（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题能力训练6导数与函数的单调性、极值、最值.docx

专题能力训练6导数与函数的单调性、极值、最值专题能力训练第18页一、能力突破训练1.(2019全国,理6)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1答案:D解析:y=aex+lnx+1,k=y|x=1=ae+1=2,ae=1,a=e-1.将点(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.2.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案:D解析:设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10x2x3.所以在区间(-,x1)和(x2,x3)内,f(x)0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.f1k1k-1C.f1k-1kk-1答案:C解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,则F(x)=f(x)-k0,函数F(x)在R上为单调递增函数.1k-10,F1k-1F(0).F(0)=f(0)=-1,f1k-1-kk-1-1,即f1k-1kk-1-1=1k-1,f1k-11k-1,故C错误.4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f(x),f(x)0的解集为x|-2x3.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-8122B.13C.2D.5答案:C解析:依题意得f(x)=3ax2+2bx+c0的解集是-2,3,于是有3a0,-2+3=-2b3a,-23=c3a,则b=-3a2,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-812a=-81,解得a=2.故选C.5.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案:-3解析:设f(x)=(ax+1)ex,可得f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率k=f(0)=a+1=-2,a=-3.6.已知函数f(x)=ex+mln x(mR,e为自然对数的底数),若对任意正数x1,x2,当x1x2时都有f(x1)-f(x2)x1-x2成立,则实数m的取值范围是.答案:0,+)解析:依题意得,对于任意的正数x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)-x1f(x2)-x2,因此函数g(x)=f(x)-x在区间(0,+)内是增函数,于是当x0时,g(x)=f(x)-1=ex+mx-10,即x(ex-1)-m恒成立.记h(x)=x(ex-1),x0,则有h(x)=(x+1)ex-1(0+1)e0-1=0(x0),h(x)在区间(0,+)内是增函数,h(x)的值域是(0,+),因此-m0,m0.故所求实数m的取值范围是0,+).7.设函数f(x)=aex+1aex+b(a0).(1)求f(x)在区间0,+)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=32x,求a,b的值.解:(1)f(x)=aex-1aex.当f(x)0,即x-lna时,f(x)在区间(-lna,+)内单调递增;当f(x)0,即x-lna时,f(x)在区间(-,-lna)内单调递减.当0a0,f(x)在区间(0,-lna)内单调递减,在区间(-lna,+)内单调递增,从而f(x)在区间0,+)内的最小值为f(-lna)=2+b;当a1时,-lna0,f(x)在区间0,+)内单调递增,从而f(x)在区间0,+)内的最小值为f(0)=a+1a+b.(2)依题意f(2)=ae2-1ae2=32,解得ae2=2或ae2=-12(舍去).所以a=2e2,代入原函数可得2+12+b=3,即b=12.故a=2e2,b=12.8.设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,f(2)=2e+2,f(2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1,解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)内单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)内的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).9.已知函数f(x)=1x-x+aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x22,令f(x)=0,得x=a-a2-42或x=a+a2-42.当x0,a-a2-42a+a2-42,+时,f(x)0.所以f(x)在0,a-a2-42,a+a2-42,+内单调递减,在a-a2-42,a+a2-42内单调递增.(2)证明由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a2.因为f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于f(x1)-f(x2)x1-x2=-1x1x2-1+alnx1-lnx2x1-x2=-2+alnx1-lnx2x1-x2=-2+a-2lnx21x2-x2,所以f(x1)-f(x2)x1-x2a-2等价于1x2-x2+2lnx20.设函数g(x)=1x-x+2lnx,由(1)知,g(x)在(0,+)内单调递减,又g(1)=0,从而当x(1,+)时,g(x)0.所以1x2-x2+2lnx20,即f(x1)-f(x2)x1-x20)上的最小值;(3)若存在两个不等实数x1,x21e,e,使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e,g(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g(1)=4e,所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)f(x)=lnx+1,当x变化时f(x),f(x)的变化情况如下:x0,1e1e1e,+f(x)-0+f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增当t1e时,在区间t,t+2上,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(t)=tlnt;当0t1e时,在区间t,1e内,f(x)为减函数,在区间1e,t+2上,f(x)为增函数,所以f(x)min=f1e=-1e.(3)由g(x)=2exf(x),可得2xlnx=-x2+ax-3,则a=x+2lnx+3x,令h(x)=x+2lnx+3x,则h(x)=1+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2,当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下:x1e,11(1,e)h(x)-0+h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增因为h1e=1e+3e-2,h(1)=4,h(e)=3e+e+2,所以h(e)-h1e=4-2e+2e0,所以实数a的取值范围为4,e+2+3e.二、思维提升训练11.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),对任意xR满足f(x)+f(x)e3f(3)B.e2f(2)e3f(3)C.e2f(2)e3f(3)D.e2f(2)e3f(3)答案:A解析:令g(x)=exf(x),则g(x)=ex(f(x)+f(x)g(3),即e2f(2)e3f(3).故选A.12.(2019江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.答案:(e,1)解析:设点A(x0,y0),则y0=lnx0,又y=1x,当x=x0时,y=1x0,点A在曲线y=lnx上的切线方程为y-y0=1x0(x-x0),即y-lnx0=xx0-1,代入点(-e,-1),得-1-lnx0=-ex0-1,即x0lnx0=e,得x0=e,y0=1,故点A(e,1).13.已知函数f(x)=1+ln(x+1)x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当x0时,若f(x)kx+1恒成立,求整数k的最大值.解:(1)由f(x)=1+ln(x+1)x,知x(-1,0)(0,+).所以f(x)=-1+(x+1)ln(x+1)x2(x+1).令h(x)=1+(x+1)ln(x+1),则h(x)=1+ln(x+1).令h(x)=0,得x=1e-1,易得h(x)在区间-1,1e-1内单调递减,在区间1e-1,+内单调递增.所以h(x)min=h1e-1=1-1e0,所以f(x)0时,f(x)kx+1恒成立,则k0)(x)=-xx+10,(3)=2ln2-20,aR).(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;(2)设g(x)=f(x)+f(x)x-1,若函数g(x)在(0,1)(1,+)内有两个极值点x1,x2,求证:g(x1)g(x2)0).则f(x)=(-2x+1)ex-(-x2+x-1)exe2x=(x-1)(x-2)ex(x0).当x(0,1)(2,+)时,f(x)0,当x(1,2)时,f(x)0,x1+x2=a+220,x1x2=10,解得a2.所以g(x1)g(x2)=(-2x1+a)(-2x2+a)(x1-1)ex1(x2-1)ex2=4x1x2-2a(x1+x2)+a2x1x2-(x1+x2)+1ex1+x2=2(2-a)2-a+22ea+22=4ea+22,因为a2,所以4ea+224e2,所以g(x1)g(x2)=4ea+220时,m(x)0;当x0时,m(x)0,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a0时,h(x)=2(ex-elna)(x-sinx),由h(x)=0得x1=lna,x2=0.()当0a1时,lna0,当x(-,lna)时,ex-elna0,h(x)单调递增;当x(lna,0)时,ex-elna0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=lna时h(x)取到极大值.极大值为h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,lna=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在区间(-,+)内单调递增,无极值;()当a1时,lna0,所以当x(-,0)时,ex-elna0,h(x)单调递增;当x(0,lna)时,ex-elna0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=lna时h(x)