概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型.doc

概率论与数理统计练习题第一次 随机事件与古典概型一填空1. 设S为样本空间，A,B,C是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则（1）P()=；(2)P(B-A)=P(B)=；(3)P(AUBUC)= ；2. 设A,B,C是三个随机事件，试以A，B，C的运算来表示下列事件：（1）仅有A发生；（2）A，B，C中至少有一个发生；（3）A，B，C中恰有一个发生；（4）A，B，C中最多有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A不发生，B，C中至少有一个发生；3. A,B,C是三个随机事件，且p(A)=p(B)=p(C)=1/4,P(AC)=1/8;P(AB)=P(BC)=0,则A，B，C中至少有一个发生的概率为: ；A，B，C中都发生的概率为: ；A，B，C都不发生的概率为: ；4. 袋中有n只球,记有号码 1,2,3,n. (n5) 则事件(1)任意取出两球,号码为1,2的概率为；(2)任意取出三球,没有号码为1的概率为；(3) 任意取出五球,号码1,2,3中至少出现一个的概率为；5. 从一批由此及彼5件正品,5件次品组成的产品中,任意取出三件产品,则其中恰有一件次品的概率为；二某码头只能容纳一只船，现预知将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到的可能性都相同，如果他们需要的停靠时间分别为3小时与4小时，试求有一只船要在江中等待的概率？三已知A，B两个事件满足条件P(AB)=P(),且P(A)=p; 求P(B).第二次 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式一填空1 条件概率的计算公式P(B|A)= ；乘法公式P(AB)= ；2 为样本空间S的一个事件组，若两两互斥，且=S,则对S中的事件B有全概率公式；3 设B为样本空间S的一个事件, 为样本空间S的一个事件组,且满足：（1）互不相容，且P()0 (I=1,2,3) ; (2) S=则贝叶斯公式为；4 两事件A,B相互独立的充要条件为； 5 已知在10只晶体管中，有2只次品，在其中取两次，每次随机地取一只，做不放回抽样，则（1）两只都是正品的概率为；（1）一只正品，一只为次品的概率为；（3）两只都为次品的概率为；（4）第二次取出的是次品的概率；二 某工厂有甲，乙，丙3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，3个车间中产品的废品率分别为5%，4%，2%，求全厂产品的废品率。已知男人中有5%的是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者。问此人是男人的概率。三 一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B；加工A时，停车的概率为0.3，加工B时停车的概率为0.4，求这个机床停车的概率？四 已知事件A的概率P(A)=0.5,B的概率P(B)=0.6,以及条件概率P(B|A)=0.8,求A,B和事件的概率。五 有甲，乙两个盒子，甲盒中装有8支铅笔，4支钢笔；乙盒中装有3支铅笔，3支钢笔；现从中任取一数，若取到偶数，则在甲中取一支笔，否则在乙中取一支笔，已知取到了钢笔，求该钢笔来自甲的概率？ 第三次 一维随机变量及其分布 一维离散型随机变量一. 填空1 设X为一个随机变量，x为任意的实数，则X的分布函数定义为F(x)= ；根据分布函数的性质P(；2 设离散型随机变量X可能取的值为，且X取这些值的概率为：P(X=)= (k=1,2.k), 则；根据分布函数的性质 P(；3 如果随机变量X服从参数为，n, p的二项分布B(n,p),那么它的分布律为P(X=k)= ；4 设X服从参数为的泊松分布，则其分布律为；二一批产品共有n件，其中有m（3mn）件次品，从中任意抽取3件产品，求取出的次品数X的分布律。三将三个球随机放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数X的分布律。四一批零件中有9个合格品，3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前，已取出的废品数的分布律。五设离散型随机变量X的分布律为，试确定常数a。六已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱装有3件合格品和3件次品，乙箱中装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1）箱中次品件数X的分布率；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。第四次 一维连续型随机变量一填空1设为的分布密度函数，F(x)为分布函数，那么F(x)；P(aXb)=F(b)-F(a)= ；2.X服从a,b上的均匀分布，那么X分布密度函数为 。3. X服从参数为的正态分布，那么X分布密度函数为 。4.XN(0,1),那么X分布密度函数为 。5.如果，是标准正态分布的分布函数，那么P(aXb)=F(b)-F(a)= .二连续型随机变量X的概率密度为，求：（1）常数A，（2）X落在区间（1，2）内的概率；（3）X的分部函数。三设k在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率。四设随机变量X服从正态分布，且二次方程无实根的概率为，求。第五次 二维离散型随机变量一 填空1. 如果是二维随机离散型变量，则的联合分布率定义为= ；分布率的性质 。2.若已知则随机变量关于的边缘分布为 ；相互独立的充要条件是 。二 将一枚硬币掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示在三次中出现正面的次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出和的联合分布率。