10.6平面与平面平行1.doc

七彩教育网 本资料来源于七彩教育网10.6平面与平面平行【知识网络】 1、平行平面的定义及判定；2、两平面平行的性质定理及应用； 3、平行平面之间的距离。【典型例题】例1：（1）下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两平面平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 （ ）A、1 B、2 C、3 D、4答案：C。解析：（2）（3）（4）正确。 （2）已知平面平面，直线L平面,点P直线L,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是 （ ）A 、一个圆 B、四个点 C、两条直线 D、两个点 答案：B。解析：在内到P的距离为10的点的轨迹是一个圆，到L的距离为9的点的轨迹是两条平行直线，所以满足上述条件的点的轨迹是4个点。（3）与空间四点等距离的平面有 （ ）A7个 B2个 C9个 D7个或无穷多个答案：D。解析：当四点共面时，有无穷多个平面，当四点不共面时，根据位置分别有4个和3个平面。（4）正方体中，平面和平面的位置关系为 答案：平行。解析：根据两平面平行的判定定理即得。 （5）下列命题：平面内有无数个点到平面的距离相等，则；若直线与两平面、都不垂直，则、不平行；若直线、是异面直线，且，则，则真命题的个数是 。答案：0个；解析：利用数形结合的方法可判断。例2：设平面平面，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D，求证：MN平面.答案：证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是BAC的中位线，故MEAC，ME，ME.同理可证，NEBD.又，设CB与DC确定的平面BCD与平面交于直线CF，则CFBD，NECF.而NE平面，CF，NE.又MENE=E，平面MNE，而MN平面MNE，MN平面.例3：如图：直三棱柱，底面三角形ABC中，棱，M、N分别为A1B1、AB的中点 求证：平面A1NC平面BMC1； 求异面直线A1C与C1N所成角的余弦值； 求直线A1N与平面ACC1A1所成角的正弦值。答案： 直三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别为A1B1，AB的中点，平面A1NC平面BMC1（2）异面直线A1C与C1N所成角的余弦值为。（3）直线A1N与平面ACC1A1所成角的正弦值为。例4：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1平面C1DB；（2）求证：A1C平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.答案：（1）证明：D1B1DB，D1B1平面C1DB.同理，AB1平面C1DB.又D1B1AB1=B1，平面AD1B1平面C1DB.（2）证明：A1C1D1B1，易证A1CD1B1.同理，A1CAB1，D1B1AB1=B1.A1C平面AD1B1.（3）解：设A1C平面AB1D1=M，A1C平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心.则MAO1，NC1O，且AO1C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a.【课内练习】1下列说法正确的是 （ ）A平面和平面只有一个公共点 B两两相交的三条直线共面C不共面的四点中，任何三点不共线 D有三个公共点的两平面必重合答案：C。解析：A中和可能无公共点，B中三条直线最多可确定三个平面，D中三个公共点共线时平面不重合。2和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是 （ ）A、和都垂直于平面 B、内不共线的三点到的距离相等C、是平面内的直线且D、是两条异面直线且答案：D。解析：对于可平行也可相交；对于B三个点可在平面同侧或异侧；对于在平面内可平行，可相交。对于D正确证明如下：过直线分别作平面与平面相交，设交线分别为与，由已知得，从而，则，同理，。3是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面的条件是（ ）A、是内一个三角形的两条边，且B、内有不共线的三点到的距离都相等C、都垂直于同一条直线D、是两条异面直线，且答案：B。解析：B中、的位置关系可相交。4 已知、是不同的两个平面，直线，命题无公共点；命题. 则的 （ ）A 充分而不必要的条件 B 必要而不充分的条件C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件答案：B。解析：时可推出无公共点。5 给出以下六个命题：垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；与同一直线成等角的两个平面平行；一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是_； 答案：。解析：中两个平面可相交。6已知直线m、n和平面、满足: , m, mn, 则n与之间的位置关系是 答案：n或 n。解析：作图分析即可。7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1，CC1的中点。（1）求证：平面EB1D1平面FBD；（2）设ACBD=0，求证：平面A1OA平面B1D1E。解析：（1）取DD1的中点G，连AG，FG，可证四边形ABFG和AGD1E都是平行四边形，得BFED1，从而ED1平面FBD，又可证B1D1平面FBD，因而平面EB1D1平面FBD。（2）取AB的中点，连，则面AB1。在平面中，由A1AMB1A1E，可得A1MB1E，易证A1OEB1，同理A1OED1，A1D面EB1D1，即面A1OA面B1D1E。 8如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE答案：过M作MGBC，交AB于点G（如下图），连结NGMGBC，BC平面BCE，MG平面BCE，MG平面BCE又=，GNAFBE，同样可证明GN平面BCE又面MGNG=G，平面MNG平面BCE又MN平面MNGMN平面BCE9如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a.（1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求异面直线BE与MN之间的距离.