高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间两条直线的位置关系课件 苏教版必修2.ppt

1 2 2空间两条直线的位置关系 第1章立体几何初步 学习导航 第1章立体几何初步 1 空间中两条直线的位置关系 不同在任何 一个平面内 相交 平行 异面直线 2 公理4与等角定理 1 公理4 平行于同一条直线 a b且b c a c 传递 2 等角定理 相等 3 异面直线的判定与几何表示 不经过该点 4 异面直线所成的角 锐角 或直角 0 90 a b 90 1 如果两条直线a与b没有公共点 那么a和b的位置关系是 解析 空间中两条直线的位置关系共有相交 平行 异面三种情况 若直线a与b没有公共点 那么a和b的位置关系只能是平行或异面 平行或异面 2 课本改编题 如图所示 在三棱锥p abc的六条棱所在的直线中 异面直线共有 对 解析 根据异面直线的定义可知共3对 分别是ap与bc cp与ab bp与ac 3 3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 bd和b1d1分别是正方形abcd和a1b1c1d1的对角线 1 dbc的两边与 的两边分别平行且方向相同 2 dbc的两边与 的两边分别平行且方向相反 解析 1 b1d1 bd b1c1 bc 并且方向相同 dbc的两边与 d1b1c1的两边分别平行且方向相同 2 d1b1 bd d1a1 bc 并且方向相反 dbc的两边与 b1d1a1的两边分别平行且方向相反 d1b1c1 b1d1a1 异面直线的判定与证明 法二 反证法 若ae和df不是异面直线 则ae和df共面 设过ae df的平面为 若e f重合 则e是bc的中点 从而有ab ac 这与题设ab ac相矛盾 若e f不重合 b ef c ef ef bc 又a d a b c d四点共面 这与题设abcd是空间四边形相矛盾 综上 ae和df不是异面直线不成立 故ae和df是异面直线 方法归纳证明两条直线为异面直线 方法主要有两种 1 定理法 即 a a b b a 直线a与ab是异面直线 2 反证法 体现了 正难则反 的解题思想 反证法一般有三个步骤 一是假设结论的反面成立 二是推出矛盾 可以是与已知矛盾 与定理 公理矛盾 也可以是自相矛盾 三是下结论 1 如图所示 ab cd是两异面直线 求证 直线ac bd也是异面直线 证明 法一 假设ac和bd不是异面直线 则ac和bd在同一平面内 设这个平面为 由ac bd 知a b c d 故ab cd 这与ab和cd是异面直线矛盾 所以假设不成立 则直线ac和bd是异面直线 法二 由题图可知 直线ab ac相交于点a 所以它们确定一个平面为 由直线ab和cd是异面直线 则d 即直线bd过平面 外一点d与平面 内一点b 又ac b ac 所以直线ac和bd是异面直线 公理4及等角定理的应用 方法归纳 1 求证两直线平行 一是应用公理4 即找到第三条直线 证明这两条直线都与之平行 二是证明在同一平面内 这两条直线无公共点 2 求证角相等 一是用等角定理 二是用三角形全等或相似 如本题中在证明 ea1f e1cf1时 还可以通过证明 a1ef cf1e1来实现 由于ef e1f1 所以只需要证明a1e a1f ce1 cf1 在这些边所在的直角三角形中 利用勾股定理即可证明 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是a1b1 b1c1的中点 求异面直线db1与ef所成角的大小 链接教材p29例1 求异面直线所成的角 方法归纳求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面 也就是通过平移直线至相交位置求角 它是立体几何问题的一个难点 找异面直线所成的角时可综合运用多种方法 结合以上四种解法总结起来有如下 口诀 中点 端点定顶点 平移常用中位线 平行四边形中见 指出成角很关键 求角构造三角形 锐角 钝角要明辨 平行线若在外 补上原体在外边 所以 mpn 60 或 mpn 120 又因为ab cd 所以pm pn 1 若 mpn 60 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 2 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab与mn所成的角为30 综上知 ab与mn所成的角为60 或30 错因与防范 1 在解答此类问题时 常常由于对异面直线所成角的范围认识模糊 导致回答结论时产生错误 事实上 由于异面直线所成角 的范围是0 90 当求得的角为钝角时 则其补角是异面直线所成的角 2 重视异面直线所成的角的取值范围 并要注意结合实际情景进行恰当地推导 计算题中要注意所用结论的证明 做到步步有据 注意解题的规范性 不要漏掉步骤 致使解析不规范 答案不清晰 解 1 如图 过p点在平面 外的左 右两侧存在2条直线与a b所成的角为45 2 如图 过p点在平面 内120 的角平分线上存在1条直线与a b所成的角为60 过p点在平面 外的左右两侧存在2条直线与a b所成的角为60 则与a b所成的角为60 的直线有3条 3 如图 过p点在平面 外左右两侧存在2条直线与a b所成的角为70 过p点在平面 外前 后两侧存在2条直线与a b所成的角为70 则与a b所成的角为70