高等数学上知识点汇总.pdf

0 27 课题组成员 高国恒 雷锦 徐礼锋 秦明鑫 李轲 王冠宇 应蕾 曾通 高等数学上 目录 第一章 P1 P3 第二章 P3 P6 第三章 P6 P15 第四章 P15 P20 第五章 P20 P24 第六章 P25 P27 1 27 第一章 函数 基本概念 1 集合 具有某种共同属性的事物的总体 组成这个集合的事物称为该集合的元素 2 集合的表示方法 列举法 描述法 常用 3 集合的运算 并集 A B x x A 或 x B 交集 A B x x A 且 x B 差集 A B x x A 且 x B 4 常见数集 N 自然数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 C 复数集 5 邻域 0 x a 0 a 0 对数函数 xy a log a 0 a 1 三角函数 反三角函数 A B A B A B A B 2 27 4 常见的三角函数公式 平方公式 1cossin 22 xx xx 22 sectan1 xx 22 csccot1 降幂公式 2 2cos1 cos2 x x 2 2cos1 sin2 x x 3 27 5 复合函数 设 f X uf u y g Xxxgu 则 g Xxxgfy 称为由 确定的复合函数 6 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所得的函数 一般来说 分 段函数 隐函数是非初等函数 不能从参数方程中消去 t 解出 y 的参数方程也是非初等函数 7 双曲函数与反双曲函数 双曲正弦 2 xx ee shx 双曲余弦 2 xx ee chx 双曲正切 xx xx ee ee thx 双曲余切 xx xx ee ee cthx 相关等式见书 p23 第二章 导数与极限 一 导数的定义一 导数的定义 1 导数的定义 设函数 xfy 在点 0 x的某邻域内有定义 若 0 0 lim 0 xx xfxf xx x y xx 0 lim存在 则称函数 xfy 在点 0 x处可导 称此极限为 xfy 在点 0 x处的导数 导数是差商的极限 反 映函数的变化率 二 数列的极限二 数列的极限 1 有界数列与无界数列 若存在常数 M 0 对任意的正整数 n 都有 x M 则称数列 xn 为有界数列 否则为无界数列 2 数列的单调性 若对任意正整数 n 都有 XN XN 1则称数列 Xn 为单调增加数列 若对任意正整数 n 都有 XN XN 1则称数列 Xn 为单调减少数列 3 数列极限的定义 若对任意给定的正数 存在正整数 N 使当 n N 时 必有 an L 0 无穷远处的 an也大于 0 5 子数列的三个等价命题 数列 an 收敛于 L 数列 an 的任一子列 ank 都收敛于 L 子列 a2n 和 a2n 1 都收敛于 L 三 函数的极限三 函数的极限 1 函 数 极 限 的 定 义 设 函 数 xf在 0 x的 某 个 去 心 邻 域 内 有 点 远 A 是 一 个 常 数 若 4 27 Axfxx 时 有0当 0 0 0 则称当 0 xx 时 xf以 A 为 极限 记作Axf xx lim 0 2 单侧极限 左极限 Axfxf xx lim 0 0 右极限 Axfxf xx lim 0 0 3 左右极限与极限的关系 lim 0 xf xx lim 0 xf xx lim 0 xf xx A 题目类型 证明极限是否存在 4 函数极限的性质 唯一性 如果极限 lim 0 xf xx 存在 那么极限值是唯一的 局部有界性 若极限 lim 0 xf xx 存在 那么 xf在 0 x的某个去心邻域内有界 局部保序性 如果 且 A B 则在 0 x的某个 去心邻域内有 xf xg 局部保号性 如果Axf xx lim 0 且 A 0 则在 0 x的某个去心邻域内使得 函数 xf在此邻域内与 A 保持同号 四 无穷大与无穷小四 无穷大与无穷小 1 无穷小 若0 lim 0 xf xx 则称函数 xf是 0 xx 时的无穷小 2 无穷小的运算性质 有限个无穷小的和是无穷小 有界函数 常数 有限个无穷小 与无穷小的乘 积是无穷小 3 无穷大 设函数 xfy 在点 0 x的某邻域内有定义 如果对任意正数 M 都存在正数 0 使当 0 x x0 M 称函数 xf为 0 xx 时的无穷大 记作 lim 0 xf xx lim 0 xf xx 