1.2.1充要条件

“充要条件”教学设计一、教材分析 充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。在旧教材中，这节内容安排在解析几何第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，为学生学习充要条件打下基础，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。显然，新教材的这种处理，充分说明充要条件这一内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义” 。 从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难。因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，这是比较切合教学实际的。由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一次到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。 从教材编写角度看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材中“充分条件”和“必要条件”是以如下方式分别定义的，“一般地，如果A成立，那么B成立，即AB，这时我们就说条件A是B成立的充分条件，也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了。”“一般地，如果B成立，那么A成立，即BA，或者，如果A不成立，那么B就不成立，这时我们就说，条件A是B成立的必要条件。也就是说，要使B成立，就必须A成立。因为BA和它的逆命题是等价的，所以，如果A不成立，那么B就一定不成立，也就是说，要使B成立，A就必须成立。”与旧教材大段枯燥难懂的表述相比，新教材的定义显得更简洁精炼，“一般地，如果已知pq，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。”与定义表述的繁简成鲜明对照的是，新教材的例题、练习题、习题数均大幅增加，是旧教材的两倍。显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观，因此淡化了对定义的纯文字叙述，而更注重学生从感性上去领悟，让学生在解题实践中加深理解。当然，一次性给出定义也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。二、教学设计根据新教学大纲的课时安排，充要条件这一内容共需二课时，本文给出的是第一课时的教学设计。由于这是充要条件的概念起始课，文字信息量较普通的数学课要大，因此，课前我用PowerPoint软件自制了CAI课件，以简化板书工作，增加课堂教学的信息容量，提高教学效益。1、复习旧知，引入新课1)、命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。2)、四种命题及相互关系：互 逆原命题若p则q逆命题若q则p否命题若则逆否命题若则互 为 为互 否逆逆 否互否互否互 逆3)、如果命题“若p则q”为真，则记作pq（或qp）。4)、如果命题“若p则q”为假，则记作p q。例1、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假。 （1）若x=y，则x2=y2。 （2）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （3）ax2+ax+10的解集为R，则0ab2，则ab。注意：要分别指出各个题目的条件p和结论q各是什么。 答：（1）pq，q p。 （2）pq，qp。 （3） p q，qp。 （4）p q,q p。2、在原命题中研究前者对后者的制约程度：真命题（1）、（2）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。假命题（3）、（4）中，p不足以导致q，也就是说条件p不充分。 3、在逆命题中研究后者对前者的依赖程度：真命题（2）（3）中，p是q成立所必须具备的前提。假命题（1）（4）中，p不是q成立所必须具备的前提。 建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律。例1在这里起到了承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识结构上的生长点，通过研究四个命题中前者对后者的制约程度，可以得出建立在学生原有知识水平上的“充分”这个感性化的词汇，通过研究后者对前者的依赖程度，可以得出 “必须具备”这个感性化的词汇，这就使后面“充分条件”“必要条件”这两个数学概念的引入顺理成章，水到渠成。4、阐述定义，理解内涵1)、定义：如果已知pq，则说p是q的充分条件。如果已知qp，则说p是q的必要条件。如果已知pq且qp，则说p是q的充分不必要条件。如果已知qp且pq，则说p是q的必要不充分条件。如果既有pq，又有qp，就记作pq，则说p是q的充要条件。 2)、从集合角度理解： pq，相当于，即 P Q 或 P、Q 即：要使xQ成立，只要xP就足够了有它就行。 qp，相当于，即 Q P 或 P、Q即：为使xQ成立，必须要使x缺它不行。 qp等价于。 pq，相当于P=Q，即 P 、Q即：互为充要的两个条件刻划的是同一事物。 有了前面例1作铺垫，从顾名思义的角度，学生可以很自然地接受并初步理解“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”这三个概念。而从集合角度对这三个概念分别加以剖析，则可以使学生更准确深入地理解其中的内涵。在这里采用先对“充分条件”、“必要条件”分别定义的教学方案，可避免难点过分集中，使学生将注意力集中于对概念内涵的理解上。6、回到例1 （1）判断前者是后者的什么条件。 （2）判断后者是前者的什么条件。答：（1）充分不必要充要必要不充分既不充分也不必要（2）必要不充分 充要充分不必要 既不充分也不必要1)、简化定义：如果已知pq，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 当学生的视线再回到例1时，他们的认识已螺旋式上升，到达了一个新的境界，这样，例1又可以起到巩固学生认识的作用。此时再给出课本上的简化定义，并指出在判断充要关系时必须先分清条件与结论，学生理解起来困难就小得多了。2)、练习巩固，深化认识7、例2，判断下列问题中，p是q成立的什么条件？ p q （1）x21 x-1 （2）|x-2|0 （3）xy0 x0或y0 解： （1）p q q p （2）pq （3）pq，q p (原问题) 1)、判别步骤 （1）认清条件和结论。（2）考察pq和qp的真假。 2)、判别技巧 （1）可先简化命题。 （2）否定一个命题只要举出一个反例即可。 （3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 学生在解决例2的过程中，可以深化对充要条件概念的认识，进而概括出解决此类问题的一般解题策略。3)、结合生活，丰富感知ppt6 例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。 （1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竞成 （4）头发长，见识短 （5）名师出高徒 （6）放下屠刀，立地成佛 （7）兔子尾巴长不了 （8）不到长城非好汉 （9）春回大地，万物复苏 （10）海内存知己 （11）蜡炬成灰泪始干 （12）玉不琢，不成器 充要条件这个数学概念与人们日常生活中的推理判断密切相关，设计例3让学生从数学的角度重新审视生活中的名言名句，体现了数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。教学中，我逐一展示名言名句，让学生探讨其中的充要关系，此时课堂学习的气氛达到了高潮，学生一改以往不肯轻易发言的习惯，踊跃发表自己的观点。当然，生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维” 。8、小结作业小结：1)、定义：如果已知pq，则说p是q的充分条件。 如果已知qp，则说p是q的必要条件。 如果已知pq且qp，则说p是q的充分不必要条件。 如果已知qp且pq，则说p是q的必要不充分条件。 如果既有pq，又有qp，就记作pq，则说p是q的充要条件 2)、判别步骤(1)认清条件和结论。（2）考察pq和qp的真假。3)、判别技巧 （1）可先简化命题。 （2）否定一