等腰三角形常用辅助线练习(含答案).doc

三角形常添辅助线练习（含答案）1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。证明：作AFBC，垂足为F， 则AFDE。AB=AC，AD=AE。又AFBC ，AFDE，BF=CF，DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。BD=CE。2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F，D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：EFBC理由：延长EF交BC于D，AB=AC，AE=AFB=C，E=AFEB+AFE=C+EAFE=BFDB+BFD=C+EB+BFD=FDC，C+E=BDF，FDC+BDF=180BDF=FDC=90即EFBC3.如图，ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点，DFAC交BC于E,求证：DBE是等腰三角形。证明：在ABC中，BA=BC，BA=BC，A=C，DFAC，C+FEC=90，A+D=90，FEC=D，FEC=BED，BED=D，BD=BE，即DBE是等腰三角形4. 如图，ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。求证：DFBC.证明：AB=AC，ABC=ACB，又AD=AE，D=AED，ABC+D=ACB+AED，ABC+D=ACB+CEF，EFC=BFE=180= 90，DFBC；若把“AD =AE”与结论“DFBC”互换，结论也成立。DFBC，EFC=90，C+CEF=B+D=90 ，又AB=AC，B=C， D=DEAAD=AE；若把条件“AB=AC”与结论“DFBC”互换，结论依然成立。5. 如图，AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,求证：CMMD.证明：连接AC,ADAB=AE,B=E,BC=EDABCAED(SAS)AC=ADAMCDAMC=AMD=90AM=AM【公共边】RTACMRTADM(HL)CM=DM6.如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于F,且AE=EF,求证：BF=AC过B点做AC的平行线交AD的延长线于G点AD为中线，BD=CDBG平行于AC，FGB=CAF，DBG=ACD在AFE和GFB中FGB=CAF，GFB=AFEAFEGFBFGB=FAEAE=EFFAE=AFEBFG=GGFB为等腰三角形，且BF=BG在ADC和GBD中DBG=ACD，BD=CD，BDG=CDAADCGBDBG=ACBF=AC7.已知：如图，ABC(ABAC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DFBA,交AE于点F,DF=AC,求证：AE平分BAC延长AE，过D作DMAC交AE延长线于MM=1C=2在DEM与CEA中M=1C=2DE=CEDEMCEADM=CA又DF=CADM=DFM=3ABFD3=44=1AE平分BAC8. 已知：如图，ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求证：BD=CE过D作DFAC交BC于F，DFAC（已知），DFC=FCE，DFB=ACB（平行线的性质），AB=AC（已知），B=ACB（等边对等角），B=DFB（等量代换），BD=DF（等角对等边），BD=CE（已知），DF=CE（等量代换），DFC=FCE，DGF=CGE（已证），DFGECG（AAS），DG=GE（对应边相等）9. 已知：如图，在ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点，BECB交CD于E,ACDC,求证：BE=1/2BC证明：过点A作AFBC交BC于点F因为：ABC是等腰三角形，AB=AC，ABF=ACF（1）所以：AF是BC上的垂直平分线，AFBC，BF=CF=BC/2（2）因为：BEBC所以：BE/AF所以：DBE=BAF（3）因为：CBE=90所以：DBE+ABF=90=ACF+ECB（4）由（1）和（4）知道：DBE=ECB（5）由（3）和（5）知道：BAF=ECB又因为：AB=CE，BFA=EBC=90所以：RTBFARTEBC（角角边）所以：BF=EB（6）由（2）和（6）知道：BE=BC/210.如图，AD为ABC的角平分线，M为BC的中点，MEDA交BA延长线于E,求证：BE=CF=1/2(AB+AC)如图AD为ABC的角平分线，M为BC的中点，ME/DA交BA的延长线于E。你能运用“中线倍长的转化思想证明BE=CF=（AD+AC）吗？试试看。证明：延长EM，使EM=MG，连接CG点M是BC的中点BM=CMBME=CMGBMECMG（SAS)BE=CGE=GAD平分BACBAD=CADMEDABAD=ECAD=AFEE=AFEAE=AFAFE=CFGG=CFGCF=CGBE=CG(2)求证有误，若是BE=CF=1/2(AB+AC),则结论可证证明：BE=AB+AE2BE=2AB+2AECF=BEAC=CF+AFAE=AF2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE)AC=AF+CF2BE=AB+ACBE=CF=1/2(AB+AC)11.如图，已知ABC中，ADBC,ABC=2C.试说明AB+BD=CD的理由。证明：在DC上截取DE=BD，连接AEADBCADB=ADE=90度AD=ADRTADBRTADE（SAS)AB=AEABC=AEBAEB=C+EACABC=2CEAC=CAE=CEAB=CECD=CE+DEAB+BD=CD12.已知：如图，AD是ABC的角平分线，且AC=AB+BD. 求证：B=2C.证明：在AC上作AEAB，连结DEAC=AB+BDAE+CEBDCEAD是角平分线BADEAD又AB=AE，AD=ADABDEADBAED，BDDECEEDC=C，AED2C即:B2C 13.如图所示，已知在ABC中AD是A的平分线，且B=2C.求证：AC=AB+BD.证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DEAD是BAC的角平分线BAD=DAC（角平分线的定义）公共边AD AC=AE BAD=DACACDAED（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）ACB=DEA（全等三角形形的对角相等）BDE+DEB=CBA CBA=2ACB ACB=DEA BDE=DEA BD=BE（等角对等边）AB+BE=AE AC=AE BD=BE AB+BD=AC14.如图，点E是等边ABC内一点，且EA=EB, ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分BDE。求BDE的度数解：连接CE，AC=BC，AE=BE，CE为公共边，BCEACE，BCE=ACE=30又BD=AC=BC，DBE=CBE，BE为公共边，BDEBCE，BDE=BCE=3015.如图，已知在ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且EB=BD=DE.求证：BD+DC=AD.提示：证明ABEBCD即可16.已知：如图，ABC中，C=90，CMAB于M,AT平分BAC交CM于D,交BC于T,过D作DEAB交BC于E，求证：CT=BE证明：方法一：作DFBC交AB于F,则AFD=B=ACD,AT为BAC的角平分线,AD为公共边AFDACD,AF=ACAF=AC, AT为BAC的角平分线,AD为公共边ACTAFT, TFAF,TFCMDFCTBE,TF