不表示 xf的极限存在 仅仅表示一种趋势 4 函数为无穷大则必定无界 5 无穷大与无穷小的关系 在 x 的某趋限过程中 若 xf是无穷大 则 1 xf 是无穷小 若 xf是 无穷小 且 xf不等于 0 则 1 xf 是无穷大 6 无穷大的运算性质 有界量加无穷大还是无穷大 无界量乘无穷大是无穷大 有界量乘无穷大未 必是无穷大 五 极限的运算法则五 极限的运算法则 1 极限的四则运算法则 设Axf xx lim 0 Bxg xx lim 0 则 5 27 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 BAxgxfxgxf xxxxxx lim lim lim 000 当 B 0 时 B A xg xf xg xf xx xx xx lim lim lim 0 0 0 2 当0 0 a 0 0 b m 和 n 都是非负数时有 0 0 b a 当 n m n nn m mm x bxbxb axaxa 1 10 1 10 lim 0 当 n m 当 nb 规定 b a dxxf b a dxxf 当 a b 时 规定 a a dxxf 0 例题 计算 1 0 2 1x的值 容易发现该定积分表示的是以原点为圆心 以一为半径的位于第一象限的四分之一 圆 则 1 0 2 1x 4 1 5 1 3 定积分的存在条件定理一 可积的必要条件 21 27 若 f x 在 a b 上可积 则 f x 在 a b 上有界 定理一 可积的必要条件 若 f x 在 a b 上可积 则 f x 在 a b 上有界 定理二 定积分存在定理 若 f x 是区间 a b 上的连续函数或分段连续函数 即有至 多有限个第一类间断点 则 f x 在 a b 上可积 即连续函数一定是可积函数 5 2 定积分的性质 性质一 定积分的线性运算性质 性质二 定积分对于积分区间的可加性 若已知 f x 在某区间上可积 则 f x 在其任何 一个子区间上也可积 且对该区间中的任意三个常数 a b c 有 b a dxxf c a dxxf b c dxxf 性质三 若 f x 在 a b 上可积 则改变 f x 的有限个点后所得的函数 F x 仍在 a b 上可 积 且积分值不变 即有 b a dxxf b a dxxF 特例 若 f x 在 a b 除有限个点外恒为零 则 b a dxxf 0 性质四 定积分对被积函数的保序性 设 f x g x 在 a b 上可积 且在 a b 上成立 f x g x z 则 b a dxxf b g a dxx 特例 若 f x 在 a b 上可积 且在 a b 上成立 g x 0 则有 b g a dxx0 性质五 定积分的估值定理 若 f x 在 a b 上可积 且当 a x b 时 成立 m f x M 则有 m b a b a dxxf M b a 性质六定积分的中值定理 若 f x 在 a b 上连续 则存在 a b 使得 b a dxxf f b a 其中 ab dxxf b a 叫做函数 f x 在 a b 上的平均值 记为 f 值得注意的是积分平均值的概念适用于可积函数 而积分中值定理仅适用于连续函 数 推广 若 f x 在 a b 上连续 g x 在 a b 上可积且不变号 则存在 a b 使得 b a dxxgxf f b g a dxx 此式称为广义的积分中值公式 22 27 5 35 3 微积分基本定理微积分基本定理 5 3 15 3 1 微积分第一基本定理微积分第一基本定理 若 f x 在 a b 上连续 则变上限积分函数 F x x f a dtt在 a b 上可微 且有 x x a dttf dx d F f x 几个重要公式 x xfdttf dx d a x x xfdttf dx d a x x xfdttf dx d x x xf x 5 3 2 原函数与不定积分 原函数的定义 设 f x 在某区间 I 上有定义 如果对任意的 x I 都有 x F f x 或 dF x f x 则称函数 F x 为 f x 或微分形式 f x dx 在区间 I 上的原函数 原函数的性质 原函数存在定理 连续函数必有原函数 且有当已知 f x 在 I 上的一个原函数 F x 时 f x 在 I 上的全体原函数组成的集合就是函数族 F x C 其中 C 是任意实数 不定积分的定义 在区间 I 上 函数 f x 的带有任意常数项的原函数称为 