不定积分.doc

一、不定积分的解题技巧引例：不定积分 (1-x)cos2xdx(1-x)cos2xdx=cos2xdx-xcos2xdx=(1/2)cos2xd2x-(1/4)2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C(1-x)cos2xdx 求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。越后的先放到d里去如x2 cosxdx x2是幂函数，cosx是三角函数。所以，要这样化x2dsinx而不是1/3cosxdx3引例2：1/(1 x4)dx原式1/2(1 x2 1-x2)/1 x4) =0.5(1 x2/1 x4) 0.5(1-x2/1 x4) =0.5(1 x-2/x-2 x2)如果是不定积分,两类换元法和 拼凑法 一般来说结合使用 灵活系数比较大 不过你要相信考试不定积分 形式比较简单 方法比较独到,绝对不是 “暴力“积 出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通. 第二,对于有独特的因子你要留意. 定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元 再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现 方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。例1.求下列不定积分:(1)arcsinxx(1-x)dx(2)x 1x(1 xex)dx解:(1)分析:由于darcsinx=12x(1-x)dx,故可如下凑微分arcsinxx(1-x)dx=2arcsinxd(arcsinx)=arcsin2x C(2)由于d(xex)=ex(x 1)dx,故可用如下解法:x 1x(1 xex)dx=ex(x 1)xex(1 xex)dx=dxexxex(1 xex)=1xex-11 xexd(xex)=lnxex1 xex C2.拆(添)项将被积函数拆(添)项,把积分变为几个较简单的积分,是求不定积分常用的技巧之一。例2.求下列不定积分:(1)1sin3xcosxdx(2)dx(1 ex)2解:(1)当分母是sinmxcosnx的形式时,常将分子1改写成 (sin2x cos2x),然后拆项进行积分。1sin3xcosxdx=sin2x cos2xsin3x cosxdx=1sinxcosxdx cosxsin3xdx=d(2x)sin2x d(sinx)sin3x=lncsc2x-cot2x-12sin2x C(2)先给分子加一项减一项,再将积分拆项。dx(1 ex)2=1 ex-ex(1 ex)2dx=dx(1 ex)-exdx(1 ex)2=e-xe-x 1dx-d(ex 1)(1 ex)2=ln(e-x 1) 11 ex C二、有理化将被积函数中的无理函数化为有理函数,是积分常用的手段之一。有理化的方法常常是换元或利用三角恒等变换。例3.求下列不定积分:(1)e2x4ex 1dx(2)1 sinxsinxdx解:(1)e2x4ex 1dx=exd(ex 1)4ex 1?ex 1=u44(u6-u2)du=4u77-u33 C=47(ex 1)74-43(ex 1)34 C(2)利用三角公式1 sinx=sinx2 cosx2可将被积函数有理化。1 sinxsinxdx=sinx2 cosx22sinx2cosx2dx=dx2cosx2 dx2sinx2=lnsecx2tanx2 lncscx2-cotx2 C三、方程法运用分部积分公式后,有时会出现如下的情况:f(x)dx=g(x) Kf(x)dx(K1)此时可把它看作关于f(x)dx的方程,解得:f(x)dx=11-Kg(x) C例4.求sec3xdx解:sec3xdx=secxd(tanx)=secxtanx-tan2xsecxdx=secxtanx-(sec2x-1)secxdx=secxtanx lnsecx tanx-sec3dx故:sec3xdx=12(secxtanx lnsecx tanx) C四、抵消法将原始积分拆项后,对其中一项用分部积分公式,以抵消另一项,或对拆开的两项各分部积分一次后,将未积出的部分抵消,这也是求不定积分时常用的技巧。