高考数学一轮复习 直线与圆专题训练(1).doc

专题五解 析 几 何 第一讲直线与圆直线方程与两条直线的位置关系一、基础知识要记牢直线与直线的位置关系的判定方法：(1)给定两条直线l1：yk1xb1和l2：yk2xb2，则有下列结论：l1l2k1k2且b1b2；l1l2k1k21.(2)若给定的方程是一般式，即l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20，则有下列结论：l1l2a1b2a2b10且b1c2b2c10；l1l2a1a2b1b20.二、经典例题领悟好例1(1)(2013大连模拟)已知过点a(2，m)和b(m,4)的直线与直线2xy10平行，则实数m的值为()a0b8c2 d10(2)(2013北京海淀一模)已知点a(1,0)，b(cos ，sin )，且|ab|，则直线ab的方程为()ayx或yxbyx或yxcyx1或yx1dyx或yx解析(1)根据斜率计算公式可得2，解得m8.(2)|ab|，所以cos ，sin ，所以kab，即直线ab的方程为y(x1)，所以直线ab的方程为yx或yx.答案(1)b(2)b(1)求解两条直线平行的问题时，在利用a1b2a2b10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线(3)在解决问题的过程中，要注意选择直线方程的形式，用待定系数法求直线的方程，是最基本最常用的方法三、预测押题不能少1(1)将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得的直线方程为()ayx byx1cy3x3 dyx1解析：选a逆时针旋转90后与原来直线垂直，所以其方程为yx，向右平移1个单位后得直线的方程为y(x1)，即直线方程为yx.(2)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a当a1时，直线l1：x2y10，直线l2：x2y40，则l1l2；若l1l2，则有a(a1)210，即a2a20，解得a2或a1，所以不能得到a1.圆的方程一、基础知识要记牢(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.(2)一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f0)，圆心坐标为，半径r.二、经典例题领悟好例2(1)(2013福建莆田联考)抛物线y24x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于a，b两点，其准线与x轴的交点为m，则过m，a，b三点的圆的标准方程是()ax2y25 b(x1)2y21c(x1)2y22 d(x1)2y24(2)(2013江西高考)若圆c经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆c的方程是_解析(1)由抛物线方程及题意知a(1,2)，b(1，2)，m(1,0)，设所求圆的方程为x2y2dxeyf0，所以解得从而所求方程为x2y22x30，即圆的标准方程为(x1)2y24.(2)因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)又因为圆与直线y1相切，所以|1m|，所以m24m22m1，解得m，所以圆的方程为(x2)22.答案(1)d(2)(x2)22圆的方程的求法求圆的方程一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记三、预测押题不能少2(1)圆心在直线xy0上且过两圆x2y22x0，x2y22y0的交点的圆的方程为()ax2y2xy0bx2y2xy0cx2y2xy0dx2y2xy0解析：选c由已知圆的方程可设所求圆的方程为x2y22x(x2y22y)0(1)，即x2y2xy0 ，圆心坐标为.又圆心在直线xy0上，0，1，所求圆的方程为x2y2xy0.(2)已知圆c过点(0,1)，且圆心在x轴负半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆c的标准方程为_解析：设圆的方程为(xa)2y2r2，圆心在x轴负半轴上，a0相交；0相切；0相离；(2)几何法把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离二、经典例题领悟好例3(1)(2013广东高考)垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是()axy0 bxy10cxy10 dxy0(2)(2013武汉市调研测试)从圆c：x2y26x8y240外一点p向该圆引切线pt，t为切点，且|pt|po|(o为坐标原点)，则|pt|的最小值为_；|pt|取得最小值时点p的坐标为_解析(1)与直线yx1垂直的直线方程可设为xyb0，由xyb0与圆x2y21相切，可得1，故b.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b，故直线方程为xy0.(2)圆c的标准方程为：(x3)2(y4)21，设p(x，y)，由|pt|po|得(x3)2(y4)21x2y2，得3x4y120，p的轨迹为直线：3x4y120，当圆心c到直线上点的距离最小时，切线pt取最小值，|pt|min，此时p点坐标为.答案(1)a(2)(1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理三、预测押题不能少3(1)已知点p(x0，y0)，圆o：x2y2r2(r0)，直线l：x0xy0yr2，有以下几个结论：若点p在圆o上，则直线l与圆o相切；若点p在圆o外，则直线l与圆o相离；若点p在圆o内，则直线l与圆o相交；无论点p在何处，直线l与圆o恒相切，其中正确的个数是()a1 b2c3 d4解析：选a根据点到直线的距离公式有d.若点p 在圆o上，则xyr2，dr，相切；若点p在圆o外，则xyr2，dr，相交；若点p在圆o内，则xyr，相离，故只有正确(2)已知点p是圆c：x2y24x6y30上的一点，直线l：3x4y50.若点p到直线l的距离为2，则符合题意的点p有_个解析：由题意知圆的标准方程为(x2)2(y3)242，则圆心到直线l的距离d4且d0)与圆x2y24交于不同的两点a，b，o是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是()a(，) b，)c，2) d，2)解析：选c当|时，o，a，b三点为等腰三角形的三个顶点，其中oaob，aob120，从而圆心o到直线xyk0(k0)的距离为1，此时k；当k时| ，又直线与圆x2y24存在两交点，故k2.