【走向高考】高三数学一轮复习 31导数及其应用课件 北师大版.ppt

导数是中学选修内容中较为重要的知识 近几年高考对导数的考查每年都有 选择题 填空题 解答题都曾出现过 而且近几年有加强的趋势 预测2012年对本单元的考查为 1 导数的概念 导数的几何意义主要以小题的形式出现 2 导数的运算是每年必考的 但不会对其进行单纯考查 多与导数的应用综合 以考查函数的单调性 极值 最值问题 以大题形式出现 3 以实际应用为背景 考查导数在生活中的最优化问题的应用 以及与函数 不等式 解析几何等知识网络的交汇命题 以大题形式出现 4 理 定积分也是微积分的核心概念之一 它能解决自然科学和生产实践中的许多问题 如一般平面图形的面积 变速直线运动的路程 变力所做的功等 实际上微积分在物理 化学 生物 天文 地理以及经济等科学领域中都有广泛而重要的应用 因此导数及其应用成为近几年高考的热点 1 重视对导数概念的理解 熟练掌握导数的计算公式和导数的几何意义 为导数的应用打下坚实的基础 2 在复习中 要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习 而忽视它的思想和价值 3 导数的应用较为灵活 是高考中必考的一道解答题 难度为中档题 故复习时要重视求函数的解析式 求函数值域 解决单调性问题 求函数的极值 最值 构造函数证明不等式等问题 函数是高中数学的重点内容 而函数的性质又是高考命题的热点 而利用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便许多 因此在复习时一定要重视 此外 导数与解析几何或函数的图像的混合问题也是一种重要类型 是高考中考查综合能力的一个方向 应引起重视 考纲解读1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 4 文 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 理 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 能求简单的复合函数 仅限于形如f ax b 的复合函数 的导数 考向预测1 导数的几何意义是高考考查的重点内容 常以选择题 填空题的形式出现 有时也出现在解答题中 2 导数的运算每年必考 一般不单独考查 在考查导数应用的同时考查导数的运算 知识梳理1 导数的概念 1 函数y f x 在x x0处的导数 几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点处的 瞬时速度就是位移函数s t 对时间t的导数 相应地 切线方程为 2 函数f x 的导函数称函数f x 为f x 的导函数 在 x0 f x0 切线的斜率 y f x0 f x0 x x0 2 基本初等函数的导数公式 0 nxn 1 cosx sinx axlna ex 3 导数的运算法则 1 f x g x 2 f x g x 4 理 复合函数求导的运算法则一般地 设函数u x 在点x处有导数u x x 函数y f u 在u处有导数y u f u 则复合函数y f x 在点x处也有导数 且y x 复合函数y f ax b 的导数为 f u f x g x f x g x f x g x y u u x f u x f u x af ax b 基础自测1 2010 新课标文 曲线y x3 2x 1在点 1 0 处的切线方程为 a y x 1b y x 1c y 2x 2d y 2x 2 答案 a 解析 本题考查了导数的几何意义 切线方程的求法 在解题时应首先验证点是否在曲线上 然后通过求导得出切线的斜率 题目定位于简单题 由题可知 点 1 0 在曲线y x3 2x 1上 求导可得y 3x2 2 所以在点 1 0 处的切线的斜率k 1 切线过点 1 0 根据直线的点斜式可得过点 1 0 的曲线y x3 2x 1的切线方程为y x 1 故选a 2 已知函数f x 在x 1处的导数为3 则f x 的解析式可能为 a f x x 1 3 3 x 1 b f x 2 x 1 c f x 2 x 1 2d f x x 1 答案 a 解析 先求f x 的导函数 再代入验证 当f x x 1 3 3 x 1 时 f x 3 x 1 2 3且f 1 3 1 1 2 3 3 3 与直线2x y 4 0平行的抛物线y x2的切线方程是 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 2x y 1 0d 2x y 1 0 答案 d 解析 直线2x y 4 0的斜率为k 2 由y x2得y 2x 令2x 2 得x 1 所以切点为 1 1 斜率k 2 则所求切线为y 1 2 x 1 即2x y 1 0为所求 4 文 若函数f x x2 bx c的图像的顶点在第二象限 则函数f x 的图像是 答案 c 答案 d 答案 1 解析 主要考查导数及函数的求值 7 已知曲线s y 3x x3及点p 2 2 求过点p的切线方程 解析 设切点为 x0 y0 则y0 3x0 x03 又f x 3 3x2 答案 1 1 2 2a 设函数f