f x 或微分形 式 f x dx 在区间 I 上的不定积分 记作 dxx f 故有 dxx f x f a dtt C 值得注意的是 dxx f表示函数 而 b f a dxx表示一个常数 定理 微分 求导 运算与积分运算是一对互逆的运算 即有 xfdxxf dx d 23 27 dxxfdxxf d CxFdxxF CxFxF d 其实 我们知微分运算与积分运算是一对互逆的运算 则有 f dxx dx d dx dxxf d dx dxx f f x 其余公式均可由此推导得出 只是在不定积分与原函数的互化中要注意 C 这是容易 遗漏的点 谨记 基本微分表 Cxdx ln x 1 Cxdx tanxsec2 Cxdx cotxcsc2 Cxdx sectanxsecx Cxdx csccotxcscx CCxdx arccosx或arcsin x 1 1 2 CCxdx arccotx或arctan x1 1 2 Cchxdx shx Cshxdx chx 常见函数补充 Cdx x ln ln xlnx 1 Cdx x sin lncotx Cxxxdx lnlnx 5 3 3 微积分第二基本定理 微积分第二基本定理的内容 设 f x 在区间 a b 上连续 F x 是 f x 在 a b 上的任意一个 原函数 则 a aFbFdxxf b 24 27 该式也称为牛顿 莱布尼恣公式 第六章 积分法 6 1 1 不定积分的性质 不定积分同定积分一样具有线性运算性质 即有 dxxgkdxxfkdxxgkxfk 2121 6 1 2 不定积分的换元法 不定积分的第一换元法 凑微分法 如果 u g x 是可微函数 f u 在 g x 的值域区间 I 上连续 则有换元公式 dxxgxg f xgdxgf xgu duuf 若是xxxx knnk1212 cossin或是cossin 拆奇次项求微分 当被积函数是xx kl22 sincos时 用倍角公式降幂 两个正弦函数或余弦函数相乘时 使用积化和差公式求解 当被积函数是去凑微分csc或sec拆分cotcsc或tansec 2222 xxxxxx nknn 型积分的计算方法 x 2 dx nmxx NM 1 判别式04m2 n 2 判别式04m2 n 3 判别式04m2 n 不定积分的第二换元法 凑微分法 设 f x 连续 x g t 的导数 g t也连续且 g t不等于 0 则有换元公式 tgftgdtgfdxxf g tdt 这里 右端积分求得之后 其中的 t 须用 x g t 的反函数 t g 1 x回代 25 27 三角变换 当被积函数含有二次根式 222222 aaxxax 则可以分别作变换 X asint x atant x asect 倒数变换 令 x t 1 即可 令题目中的根式为新的变量 J 基本公式表的补充 Cxx tansec lnsecxdx Cxx cotcsc lncscxdx C a x a xa dx arcsin 1 22 Cxax xa dx ln 22 22 Caxx ax dx ln 22 22 Cxa x a xa dxxa 22 2 22 2 arcsin 2 C a x axa dx arctan 1 22 6 1 3 不定积分的分部积分法 不定积分的分部积分公式 xfdxgxgxfxgdxf 反复运用分部积分法求解不定积分 使用多次分部积分法 获得所求积分所满足的方程式 求出不定积分 对于含有正整数 n 的不定积分的关于 n 的递推公式使用分部积分法求解 各种积分法的混合使用 26 27 6 1 4 几类特殊函数的积分 6 1 4 1 有理函数的积分法 形如 R x n xQ xP m 的函数称为有理函数 且当 n m 时 称 为有理真分式 当 n m 时 称为有理假分式 而其积分称为有理函数的积分 1 有理假分式 通过如下一道例题 我们可得出关于有理假分式的定积分的计算的一 般规律 2 有理真分式 有理真分式的积分主要面临以下四种类型函数的计算 1 a x A 2 n a x A 3 qpxx2 CBx 4 n2 q px x CBx n 2 3 对于有理真分式的积分求解 它相当于有理假分式的积分求解去除第一步的多项式除 法 所以二者的积分求解大体类似 6 1 4 2 三角有理函数的积分法 形如 R cosx sinx 的函数称之为三角有理函数 其积分称之为三角有理函数积分 计算三角有理函数积分的基本思想是通过变量代