综上，k的取值范围为，2)1已知直线l1：k1xy10与直线l2：k2xy10，那么“k1k2”，是“l1l2”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选c由k1k2,11，得l1l2；由l1l2知k11k210，所以k1k2.故“k1k2”是“l1l2”的充要条件2已知点p(3,2)与点q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为()axy10bxy0cxy10 dxy0解析：选a由题意知直线l与直线pq垂直，所以kl1.又直线l经过pq的中点(2,3)，所以直线l的方程为y3x2，即xy10.3当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点c，则以c为圆心，半径为的圆的方程为()ax2y22x4y0bx2y22x4y0cx2y22x4y0dx2y22x4y0解析：选c将方程分离参数a可得a(x1)(xy1)0，方程表示过两直线的交点，由得交点为(1,2)，故圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.4(2013重庆高考)已知圆c1：(x2)2(y3)21，圆c2：(x3)2(y4)29，m，n分别是圆c1，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm|pn|的最小值为()a54 b.1c62 d.解析：选a两圆的圆心均在第一象限，先求|pc1|pc2|的最小值，作点c1关于x轴的对称点c(2，3)，则(|pc1|pc2|)min|cc2|5，所以(|pm|pn|)min5(13)54.5(2013海南质检)已知圆c的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆c与直线xy30相切，则圆c的方程为()a(x1)2y22 b(x1)2y21c(x1)2y24 d(x2)2y24解析：选a令y0得x1，所以直线xy10与x轴的交点为(1,0)因为直线xy30与圆c相切，所以圆心到直线xy30的距离等于半径，即r，所以圆c的方程为(x1)2y22.6(2013山东潍坊一中模拟)若圆c：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()a2 b3c4 d6解析：选c圆的标准方程为(x1)2(y2)22，所以圆心为(1,2)，半径为.因为圆关于直线2axby60对称，所以圆心在直线2axby60上，所以2a2b60，即ba3，点(a，b)到圆心的距离为d .所以当a2时，d有最小值3，此时切线长最小，为 4.7经过圆x22xy20的圆心c，且与直线xy0垂直的直线方程是_解析：所求直线过圆：x22xy20的圆心c(1,0)，斜率为1，故方程为xy10.答案：xy108(2013浙江省名校联考)设圆c：(x3)2(y5)25，过圆心c作直线l交圆于a，b两点，交y轴于点p，若a恰好为线段bp的中点，则直线l的方程为_解析：如图，a为pb的中点，而c为ab的中点，因此，c为pb的四等分点而c(3,5)，p点的横坐标为0，因此，a，b的横坐标分别为2、4，将a的横坐标代入圆的方程中，可得a(2,3)或a(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2xy10或2xy110.答案：2xy10或2xy1109(2013四川高考)在平面直角坐标系内，到点a(1,2)，b(1,5)，c(3,6)，d(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_解析：取四边形abcd对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形abcd中任取一点p，在apc中，有appcac，在bpd中，有pbpdbd，而如果p在线段ac上，那么appcac；同理，如果p在线段bd上，那么bppdbd.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时p就只能是ac与bd的交点易求得p(2,4)答案：(2,4)10已知点a(3,3)，b(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3xy10和l2：xy30的交点，求直线l的方程解：解方程组得交点p(1,2)(1)若点a，b在直线l的同侧，则lab.而kab，由点斜式得直线l的方程为y2(x1)，即x2y50；(2)若点a，b分别在直线l的异侧，则直线l经过线段ab的中点，由两点式得直线l的方程为，即x6y110.综上所述，直线l的方程为x2y50或x6y110.11(2013江苏高考)如图，在平面直角坐标系xoy中，点a(0,3)，直线l：y2x4.设圆c的半径为1，圆心在l上(1)若圆心c也在直线yx1上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；(2)若圆c上存在点m，使|ma|2|mo|，求圆心c的横坐标a的取值范围解：(1)由题设，圆心c是直线y2x4和yx1的交点，解得点c(3,2)，于是切线的斜率必存在设过a(0,3)的圆c的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆c的方程为(xa)2y2(a2)21.设点m(x，y)，因为|ma|2|mo|，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点m在以d(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点m(x，y)在圆c上，所以圆c与圆d有公共点，则|21|cd|21，即13.由5a212a80，得ar；由5a212a0，得0a.所以点c的横坐标a的取值范围为.12(2013广东佛山一模)已知a(2,0)，b(2,0)，c(m，n)(1)若m1，n，求abc的外接圆的方程；(2)若以线段ab为直径的圆o过点c(异于点a，b)，直线x2交直线ac于点r，线段br的中点为d，试判断直线cd与圆o的位置关系，并证明你的结论解：(1)法一：设所求圆的方程为x2y2dxeyf0，由题意可得解得de0，f4，abc的外接圆方程为x2y240，即x2y24.法二