例5.求下列不定积分:(1)lnx-1(lnx)2dx(2)esinxxcos3x-sinxcos3xdx解:(1)lnx-1(lnx)2dx=1lnx-dx(lnx)2=xlnxx?-1ln2x?1xdx-dx(lnx)2=xlnx dx(lnx)2-dx(lnx)2=xlnx C(2)esinxxcos3x-sinxcos2xdx= esinx?x?cosxdx-esinxsinxcos2xdx=xdesinx-esinx-esinxd1cosx=xesinx- esinxdx-esinxcosx 1cosx?esinx?cosxdx=xesinx-esinxcosx C五、其他方法1.递推法运用分部积分法,可建立In关于下标的递推公式。由此递推公式,就把计算In归结为计算In-1,依此类推,最后归结为计算I1,I0。例6.求dx(x2 1)3解:令In=dx(x2 1)n因为In-1=dx(x2 1)n-1=x(x2 1)n-1-x?(1-n)?2x(x2 1)ndx=x(x2 1)n-1 2(n-1)(x2 1)-1(x2 1)ndx=x(x2 1)n-1 2(n-1)?In-1-2(n-1)?In所以In=x2(n-1)?(x2 1)n-1 2n-32(n-1)In-1(n=2,3,)又I1=dx1 x2=arctanx C从而dx(x2 1)3=I3=x4(x2 1)2 34I2=x4(x2 1)2 34x2(x2 1) 12I1=x4(x2 1)2 3x8(x2 1) 38arctanx C2.待定系数法这里所说的待定系数法,是指在求不定积分时,若预知结果的形式, 只是其中含有待定的常数时,可用求导的方法确定这些常数,进而求出积分。例7.计算下列积分(1)sinx 8cosx2sinx 3cosxdx(2)x3e2xdx解:由于(2sinx 3cosx)=2cosx-3sinx故可假设sinx 8cosx=A(2sinx 3cosx) B(2cosx-3sinx)这里A,B为待定系数,比较两端sinx及cosx项的系数,得:2A-3B=13A-2B=8,故A=2,B=1则sinx 8cosx2sinx 3cosxdx=2 (2sinx 3cosx)2sinx 3cosxdx=2x ln2sinx 3cosx C(2)对于型如ekx?Pn(x)dx的积分(其中Pn(x)为n次多项式),它的原函数也形如ekx?Qn(x),这里的Qn(x)为某个n次待定多项式。即有:ekx?Pn(x)dx=ekx?Qn(x) C两端求导得:ekx?Pn(x)=kekx?Qn(x) ekx?Qn(x)即:Pn(x)=k?Qn(x) Qn(x)再比较多项式的系数,求出待定的系数,进而求出积分。设x3e2xdx=(B0x3 B1x2 B2x B3)e2x C则有:x3=2(B0x3 B1x2 B2x B3) (3B0x2 2B1x B2)比较系数可得:2B0=12B1 3B0=02B2 2B1=02B3 B2=0,解得B0=12B1=-34B2=34B3=-38故x3e2xdx=12x3-34x2 34x-38e2x C类似地,对于Pn(x)coskx Qn(x)sinxdx的类型(这里Pn(x),Qn(x)为n次多项式),它的原函数类型也是很有规律的,即有Pn(x)coskx Qn(x)sinxdx=Sn(x)coskx Tn(x)sinkx C(这里Sn(x),Tn(x)是两个n次待定多项式);同样对于 Pn(x)ax2 bx cdx型的积分,它的原函数类型也是已知的,即有:Pn(x)ax2 bx cdx=Qn-1(x)ax2 bx c a?dxax2 bx c(这里Qn-1(x)是n-1次待定多项式,为待定系数)。它们均不需积分,只要经过一些求导及代数运算即可求出积分来。3.伴侣法有些不定积分,单独考虑时较难积出,倘若构造出另一个不定积分作为伴侣,两个积分同时考虑,则可利用两积分相互之间的良好关联性质,简单地求出不定积分。这种利用“伴侣”求解的方法即所谓“伴侣法”。例8.求下列不定积分(1)sinxdxasinx bcosx(2)dx1 x4解:(1)本题可用待定系数法求解,这里介绍用“伴侣法”求解。