果一非零向量平行于一条已知直线 这个向量称为这条直线的方向向量 二 空间直线的对称式方程与参数方程 直线的对称式方程 令 方向向量的余弦称为直线的方向余弦 说明 某些分母为零时 其分子也理解为零 直线方程为 例如 当 3 参数式方程 设 得参数式方程 例1 用对称式及参数式表示直线 解 先在直线上找一点 再求直线的方向向量 令x 1 解方程组 得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路 先找直线上一点 再找直线的方向向量 解 所以交点为 所求直线方程 两点式方程 注 解 先作过点M且与已知直线L垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N L M N 代入平面方程 得 交点 取方向向量 所求直线方程为 另解 L M L 再求过M与L的 两直线的方向向量的夹角 锐角 称为两直线的夹角 两直线的夹角公式 三 两直线的夹角 两直线的位置关系 解 设所求直线的方向向量为 根据题意知 取 所求直线的方程 当直线与平面垂直时 规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 2 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 设直线L的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 特别有 解 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程 为所求直线的方向向量 垂 例3 求过点 1 2 4 且与平面 解 为所求夹角 四 平面束介绍 表示通过直线的平面束 通过直线的平面的全体 方程 方程称为通过直线L的平面束方程 可知方程是通过直线L的 对于不同的 方程表示通过直线L的不同平面 反之 凡是通过直线L的平面必定在方程中 例4 求直线 解 过直线 该平面与平面 在平面 上的投影直线方程 的平面束方程为 即 垂直的条件是 即 解出得 代入 1 得 故所求投影直线方程为 例9求过两个平面x 2y z 1 0与2x 3y z 0的交线且过点 1 2 3 的平面方程 解设直线L通过平面方程 x 2y z 1 0与2x 3y z 0的交线且过点 1 2 3 把点M 1 2 3 的坐标代入方程 4 我们得到 3 0 我们取 1 则 3 代入方程 4 得到 1 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小
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