解析：（1）证明：MNEF，MN平面EFDB.又AMDF，AM平面EFDB.而MNAM=M，平面AMN平面EFDB.（2）解：BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN平面EFDB，BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OHAP于H.DB平面A1ACC1，DBOH.而MNDB，OHMN.则OH平面AMN.A1P=a，AP= a，设A1AP=，则cos=，OH=AOsin=a a=a.异面直线BE与MN的距离是a.10在四面体PABC中，PA=PB=PC，BPC=，CPA=，APB=，且。（1）求证：平面PAB平面ABC；（2）设PA中点为M，点P在平面ABC上的射影为O，O在AC上的射影为N，求证：平面OMN平面PBC。解析：（1）设PA=PB=PC=a，由及余弦定理得BC2+CA2=AB2，ABC为直角三角形，且ACB=90，PA=PB=PC，点P在平面ABC上的射影O为ABC的外心，即O为AB的中点，又PO平面PAB，平面PAB平面ABC。（2）ONAC，BCAC，ONBC，又BC面PBC，ON平面PBC，又O、M分别为AB、PA的中点，OMPB，PB平面PBC，OM平面PBC，OMON=0，平面OMN平面PBC。【作业本】A组1如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是 （ ）A平行 B相交 C平行或相交 D垂直相交答案：C。解析：作图可知。2若平面平面，直线，点B，则在内过点B的所有直线中 （ ）A、不一定存在与平行的直线 B、只有两条与平行的直线C、存在无数条与平行的直线 D、存在唯一与平行的直线答案：D。解析：由与B确定的平面与有唯一交线。ABCDC1B1D1A1EE1F1F3如图，在长方体中，AB=6，AD=4，.分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为, .若,则截面 的面积为 ( )A. B. C. D. 16答案：C。解析：由两个截面平行，则三部分都可看作棱柱，所以底面积之比为1:4:1，即AE=2，=。4a、b、为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）答案：。解析：中的位置可能相交、平行、异面。中、的位置可能相交，中可能在内。5已知a、b是两条直线，、是两个平面，有下列4个命题：若，则；若a、b异面，则；若，则；若，则。其中正确的是 。答案：、。解析：中a可能在内，中、可能相交。6已知球的两个平行截面的面积分别是49、400，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积。解析：如图为球的一个大圆截面， 则，同理 。（1）当两截面在球心同侧时，R=625，S球=（2）当两截面在球心异侧时，无解。综上所求球的表面积为2500。7如图，已知三棱锥ABCD中，AD=BC=a，P为面ABC内的一点(1)过P作一截面，使该截面与AD，BC均平行；(2)求该截面的周长；(3)求该截面面积的最大值，及取得最大值时的条件答案：(1)过P作EFBC分别交AB，AC于E，F过F作FGAD过E，F，G的平面交BD于H，则截面EFGH为所求(2)周长为2a，EFFG时，取得故当EF为ABC的中位线，且ADBC时截面8. 如下图，已知平面平面平面，且位于与之间.点A、D，C、F，AC=B，DF=E.（1）求证：=；（2）设AF交于M，ACDF，与间距离为h，与间距离为h，当的值是多少时，BEM的面积最大?解析：（1）证明：连结BM、EM、BE.，平面ACF分别交、于BM、CF，BMCF.=.同理，=.=.（2）解：由（1）知BMCF，=.同理，=.S=CFAD（1）sinBME.据题意知，AD与CF是异面直线，只是在与间变化位置.故CF、AD是常量，sinBME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令hh=x.只要考查函数y=x（1x）的最值即可，显然当x=，即= 时，y=x2+x有最大值.当= ，即在、两平面的中间时，S最大.B组1平面、的公共点多于两个，则 （ ） A、 、重合 B、 、相交 C、 、至少有一条公共直线 D、至多有一条公共直线答案：C。解析：和有相交和重合的可能。2 设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、，对于下面四种情况：b，b，.其中可能的情况有 （ ）A.1种 B.2种 C.3种 D.4种答案：C解析：都有可能，不可能，否则有ba与已知矛盾.3已知三条直线m、n、，三个平面、，下列四个命题中正确的是（ ）A B C D答案：D。解析：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。4 已知a、b是直线，、是平面，给出下列命题： 若，a，则a 若a、b与所成角相等，则ab若、，则 若a, a，则 其中正确的命题的序号是_。答案：（1）（4）。解析：中a,b还有相交和异面的可能，中和r的位置关系不定。5设平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=4，则CS=_. 答案：68或解析：如图（2），由知ACBD，=，即=.SC=.图（1）中显然CS=68。6如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）APMN；（2）平面MNP平面A1BD.答案：（1）连结BC1、B1C，则B1CBC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.APB1C.又B1CMN，APMN.（2）连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD.又PNMN=N，平面PMN平面A1BD.7 如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面，AB，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.（1）求证：MN；（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.解析：（1）证明：过B作BB，垂足为B，连结CB、DB，设E为BD的中点，连结NE、CE，则NEBB且NE=BB，又AC=BB，MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）.MNCE.又CE，