令T1=sinxdxasinx bcosx,构造伴侣T2=cosxdxasinx bcosx,于是aT1 bT2=x C1aT2-bT1=lnasinx bcosx C2故得:T1=1a2 b2(ax-bln|asinx bcosx|) C(2)本题可用有理函数积分法求解,但计算繁琐。令J1=dx1 x4,J2=x2dx1 x4则J1 J2=1 x21 x4dx=1 1x2x2 1x2dx=dx-1xx-1x2 2=12arctan12x-1x C1J1-J2=1-x21 x4dx=-dx 1xx 1x2-2=-122lnx2-2x 1x2 2x 1 C2所以J1=dx1 x4=122arctan12x-1x-142lnx2-2x 1x2 2x 1 C求解一个数学问题,要用到若干有关的数学概念、定理、公式,但是怎样运用这些概念、定理和公式来解题,却有许多方法和技巧,尤其是有些高等数学问题要用很巧妙的方法或技巧才能解决,因此要学好高等数学就必须掌握一定的解题方法和技巧。二、导数引例：(x2)*sinx的一百阶导数是多少用“二项式”展开法，x2的3阶以及3阶以上导数等于0. 所以(x2)*sinx甭管是100阶还是10000阶求导。只有前几项不为0.即得-x*x*cosx-200sinx*x 9900cosx例1：f(x)在(-, )上除X=0外有定义,且f(xy)=f(x) f(y),f(1)=1,求f(x).用定义去做附一些解题技巧与经验单选题的基本解题方法1.推演法：从题设条件出发，按惯常思维运用有关的概念、性质、定理等，经过直接的推理、演算，得出正确结论。适用对象：对于围绕基本概念设置的，或备选项为数值形式结果的或某种运算律形式或条件为某种运算形式的，常用推演法。 个人观点：这种方法应该是最常用的，并且所有的题都能通过这种方法解出来，大家应该注重对基本概念和定理的记忆和运用。2.图示法：是指根据条件作出所研究问题的几何图形，然后借助几何图形的直观性，“看”出正确选项。适用对象：对于条件有明显的几何意义：如五性：对称性，奇偶性，周期性，凹凸性，单调性或平面图形面积，空间立体体积等，常用图示法。个人观点：相信大家一定很喜欢这种解题方法吧，画图直观，简便，但一定要注意图形的准确性，一点细微的概念差错也许会导致图形的错误。3.赋值法：是指用满足条件的“特殊值”，包括数值、矩阵、函数以及几何图形，通过推理演算，得出正确选项。适用对象：对于条件中有对任意，必特征的题目，或选项为抽象的函数形式结果的，可用赋值法。个人观点：赋值法应该说是一种特殊的，而且最快速的方法，可惜适用范围比较狭窄，所以大家在用这种方法时，一定要注意使用条件，不要遇到什么题都赋特殊值。4排除法：从题设条件出发，或利用推演法排错，或利用赋值法排错，从而得出正确结论。适用对象：理论性较强，选项较抽象，且不易证明的题目。个人观点：根据我的观察有些选择题，尤其是理论性的选择题，有些答案是相互矛盾的，也就是说二者之中必有一对，所以建议大家遇到这种题时“聪明”一下。5逆推法：将备选项依次代入题设条件的方法。适用对象：备选项为具体数值结果，且题干中含有合适的验证条件。个人观点：这种方法对于有些题还是比较好用的，缺点就是如果正确选项放在还好，如果放在，可能要浪费些时间了。解题经验1.只要遇到无穷小比较或.0型未定式极限问题；或通项中含有“反对三指”函数关系的数项级数的敛散性问题，就要想到利用等价无穷小代换或皮亚诺型余项的泰勒公式求解。注:“反对三指”:反三角函数，对数函数，三角函数，指数函数。常见的三个重要展开式:arcsinx=x x3/3! o(x3)注:此公式后项无此规律！tanx=x x3 o(x3)注:此公式后项无此规律！arctanx=x-x3 o(x3)2.只要遇到由积分上限函数确定的无穷小的阶的问题，则想到: 1积分上限变量与被积函数的无穷小因子可用等价无穷小代换之。 2两个由积分上限函数确定的无穷小量，若其积分上限无穷小同阶，则其阶取决于被积函数无穷小的阶；若被积函数无穷小同阶或都不是无穷小，则其阶取决于积分上限无穷小的阶。3.只要遇到积分区间关于原点对称的定积分问题，就要想到先考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性。4.只要遇到对积分上限函数求导问题，就要想到被积函数中是否混杂着求