浅析物理解题中的微分思想.pdf

一 中 PH YSI CS TEACH I NG AND LEARNl 崛 浅析物理解题 中的微分思想 陈宏奎 物理解题中运用的数学方法 通常包括几何 图 形法 函数图象 三角函数方程法 比例法 数列递 推求和法 数学数列极限法与不等式及微积分法等 其中 微积分是新编 中学数学教材 中增加的内容 最近几年 以物理试题为载体渗透考查数学能力是 高考命题的热点主题 特别是利用微分思想求解物 理题在各地高考中频频 出现 近几年更是 年年上 榜 所以 对此加以重视是必要的 利用微分思想实现从部分到整体的分析方法叫 微元法 当物理学中遇到整体难以解决的复杂问题 时 常运用微分概念合 理选取微分元 将研究对象 进行无穷细分 其中的一份微小单元即微分元 如力 学中的长度元 d Z 体积元 d V 质量元 d m 电磁学 中 的电荷元 d q 电流元 d 等 对微元模型运用相关的 物理规律和数学方法处理 然后再对微元结果叠加 而过渡到对整体的积分求解 微元法充分体现了数 学微积分的基本思想和物理实质 许多学生只会数学上抽象的微积分运算 而面 对具体的物理问题 不知如何寻找微分元 进而无法 用微积分来求解实际问题 造成物理解题时的障碍 一 微分思想在动力学问题中的应用 例 1 从地面上以初速度 竖直向上抛出一质 量为 m的球 若运动过程中受到的空气阻力与其速 率成正比关系 球运动的速率随时间变化规律如图 1 所示 t 时刻到达最高点 再落 回地 面 落地时速 率为 且落地前球已经做匀速运动 求 D 围 l I 球从抛出到落地过程 中克服空气阻力所做 的功 2 球抛出瞬间的加速度大小 3 球上升的最大高度 日 解析 1 全过程对小球运用动能定理 删2 一 则 克 服 空 气 阻 力 做 功W f 一 一 m n 0 解得 n 0 1 g d 则 一 舳 一 g一 m 取极短的一小 n f 一g 一 O 一 一 g A t ma A h 故 日 解得 銮 B 阳 c 沿 椭 圆 轨 道 运 行 它 k 的 近 日 点 A 离 太 阳 的 距 离 一 4 9 史 堡麴 堂星 丝2 PH YSI CS TEA cHI NG A D LEARNI N G I N H I GH SCH OOL 解析此题可根据万有引力提供行星的向心力 求解 求解略 也可根据开普勒第二定律 用微元 法求解 设行星在近 日点 时又向前运动了极短的 时间At 由于时间极短可 以认 为行星在 At 时间内 做匀速圆周运动 线速度为 半径为 a 可以得到 1 行星在 At 时间内扫过的面积 s At a 厶 同理 设行星在经过远 日点 时也运动了相同 1 的极短时间微元At 则也有 s 6 At b 二 由开普勒第二定律 面积定律 可知 S S 即得 U 三 微分思想在求解机械功 机械功率 问题 中 的应用 例 3 如图 3所示 某个 F 1 0 N的力作用于半径 R 1 i n的转盘的边缘上 力 F的 大小保持不变 但方向保持任 何时刻均与作用点 的切线一 致 则转动一周 这个力 F做 的总功为多少 解析由于力 F的方向与作用点的速度方向一 致 因此力 F做功肯定不为零 考虑到此力大小不变 但不是恒力 无法用恒力做功公式直接求解 可以 考虑把圆周划分为无限多 微元 来研究 把整个 运动过程划分成很多个微元 整个过程中变力做功 就等效于每个微元中恒力做功之和 当各小段的弧 长As 足够小 5 时 在这As内 的方向几乎 与该小段的位移重合 则 F做的总功为 W F A s F A l F A s 2 F A s 3 W F 2 1 T R 2 0 n J 点评对整体无穷细分后隔离选择恰 当的微元 作为研究对象 微分元可以是一小段圆弧 一小块面 积 一个小质量 一小段时间 但微分元应该具备 整体对象的基本特征 对微分元模型化 运用相关物 理规律结合微积分的知识可以很快捷地处理问题 四 微分思想在静电 场问题中的应用 口 例4 电荷量 Q均匀 分布在半径为 的圆环 上 如图 4 所示 求在圆 5 0 圈4 环轴线上距圆心 0点为 处的P点的电场强度 解析带电圆环产生的电场不能看作点电荷产 生的电场 故采用微元法 利用求解点电荷形成的电 场的方法结合对称性求解 选电荷元 Aq R A0 它在 P点产生的电场场强的 分量为 盯 一 C O S X k R A O Q f R r 订I 十 根据对称性 E E x 