高考数学二轮复习 专题四 数列、极限与数学归纳法高考预测课件 理.ppt

专题四 数列 极限与数学归纳法高考预测2012年高考命题趋势 选择题 填空题将仍以考查两个特殊数列的基础知识和运算能力为主 突出 小 巧 活 的特点 解答题仍以综合题为主 内容涉及到函数 不等式 解析几何 组合与二项式定理等 突出对思想与方法的考查 考查的思想有 函数与方程的思想 等价转化的思想 分类讨论的思想 特殊与一般的思想 考查的主要方法有 叠加法 累积法 迭代法 待定系数法 倒序相加法 错位相减法 裂项相消法 放缩法 数学归纳法 近年来不断地涌现出信息题 着重考查学生的阅读能力和知识迁移的能力 而对递推公式的考查十分火热 适当地拓展一些由递推关系求通项的方法是大有必要的 它可以使方法更为直接 以三角 解析几何 导数和二项定理相交汇的数列综合试题将成为高考命题中的新宠 应引起高度重视 其中常考不衰的四个热点是 关于an与sn之间关系的考查 叠加 累积 错位相减 裂项相消 等方法的运用 构造新数列 将非等差 等比数列化成等差 等比数列 数列中的不等式证明 考题回放1 2009年 海南宁夏 等比数列 an 的前n项和为sn 且4a1 2a2 a3成等差数列 若a1 1 则s4等于 a 7 b 8 c 15 d 16 解析 4a1 2a2 a3成等差数列 4a1 a3 4a2 即4a1 a1q2 4a1q q2 4q 4 0 q 2 s4 15 答案 c2 2009年 江西 数列 an 的通项an n2 其前n项和为sn 则s30为 a 470 b 490 c 495 d 510 解析 由于以3为周期 故s30 25 470 答案 a 3 2011年 重庆 设a1 2 an 1 bn n n 则数列 bn 的通项bn 解析 bn 1 2bn 又b1 4 故数列 bn 是以4为首项 以2为公比的等比数列 bn 2n 1 答案 2n 14 2009年 山东 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n n 证明 对任意的n n 不等式成立 解析 1 解 点 n sn 均在函数y bx r b 0且b 1 b r均为常数 的图象上 sn bn r b 0且b 1 b r均为常数 当n 1时 a1 s1 b r 当n 2时 an sn sn 1 bn r bn 1 r b 1 bn 1 又数列 an 为等比数列 故r 1且公比为b 2 证明 当b 2时 则an 2n 1 bn 2 log2an 1 2 log22n 1 1 2n n n 于是要证明的不等式为对任意的n n 成立 法一 可用数学归纳法 当n 1时 显然成立 假设当n k时成立 即成立 则当n k 1时 即当n k 1时不等式成立 所以原不等式对任意n n 成立 所以原不等式成立 5 2009年 江西 各项均为正数的数列 an a1 a a2 b 且对满足m n p q的正整数m n p q都有 1 当a b 时 求通项an 2 证明 对任意a 存在与a有关的常数 使得对于每个正整数n 都有 an 解析 1 解 由 得 将a1 a2 代入上式化简得an 所以 故数列为等比数列 又 从而 即an 可验证an 满足题设条件 2 证明 由题设的值仅与m n有关 记为bm n 则bn 1 考察函数f x x 0 则在定义域上有f x g a 故对n n bn 1 g a 恒成立 又b2n g a 注意到0 g a 解上式得 an 取 即有 an 专题训练一 选择题1 在等差数列 an 中 a1 a4 a7 39 a3 a6 a9 27 则数列 an 的前9项之和s9等于 a 66 b 99 c 144 d 297 解析 数列 an 是等差数列 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9也成等差数列 a2 a5 a8 33 即s9 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9 99 答案 b2 设等比数列 an 的公比q 2 前n项和为sn 则等于 a 2 b 4 c d 解析 答案 c3 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则a9 a11的值为 a 14 b 15 c 16 d 17 解析 由已知得5a8 a4 a6 a8 a10 a12 120 a8 24 a9 a11 3a9 a11 3a1 24d a1 10d a1 7d a8 16 答案 c 4 在等比数列 