4平行线的性质

第七章平行线的证明4平行线的性质 平行线的性质定理 1 平行线的判定与性质的区别与联系 两角间的数量关系判定性质两直线间的位置关系 由此可知判定与性质之间的关系是一种互逆的关系 2 平行线的性质定理的补充 夹在两条平行线间的平行线段 或垂线段 相等 垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线 例1如图7 4 1 已知AB CD 直线EF分别交AB CD于点M N MP平分 EMB NQ平分 MND 请分别写出 AMN与 MND BMN与 MND EMP与 MNQ之间的大小关系 并说明理由 图7 4 1 解 AMN MND BMN MND 180 EMP MNQ 理由如下 因为AB CD 已知 所以 AMN MND 两直线平行 内错角相等 BMN MND 180 两直线平行 同旁内角互补 EMB MND 两直线平行 同位角相等 因为MP平分 EMB NQ平分 MND 已知 所以 EMP EMB MNQ MND 角平分线的定义 所以 EMP MNQ 等量代换 两直线平行 会有同位角相等 内错角相等 同旁内角互补的结论 应该用哪个 则要看所求的角或所证的结论与哪一个有关 这要根据题目的其他已知条件 隐含条件来加以判断 平行线的性质 判定 定理4 注意 此定理的条件是平行 结论也是平行 根据平行线的性质和判定的结构特点 此定理既是平行线的性质定理 又是平行线的判定定理 例2如图7 4 2 AB DC 在AD上取一点E 过点E作EF AB交BC于点F 试说明EF与DC的位置关系 并说明理由 图7 4 2 解 EF DC 理由如下 因为AB DC EF AB 所以EF DC 混淆平行线的性质定理与判定定理 B 因为 1 2 已知 所以DE BC 同位角相等 两直线平行 C 因为 1 2 已知 所以DE BC 两直线平行 内错角相等 D 因为 CED C 180 已知 所以DE BC 同旁内角互补 两直线平行 例3在图7 4 3中 李伟同学作了四个推理 其中正确的是 A 因为DE BC 已知 所以 ADE ABC 同位角相等 两直线平行 图7 4 3 解析 由DE BC可得 ADE ABC 依据应是平行线的性质而非判定 所以A不符合题意 1与 2是内错角 而不是同位角 所以B不符合题意 由 1 2可得DE BC 依据应是平行线的判定而非性质 所以C不符合题意 只有D符合题意 故选D 从两角间的数量关系得到两直线平行 依据是平行线的判定 由平行关系得到角的相等或互补关系 依据是平行线的性质 本题中容易混淆平行线的判定与性质而误选A或C 题型一运用平行线的性质进行证明或计算 例4如图7 4 4 已知AB CD BD平分 ABC 交AC于点O CE平分 DCG ACE 90 证明 BD AC 图7 4 4 证明 因为AB CD 已知 所以 ABC DCG 两直线平行 同位角相等 因为BD平分 ABC CE平分 DCG 已知 所以 DBC ABC ECG DCG 角平分线的定义 所以 DBC ECG 等量代换 所以BD CE 同位角相等 两直线平行 所以 BOC ACE 两直线平行 内错角相等 又因为 ACE 90 已知 所以 BOC 90 等量代换 所以BD AC 垂直的定义 题型二平行线的性质和判定的综合运用 例5如图7 4 5 AD BC于点D EF BC于点F 3 C 则 1和 2有怎样的大小关系 请说明理由 图7 4 5 解 1 2 理由如下 因为AD BC EF BC 已知 所以 ADB EFB 90 所以AD EF 同位角相等 两直线平行 所以 1 4 两直线平行 同位角相等 又因为 3 C 已知 所以AC GD 同位角相等 两直线平行 所以 2 4 两直线平行 内错角相等 所以 1 2 题型三应用平行线的性质解决实际问题 例6如图7 4 6 C岛在A岛的北偏东50 方向 C岛在B岛的北偏西40 方向 则从C岛看A B两岛的视角 ACB等于多少度 图7 4 6 思路导图过点C作南北方向线 由题意知 NAC与 CBN 的度数 由平行线的性质定理 求得 ACB的度数 解 如图7 4 6 过点C作南北方向线CD 则CD AN CD BN 所以 ACD CAN BCD CBN 又因为C岛在A岛的北偏东50 方向 C岛在B岛的北偏西40 方向 所以 CAN 50 CBN 40 所以 ACD 50 BCD 40 所以 ACB ACD BCD 50 40 90 题型四平行线中的动态几何问题 1 PAC PBD APB之间有什么关系 请说明理由 2 若点P在C D两点的外侧运动 试探究 PAC PBD APB之间的关系又是如何 例7如图7 4 7 已知直线l1 l2 直线l3和直线l1 l2分别交于点C D 点A B分别位于直线l1 l2上 且在l3的左侧 在线段CD上有一点P 不与点C D重合 图7 4 7 解 1 APB PAC PBD 理由如下 如图7 4 8 1 过点P在 APB的内部作PE l1 则 PAC 1 又因为l1 l2 所以PE l2 所以 PBD 2 所以 APB 1 2 PAC PBD 1 2 3 图7 4 8 2 如图7 4 8 2 当点P在直线l3上且位于l1上方的部分运动时 过点P作PE l1 则 APE PAC 又因为l1 l2 所以PE l2 所以 BPE PBD 所以 APB BPE APE PBD PAC 如图7 4 8 3 当点P在直线l3上且位于l2下方的部分运动时 过点P作PE l2 则 BPE PBD 又因为l1 l2 所以PE l1 所以 APE PAC 所以 APB APE BPE PAC PBD 动态几何问题一直是中考数学的一类热门题型 这类题涉及的内容比较广泛 经常将代数与几何知识 数与形融合起来 具有比较强的综合性 在解答这类题型时 首先需要弄清的是在运动过程中几何图形的各个部分具体位置的变化情况 尤其是比较关键的点 线段 角等位置的变化 并在变化之中寻找不变的量 不变的关系 从而找到解题的突破口 解读中考 本节内容在中考中主要考查平行线的性质 其考查形式多种多样 可以单独命题 也可以贯穿于解答题之中 考点一平行线的性质的运用 例8 湖南常德中考 如图7 4 10 已知直线a b 1 100 则 2 A 80 B 60 C 100 D 70 图7 4 10 解析 1的对顶角与 2是同旁内角 已知 1 100 故 1的对顶角是100 由a b 可知 2与 1的对顶角的和等于180 所以 2 180 1的对顶角 180 100 80 故选A 考点二平行线的性质与判定的综合运用 例9 福建莆田中考 已知直线a b 一块直角三角板如图7 4 12放置 若 1 37 则 2 图7 4 12 图7 4 13 解析 如图7 4 13 作直线AB a 则 1 3 因为a b 所以AB b 所以 2 4 因为 3 4 90 所以 1 2 90 因为 1 37 所以 2 90 1 53 核心素养 例10阅读下列解题过程 如图7 4 14 已知AB CD B 35 D 32 求 BED的度数 图7 4 14 解 如图7 4 15 过点E作EF AB 则AB CD EF 平行的传递性 因为AB EF 所以 1 B 35 又因为CD EF 所以 2 D 32 所以 BED 1 2 35 32 67 图7 4 15 解答下列问题 图7 4 16是明明设计的智力拼图玩具的一部分 现在明明遇到两个问题 请你帮他解决 1 如图7 4 16 1 已知 D 30 ACD 65 为了保证AB DE 则 A为多少度 2 如图7 4 16 2 当 G F H 时