三 设的分布率由下表给出，问为何值时与相互独立？ （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） 概率1/6 1/9 1/18 1/3 四 设与相互独立，且分布率分比分别为下表，求二维随机变量的联合分布率。 -1 -1/2 0 1/2 1/3 1/6 0 2 5 6 1/41/42/51/10 五 设随机变量与相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布率及关于和关于的边缘分布率中部分数值，试将其余数值填入表中空白处。 1/8 1/8 1/6 1六 设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立。以表示在中途下车人数，求：（1）发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量的概率分布。第六次 二维连续型随机变量一 填空 1. 是二维连续型随机变量，是的分布密度，则分布函数 ； ；2.设是二维连续型随机变量的联合密度函数，则关于与的边缘分布密度函数分别为 ；= ；与相互独立的充分必要条件是 。 设随机变量的概率密度为，（1）确定常数k；（2）求的分布函数；（3）求；（4）求；（5）与是否相互独立？二 假设随机变量在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量 试求和的联合概率密度。第七次 随机变量的函数分布 条件分布一填空1. 设的联合分布为，则的密度函数 ；特别当相互独立时，的概率密度分别为，则 或 。二设随机变量服从参数的指数分布，求随机变量的概率密度。三袋中有4个同样的球，依次写上1，2，2，3，从袋中任意取出一球，不放回袋中，再任取一球，以表示第1、2次取到球上的数字：（1）求的分布率，并证明与不相互独立；（2）求的分布率；（3）求的分布率；（4）求的分布率；（5）求的分布率。第八次 数学期望 方差（一）一 填空 1.设随机变量的分布率为 -2 0 2，则 ； 0.4 0.3 0.3 ； 。 2.已知随机变量服从，服从，且与相互独立，随机变量，则 。 3. 是随机变量，是数学期望，则方差定义为 ；计算公式 。 4. 若，则 ， ；若，则 ， ；若，则 ， ；若服从a，b上的均匀分布，则 ， 。5. 若，满足条件 ，则。6. 两个随机变量，的方差分别为4和2，则的方差为 。7. 设表示10次独立重复射击击中目标的次数，每次射中的概率为，则 ， ； 。8. 设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知则 二 设是一个随机变量，其密度函数为，求三 设随机变量在区间-2，2上服从均匀分布，随机变量 求。第九次 数学期望 方差（二）一填空 1是任意两个随机变量，协方差定义为 ；它的计算为 ； ； 。 2 相互独立与不相关的关系是_。 3 相关系数定义为 ；且 。 4 的充分必要条件是 。 5 设，,则 。 6 设随机变量X与Y独立，同服从正态分布，令，则 。三设随机变量X与Y的概率密度为，验证X与Y互不相关，但也不相互独立。四服从二维正态分布, ，。X与Y的相关系数，求（1）；（2）X与Z的相关系数。 第十次 大数定理及中心极限定理一填空1 设随机变量X的方差为2，则根据切比晓夫不等式估计 。2 根据贝努里大数定理，设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次实验中出现的概率为，则对任意的，有 。3 根据中心极限定理，设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有有限的均值与方差，随机变量的分布函数，对任意的x，满足 = 。第十一次 样本及其分布一填空1 设是来自总体的简单随机样本，则样本均值 ；样本方差 ；样本的K阶（原点）矩 ；样本的阶（中心）矩 。2 设，总体，是从该母体中抽的容量为n的样本，则统计量 ； ； 。3 设相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则服从参数为 的 分布。4 设总体X服从正态分布，是它的一个简单随机样本，则统计量服从 分布；服从 分布；服从 分布；服从 分布。5 设，X与Y独立，则随机变量服从自由度为 的 分布。6 设总体，是X的一个样本，分别是样本均值及样本方差，则 ； 。 第十二次 参数估计一填空1 估计一个参数的常用矩估计法的方法是 。2 若X是离散型随机变量，分布律是，（是待估计参数），则似然函数 ，X是连续型随机变量，概率密度是，则似然函数是 。3 若未知参数的估计量是，若，有 成立，则称是的一致估计量，若 称是的无偏估计量。设是未知参数的两个无偏估计量，若 则称较有效。4 对任意分布的总体，样本均值是 的无偏估计量。5 设总体，其中是未知参数，是的一个样本，则的矩估计量为 ，极大似然估计为 。二设总体服从几何分布，分布律为，先用矩法求的估计量，再求的极大似然估计。三设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的容量为n的简单随机样本，（1）求的矩估计量；（2）求的极大似然估计。四设总体，都是来自的一个样本，试确定常数C，使为的无偏估计。第十三次 补充题二设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在上服从均匀分布，Y的概率密度为，（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设a的二次方程为，试求a有实根的概率。三设随机变量X服从参数的指数分布，求随机变量的概率密度。四设随机变量X,Y相互独立，若P在区间上服从均匀分布，求：（1）的概率密度；（2）的概率密度。六设随机变量X的概率密度为对X独立的重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求的数学期望。七 设总体X的概率分布为X0 1 2 3