an 中 已知a1 a2 a3 4 a2 a3 a4 2 则a3 a4 a5 a6 a7 a8等于 a b c d 解析 q a3 a4 a5 1 a6 a7 a8 a1 a2 a3 5 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 答案 d 5 在等差数列 an 中 a100且a11 a10 sn为数列 an 的前n项和 则使sn 0的n的最小值为 a 21 b 20 c 10 d 11 解析 a11 a10 且a10 0 a10 a11 0 即s19 19a10 0 s20 10 a10 a11 0 答案 b6 公差不为0的等差数列 an 中 2a3 a72 2a11 0 数列 bn 是等比数列 且b7 a7 则b6b8等于 a 2 b 4 c 8 d 16 解析 2a3 a72 2a11 0 4a7 a72 0 a7 4或a7 0 舍去 b6b8 b72 a72 16 答案 d 7 若数列 an 满足a1 1 a2 2 an n 3 则a17等于 a 1 b 2 c d 2 987 解析 an an 3 an 2 两式相乘得 an 3 an 故a17 a2 2 答案 b8 在等差数列 an 中 若7a5 5a9 0 且a9 a5 则使数列前n项和sn取最小值的n等于 a 5 b 6 c 7 d 8 解析 设数列 an 的公差为d 则a9 a5 4d 0 7a5 5a9 12a1 68d 12a6 8d 12a7 4d 0 a6 d0 因此数列 an 的前6项和最小 答案 b 9 数列1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1 此数列的前n项和sn 1020 那么n的最小值是 a 7 b 8 c 9 d 10 解析 an 1 2 22 2n 1 2n 1 sn 2n 1 n 2 s9 1013 s10 2036 故所求n的最小值为10 答案 d10 设数列 an 的前n项和为sn 令tn 称tn为数列a1 a2 an的 理想数 已知数列a1 a2 a500的 理想数 为2004 那么数列2 a1 a2 a500的 理想数 为 a 2002 b 2004 c 2006 d 2008 解析 数列a1 a2 a500的 理想数 为 2004 500a1 499a2 a500 2004 500 数列2 a1 a2 a500的 理想数 为 2 2002 答案 a11 在数列 an 中 如果存在非零常数t 使得am t am对于任意正整数m均成立 那么就称数列 an 为周期数列 其中t叫做数列 an 的周期 已知数列 xn 满足xn 1 xn xn 1 n 2 n n 如果x1 1 x2 a a 1 a 0 当数列 xn 的周期为3时 则该数列的前2009项的和为 a 668 b 669 c 1338 d 1340 解析 本题考查对信息的阅读理解能力及知识的迁移转化能力 据题意知x3 a 1 1 a x4 2a 1 由于数列的周期为3 故必有x4 x1 2a 1 1 解得a 1或0 据条件a 0舍去 故此数列为1 1 0 1 1 0 故每一周期内数列和为2 由于2009 3 669 2 则此数列的前2009项即为 2 669 1 1 1340 答案 d12 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 n n 则a13等于 a 26 b 24 c 212 12 d 213 13 解析 由 2 令bn 则数列 bn 是以2为首项 以2为公差的等差数列 所以bn 2 n 1 2 2n 故有an a1 2 n 1 2 n 2 2 2 2 1 1 2n 1 n 1 答案 c 二 填空题13 设等比数列 an 的前n项和sn 2n a 等差数列 bn 的前n项和tn n2 2n b 则a b 解析 易得a 1 b 0 答案 114 常数a b满足 b 则a b 解析 当x 1时 ax2 5x 3 0 故a 2 代入可得b 2x 3 1 故a b 3 答案 315 数列满足a1 1 且对任意的m n n 都有am n am an mn 则 解析 当m 1时 an 1 an n 1 即an 1 an n 1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 故 答案 16 若a1 1 an 1 则数列 an 的第34项是 解析 an 1 3 即数列是以3为公差的等差数列 1 3 33 100 故a34 答案 三 解答题17 已知数列 