高中数学 第三章 不等式 3_2 一元二次不等式及其解法（一）课件 新人教a版必修5

第三章不等式 3 2一元二次不等式及其解法 一 1 理解一元二次方程 一元二次不等式与二次函数的关系 2 掌握图象法解一元二次不等式 3 培养数形结合 分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一一元二次不等式的概念 解析 是 符合定义 不是 因为未知数的最高次数是3 不符合定义 不是 当a 0时 它是一元一次不等式 当a 0时 它含有两个变量x y 不是 当a 0时 不符合一元二次不等式的定义 思考下列不等式是一元二次不等式的有 x2 0 3x2 x 5 x3 5x 6 0 ax2 5y 0 a为常数 ax2 bx c 0 解析答案 知识点二一元二次不等式的解法利用 三个二次 的关系我们可以解一元二次不等式 解一元二次不等式的一般步骤 1 将不等式变形 使一端为0且二次项系数大于0 2 计算相应的判别式 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的根 作出函数图象 当 0时 直接作出函数图象草图 4 根据对应二次函数的图象 写出不等式的解集 知识点三 三个二次 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式 的关系 思考若一元二次不等式ax2 2x 1 0的解集为R 则a的取值范围是 返回 1 答案 题型探究重点突破 题型一一元二次不等式的解法例1解下列不等式 1 2x2 7x 3 0 解析答案 解析答案 3 2x2 3x 2 0 解原不等式可化为2x2 3x 2 0 因为 9 4 2 2 7 0 所以方程2x2 3x 2 0无实根 又二次函数y 2x2 3x 2的图象开口向上 所以原不等式的解集为R 解析答案 反思与感悟 解原不等式可化为x2 6x 10 0 6 2 40 4 0 所以方程x2 6x 10 0无实根 又二次函数y x2 6x 10的图象开口向上 所以原不等式的解集为 解一元二次不等式注意事项 1 先将二次项系数化为正数 2 正确理解 0 0 对于二次函数图象的意义 3 答案要写成解集 或区间 形式 反思与感悟 跟踪训练1解下列不等式 1 x2 5x 6 0 解析答案 解方程x2 5x 6 0的两根为x1 1 x2 6 结合二次函数y x2 5x 6的图象知 原不等式的解集为 x x 1或x 6 2 2 x x 3 0 解析答案 解原不等式可化为 x 2 x 3 0 方程 x 2 x 3 0的两根为x1 2 x2 3 结合二次函数y x 2 x 3 的图象知 原不等式的解集为 x x 3或x 2 3 4 2x2 2x 1 x 4 x 解析答案 题型二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式 ax2 a 1 x 1 0 a R 解析答案 反思与感悟 解原不等式可化为 ax 1 x 1 0 当a 0时 x 1 当a 1时 x 1 解析答案 反思与感悟 综上 当a 0时 原不等式的解集是 x x 1 反思与感悟 当a 1时 原不等式的解集是 x x 1 含参数不等式的解题步骤 1 将二次项系数化为正数 2 判断相应的方程是否有根 如果可以直接分解因式 可省去此步 3 根据根的情况写出相应的解集 若方程有两个相异实根 为了写出解集还要讨论两个根的大小 另外 当二次项含有参数时 应先讨论二次项系数是否为0 这决定不等式是否为一元二次不等式 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2解关于x的不等式x2 a a2 x a3 0 解原不等式可化为 x a x a2 0讨论a与a2的大小 1 当a2 a即a 1或a 0时 x a2或x a 2 当a2 a即a 0或a 1时 x a 解析答案 3 当a2 a即0 a 1时 x a或x a2 综上 当a 0或a 1时 解集为 x x a2或x a 当a 0或1时 解集为 x x a 当0 a 1时 解集为 x x a或x a2 题型三 三个二次 关系的应用例3已知一元二次不等式ax2 bx c 0的解集为 且0 求不等式cx2 bx a 0的解集 解析答案 反思与感悟 解方法一由题意可得a 0 且 为方程ax2 bx c 0的两根 a 0 0 由 得c 0 解析答案 反思与感悟 方法二由题意知a 0 解析答案 反思与感悟 将方法一中的 代入 得 x2 x 1 0 即 x 1 x 1 0 反思与感悟 求一般的一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c0 的解集 先求出一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根 再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 当两个 有关联 的不等式同时出现时 应注意根与系数的关系的应用 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3已知关于x的不等式x2 ax b 0的解集为 x 1 x 2 求关于x的不等式bx2 ax 1 0的解集 解 x2 ax b 0的解集为 x 1 x 2 1 2是方程x2 ax b 0的两根 代入所求不等式 得2x2 3x 1 0 解析答案 不注意一元二次不等式二次项系数的正负致误 易错点 例4若一元二次不等式ax2 bx c 0的解集为 x x 3或x 5 则ax2 bx c 0的解集为 误区警示 返回 错解由根与系数的关系得 代入得ax2 2ax 15a 0 x2 2x 15 0 x 3 x 5 0 5 x 3 答案 x 5 x 3 错因分析 式化为 式 忽略了二次项系数a的符号 并非同解变形 解析答案 误区警示 正解由根与系数的关系得 误区警示 ax2 2ax 15a 0 又由解集的形式知a 0 上式化为x2 2x 15 0 x 3 x 5 0 x 3或x 5 答案 5 3 误区警示 1 注意隐含信息的提取有些信息是隐含在题设的条件中的 适当挖掘题设信息可较好地完成对解答题目不明信息的突破 如本例借助不等式及其解集的对应关系得出 a 0 这一关键信息 从而避免不必要的讨论 2 注意 三个二次 的关系二次函数的零点 就是相应一元二次方程的根 也是相应一元二次不等式解集的分界点 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 设集合A x x2 4x 30 则A B 解析答案 D A a 6 c 1B a 6 c 1C a 1 c 6D a 1 c 6 1 2 3 4 5 B 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知x 1是不等式k2x2 6kx 8 0的解 则k的取值范围是 2 4 解析x 1是不等式k2x2 6kx 8 0的解 把x 1代入不等式得k2 6k 8 0 解得k 4或k 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 不等式x2 3x 4 0的解集为 解析易得方程x2 3x 4 0的两根为 4 1 所以不等式x2 3x 4 0的解集为 4 1 4 1 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知关于x的不等式mx2 2m 1 x m 1 0的解集为空集 求实数m的取值范围 解 1 当m 0时 原不等式化为 x 1 0 x 1 解集非空 课堂小结 1 解一元二次不等式的常见方法 1 图象法 由一元二次方程 一元二次不等式及二次函数的关系 可以得到解一元二次不等式的一般步骤 化不等式为标准形式 ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c0 求方程ax2 bx c 0 a 0 的根 或者方程无根 并画出对应函数y ax2 bx c图象的简图 由图象得出不等式的解集 2 代数法 将所给不等式化为一般式后借助因式分解或配方求解 当m0 则可得x n或x m 若