二订V L 十 生 7 一 生 2 耐 耐 2 1 T R R 在轴线上 P点 产生 的场强方 向是沿轴 线的 方向 五 微分思想在电路问颗 中的应用 例 5 如图5中甲图所示是一种测量电容的实 验电路图 实验是通过对高阻值 电阻放电的方法测 出电容器充电至电压 时所带的电荷量 口 从而再 求出待测电容器的电容 c 某同学在一次实验时的 情况如下 占 田 圈5 a按图甲所示的电路图接好电路 b 接通开关 s 调节电阻箱 R的阻值 使小量程 电流表的指针偏转接近满刻度 记下此时电流表的 示数 0 4 9 0 电压表 的示数 8 0 V o u o 分别是电容器放电时的初始电流和电压 C 断开开关 s 同时开始计时 每隔 5 S 或 1 0 S 测读一次电流 i 的值 将测得数据填人表格 并标示 在图乙的坐标纸上 时间 t 为横坐标 电流 为纵坐 标 结果如图中小黑点所示 1 在图乙中画出 i t 图线 2 图乙中图线与坐标轴所围成面积的物理意 义是 3 该电容器的电容为 F 互一 中 PH Y SI CS TEA CHI NG AND LEARNI G 解析 1 利用描出的各点连成平滑 的曲线即 为 i t 图线 作图略 2 利用微元的思想 在 图乙 中把时间无穷细 分 每一时间元内由于时间极短可认为电流不变对 应的面积即为对应的放电的电荷量 再对微元结果 叠加可知图乙中图线与坐标轴所围成面积的物理意 义是电容器充电完毕时储存的电荷量 即放电的总 电荷量 3 根据近似处理的物理思想 图线与坐标轴 所围部分的格数 边缘部分大于半格 的算一格 小 于半格的可忽略 乘 以每一格所 占面积 估算 出整 个过程中电容器所释放的总电荷量 Q 3 2 x5 x 5 0 1 0 C 8 X 1 0一C 求出电容 c 旦 F 1 I 1 0 F U 0 o 六 微分思想在动量问题中的应用 例6 如图6所示 长为 L的船静 止在 平静 的水 面船 上 立于船头的人质量为 m 船的质量为 不计水的阻 圈6 力 人从船头走到船尾的过程中 问船的位移为多大 解析题为 人船模型 取人和船整体作 为研 究系统 人在走动过程 中 系统所受合力 为零 系统 动量守恒 设 分别是人和船在任何一时刻的 速率 则有 m y m 两边同时乘以一个极短 的时 问微元 t 则有 m y 1 t m 0 2 由于时间微元 At 极短 可以认为在这极短的时 间内人和船的速率是不变的 所 以在这极短的时间 内人和船位移大小分别为As At As At 故 mAs m 0 As 把所有的微元位移叠加求和有 m s m 0 其 中 s 分别 为 全过程中人和船对地位 移的大小 又因为几何 关系 如 图 7所 示 有 L s As 2 即 船 l m o 2 图7 由以上关系式解得船的位移 s 一 m 0 十 m 七 微分思想在电磁感应问题中的应用 例 7 如图 8所示 一水平放置 的光滑平行导 轨上放一质量为 m的金属杆 导轨间距为 L 导轨的 一 端连接一阻值为 的电阻 其他电阻不计 磁感应强 度为 曰的匀强磁场垂直于导轨平面 现给金属杆一个 学麴理塾复学 I N H I GH SCH OOL 水平向右的初速度 然后任其运动 导轨足够长 试 求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少 圈8 解析对杆在运动过程中受力分析可知竖直方 向重力和支持力平衡 水平方 向始终受一水平向左 的且大小不断变化的安培力 这是一个典型的在变 力作用下求位移的问题 用我们已学过的知识好像 无法解决 其实只要采用的方法得当仍然可以求解 取水平向右为正方向 设杆在减速中的某一时 刻速度为 V 加速度为 则 一 曰 警 瑚 一B B L V L 取极短的一小段时间 t 为微分元 对应的速度 变化为 Av 则有 0 At 一 At 对 于杆向 右运动的全过程有 0 一 I 0 一 r 2 即 Y O 解得金属杆在导轨上向右移动的最大 距离 点评题 中涉及的物理量是非线性变化量 无 法用初等数学知识解决 但如果有了微积分的思想 化整为零 化曲为直 再结合物理规律则可以做到化 繁为简 解题的同时拓宽了我们的思维 本文通过分析物理解题中的微分思想充分说明 了数学是研究和学习物理学的重要工具 物理理论 本身的建立 发展和推理论证的过程 离不开数学 物理概念及物理量问关系的表达 要借助于数学公 式或图象等手段