x 在x0点可导 则下列极限等于f x0 的是 答案 c 解析 解法1 令x0 x x 0 则当 x 0时 x 0 x0 例2 求下列函数的导数 x4 4x2 6x 2 y 3x3 4x 2x 1 6x4 3x3 8x2 4x y 24x3 9x2 16x 4 或y 3x3 4x 2x 1 3x3 4x 2x 1 9x2 4 2x 1 3x3 4x 2 24x3 9x2 16x 4 例3 已知曲线方程为y x2 1 求过a 2 4 点且与曲线相切的直线方程 2 求过b 3 5 点且与曲线相切的直线方程 解析 1 a 2 4 在y x2上 由y x2得y 2x y 4 因此所求直线的方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 2 方法1 设过b 3 5 与曲线y x2相切的直线方程为y 5 k x 3 即y kx 5 3k k2 4 3k 5 0 整理得 k 2 k 10 0 k 2或k 10 所求的直线方程为 2x y 1 0 或10 x y 25 0 方法2 设切点p的坐标为 x0 y0 将y0 x02代入上式整理得 x0 1或x0 5 切点坐标为 1 1 5 25 所求直线方程为2x y 1 0 10 x y 25 0 点评 1 解决此类问题一定要分清 在某点处的切线 还是 过某点的切线 的问法 2 解决 过某点的切线 问题 一般是设出切点坐标为p x0 y0 然后求其切线斜率k f x0 写出其切线方程 而 在某点处的切线 就是指 某点 为切点 3 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点 当曲线是二次曲线时 我们知道直线与曲线相切 有且只有一个公共点 这种观点对一般曲线不一定正确 已知函数f x x3 x 16 1 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线的方程 2 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 解析 1 f x 3x2 1 f x 在点 2 6 处的切线的斜率为k f 2 13 切线的方程为y 13x 32 2 解法1 设切点为 x0 y0 则直线l的斜率为f x0 3x02 1 直线l的方程为y 3x02 1 x x0 x03 x0 16 又 直线l过原点 0 0 0 3x02 1 x0 x03 x0 16 整理得 x03 8 x0 2 y0 26 k 13 直线l的方程为y 13x 切点坐标为 2 26 解法2 设直线l的方程为y kx 切点为 x0 y0 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形面积为定值 并求此定值 故曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0 y x所围成的三角形的面积为定值 此定值为6 已知曲线c1 y x2与c2 y x 2 2 直线l与c1 c2都相切 求直线l的方程 解析 设直线l与曲线c1切于点 x1 y1 与曲线c2切于点 x2 y2 则y1 x12 y2 x2 2 2 直线l的方程可以表示为y x12 2x1 x x1 即y 2x1x x12 又由y x 2 2 x2 4x 4 y x x2 2x2 4 直线l的方程可以表示为y x2 2 2 2x2 4 x x2 即y 4 2x2 x x22 4 由题意可得 和 表示同一条直线 x1 0 x2 2或x1 2 x2 0 若x1 0 则由 可得切线方程为y 0 若x2 0 则由 可得切线方程为y 4x 4 适合题意的直线l的方程为y 0或y 4x 4 1 根据导数的定义 求函数y f x 在点x0处导数的方法 2 曲线的切线的求法若已知曲线过点p x0 y0 求曲线的切线则需分点p x0 y0 是切点和不是切点两种情况求解 1 点p x0 y0 是切点的切线方程y y0 f x0 x x0 2 当点p x0 y0 不是切点时可分以下几步完成 第一步 设出切点坐标p x1 f x1 第二步 写出过p x1 f x1 的切线方程为y f x1 f x1 x x1 第三步 将点p的坐标 x0 y0 代入切线方程求出x1 第四步 将x1的值代入方程y f x1 f x1 x x1 可得过点p x0 y0 的切线方程 3 函数在点x0处的导数 导函数 导数的区别与联系 1 函数在一点处的导数f x0 是一个常数 不是变量 2 函数的导数 是针对某一区间内任意点x而言的 函数f x 在区间 a b 内每一点都可导 是指对于区间 a b 内的每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 根据函数的定义 在开区间 a b 内就构成了一个新的函数 也就是函数f x 的导函数f x 3 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x x0处的函数值 即f x0 4 运用复合函数的求导法则y x y u u x 应注意以下几个问题 1 分清楚复合函数的复合关系是由哪些基