an 的前n项和为sn 且a1 1 nan 1 n 2 sn n 1 2 3 1 求证 数列为等比数列 并由此求出sn 2 若数列 bn 满足 b1 n n 试求数列 bn 的通项公式 解析 1 由条件n sn 1 sn n 2 sn 2 是首项为1 公比为2的等比数列 所以 2n 1 sn n2n 1 2 由条件 2n 1 设cn 则c1 cn c1 c2 c1 c3 c2 cn cn 1 2 1 20 21 2n 2 2n 1 从而bn ncn 2n 1 18 设方程tan2 x 4tan x 0在 n 1 n n n 内的所有解之和为an 1 求a1 a2的值 并求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 满足条件 b1 2 bn 1 abn 求证 2 解析 方程tan2 x 4tan x tan x 1 tan x 0 得tan x 或tan x 1 当n 1时 x 0 1 即 x 0 由tan x 或tan x 得 x 或 x 故a1 当n 2时 x 1 2 则 x 2 由tan x 或tan x 得 x 或 x 故a2 当x n 1 n 时 x n 1 n 由tan x 或tan x 得 x n 1 或 x n 1 得x n 1 或x n 1 故an n 1 n 1 2n 2 由 1 得bn 1 abn 2bn 即bn 1 2 22 bn 1 2n 2n 1 0 则 即 1 2 2 19 已知数列 an 的前n项和为sn 且2sn n 1 an n n a1 1 1 求数列 an 的通项 2 已知bn 求b1 b2 bn 3 求证 an 解析 1 2sn n 1 an 2sn 1 n 2 an 1 两式相减得2an 1 n 2 an 1 n 1 an 即 n 2 当n 2时 an a1 1 n 又a1 1 an n n n 2 bn b1 b2 bn 1 3 证明 1 an 1 n cn0 cn1 cn2 cnr cnn 又cnr 1 而 cn0 cn1 an 20 已知数列 an 中a1 3 a2 5 其前n项和为sn 且满足sn sn 2 2sn 1 2n 1 n 3 1 试求数列 an 的通项公式 2 令bn tn是数列 bn 的前n项和 证明 tnm成立 解析 1 由sn sn 2 2sn 1 2n 1 n 3 得sn sn 1 sn 1 sn 2 2n 1 n 3 an sn sn 1 an an 1 2n 1 n 3 即an an 1 2n 1 n 3 又a2 a1 5 3 2 an an 1 2n 1 n 2 an a1 2n 1 2n 2 2n 3 21 3 3 2n 1 故数列 an 的通项公式为an 2n 1 2 bn tn b1 b2 b3 bn m 则得 m 化简得 m 0 1 6m 0 2n 1 1 n log2 1 当log2 1m成立 21 已知等差数列满足a12 a32 10 等比数列 bn 的前n项和tn 2n a 1 求a的值以及数列的通项公式 2 试求s a3 a4 a5的最大值以及s最大时数列的通项公式 3 若cn anbn 求数列的前n项和 解析 1 当n 2时 tn 1 2n 1 a bn tn tn 1 2n 1 n 2 数列为等比数列 b1 t1 2 a 1 故a 1 bn 2n 1 2 设数列 an 的公差为d 根据题意有 a12 a32 2a12 4a1d 4d2 10 即a12 2a1d 2d2 5 s a3 a4 a5 3 a1 3d a1 3d 代入上式有 3d 2 2 3d d 2d2 sd 5d2 5 即关于d的不等式45d2 12sd s2 45 0有解 144s2 180 s2 45 0 s2 225 s 15 smax 15 当s 15时 45d2 12 15d 152 45 0 d 2 2 0 d 2 a1 3d 1 an 2n 3 3 cn anbn 2n 3 2n 1 记数列 cn 的前n项和为sn sn c1 c2 c3 cn 1 cn 1 20 1 21 3 22 2n 5 2n 2 2n 3 2n 1 2sn 1 21 1 22 3 23 2n 5 2n 1 2n 3 2n sn 1 2 21 22 23 2n 1 2n 3 2n 1 2 2n 3 2n 5 n 1 2n 1 3 2n sn 5 n 1 2n 1 3 2n 22 已知 f x 数列 an 的前n项和为sn 点pn an 在曲线y f x 上 n n 且a1 1 an 0 1 求数列 an 的通项公式 2 数列 bn 的前n项和