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怎样引导学生探究周长、面积、体积的计算方法曹培英（上海市静安区教育学院）周长、面积、体积的计算，是小学数学的重要学习内容，这部分内容的学习过程也是小学生对于图形的认识从定性观察、研究到定量观察、研究的跨越过程。一般来说，提出、解决数学问题的每一环节几乎都涉及到抽象、概括、归纳、演绎、分析、综合、推理等数学的思维活动，这就决定了数学的探究活动很大程度上表现为一种内隐的理性思维过程，属于头脑内的“暗箱操作”，本质上是一种“思想实验”。然而，周长、面积、体积计算方法的探究，却有着可物化、可外显、易操作的直观材料，从而能够发挥形象思维对于抽象思维的支撑作用，使得探究更容易实现。因此，周长、面积、体积计算方法的获得，特别适宜采用探究学习方式进行。这也是本次课改初期，这部分内容之所以成为各地教师展示课时首选内容的潜在原因之一。一、引导学生探究的若干策略1复习相关知识的策略以往的教材，在呈现新授内容前，常常安排一些复习题或者过渡题，加以铺垫。现在新编的教材，基本上不再出现新授前的复习、准备或过渡等内容。以致有教师问：是不是数学学科的课程改革不要课堂教学的复习过渡环节了？ 曹培英：什么是真正的用教材教.中国教育报2009年2月20日,第5版.教材直接以问题情境开始，有利于放大思维空间与探究空间，有利于让学生经历从现实情境中抽象出数学问题的过程，培养他们的问题意识。但是这样一来，就需要学生自己去联想解决问题所要用到的已学知识。如果学生自己联想有关知识有困难，或者出现了回生、遗忘现象；如果为了探究的有效展开，需要搭建“脚手架”，那么教师从实际出发，先行组织复习也是可取的。如何才能使复习收到预期的效果？较为成熟的教学策略：一是激活相关的知识，即根据由旧引新、以旧探新的需要，再现处于教学起点位置的已有知识，以及作为探究依据、工具的已有知识。二是分解难点，预作铺垫，即引导学生通过一个个预备问题的解决构建相应的认知结构, 以便于进入对中心问题的探究。三是力求简明，突出针对性，从而保证主要环节的教学时间。安排复习环节还必须注意：其一，不是所有内容都需要复习。例如探究平行四边形面积的计算方法，如果长方形面积的计算方法与平行四边形底、高的概念学生都比较熟悉，再现没有困难，那就不必复习，可以直接开门见山，引出探究主题。其二，过度的复习、铺垫容易使学生得到较多的暗示，客观上缩小了学生的探究空间，这是应该避免的。2面对适度困难的策略探究问题的设计、编制与探究要求的拟定、提出，必须遵循适度困难原则。所谓适度困难,是指既有挑战性，能够唤起学生探究欲望和探究热情；又有适切性，能使多数学生经过努力有所获，亦即我们常说的“跳一跳,够得着”。为此，相应的策略：一是在学生原有学习基础的最近发展区内设置问题，提出要求，使新的学习课题与原有知识的固着点之间保持适度的潜在距离。二是根据学生的不同认知水平，因人而异地提出操作问题及其要求。有时，还可将问题分解，形成有若干台阶的“问题链”，使问题的难易程度与学生的能力相匹配。例如，探究梯形面积公式，所提问题可以保持一定的认知距离，如：怎样转化成面积公式已知的图形？也可以点明转化方向，如：怎样拼成一个平行四边形？以缩短认知差距。类似地，对于梯形面积公式的得出，可以只提一个中心问题，如：怎样由已知的面积公式得出梯形面积公式？也可以分解成一串问题，如：平行四边形的底与梯形的上、下底有什么关系？平行四边形的高与梯形的高有什么关系？等等。此外，对于学有余力的学生还可以提出寻找多种转化、推导方式的要求。3探究活动组织的策略探究活动的组织形式主要有学生个体独立探究与学生小组合作探究两类。当然还应根据实际情况对探究活动的独立性、指导性、合作性的比重加以适当的调控。如果学生独立探究困难较大，可以加强指导，或组织合作。有时也可采取先合作讨论，共同操作，明确解决途径后再独立完成的方式展开探究活动，或者先独立思考，再小组交流，共同完成探究。探究活动的组织还包括为学生设计、提供具有典型性、结构性的实验操作材料。比如两张全等的三角形纸片与剪刀、画图工具，或者钉子板与两根不同颜色的橡皮筋等。实验材料设计的典型性是指，供学生操作的对象：应当便于得出较为一般的结论；应当避免误导学生得出以偏概全的结论。例如，探究三角形面积计算时，供学生操作的两张全等三角形纸片，以一般的三角形为宜。如果给出的纸片是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各两张，则应避免出现等腰三角形。否则容易使学生产生误解，如两张等腰的锐角三角形、钝角三角形纸片可以拼成一个菱形，两张等腰的直角三角形可以拼成一个正方形，等等。实验材料的结构性，包括材料的种类、组合以及使用的先后次序等。至于材料的准备，可由教师制作提供，尽可能使学生能够人人动手。学生能够自行准备的，则课前布置，使学生提前熟悉实验操作材料。4定向指导的策略探究活动的定向指导策略：一是要有明确的指导语，使学生知道“做什么”和“怎样做”。这对于任何程度的探究都是必要的。例如，让学生用两张全等三角形纸片，探究三角形面积计算方法的指导语，如果只说“转化为面积公式已知的图形”，则不少学生可能无从下手。有的教师再补充一句“你想怎样转化就怎样转化”，不但与事无补，反而可能产生误导。不如说清楚些：“可以只用一张三角形纸片割补，也可以用两张三角形纸片拼或割补，看谁能转化为面积公式已知的图形”。二是根据实际情况配以必要的启发、点拨，直至讲解或通过教具演示展现操作的程序及其内在逻辑性。有时，还可采取分步定向指导的策略，引导学生逐步完成探究，以求实效。从理论上讲，探究学习与接受学习没有泾渭分明的界线，更没有不可逾越的鸿沟，两种学习之间存在着一种渐变关系。如果从学习活动的几个基本要素看，则下表列举的学生学习行为变式，从左往右，探究的程度越来越低，接受的程度就越来越高： 美 国家研究理事会：美国国家科学教育标准.科学技术文献出版社1999年版，第30页.基本特征变式（学生的学习行为）提出问题自己提出问题选择问题，提出新问题深化明确现成问题投入现成问题收集数据确定证据并收集在指导下收集数据给出数据自己分析给出数据指导分析形成解释总结证据作出解释在指导下由证据作出解释提供由证据作出解释的方法提供实证联系知识考察资源解释联系指点途径寻找相关知识提供知识与解释的联系交流解释形成合理论点交流解释在交流过程中得到指导提供广泛指导改进交流提供交流步骤与程序较多学生的自我指导较少较少来自教师、教材的指导较多这就是说，小学数学所实施的大多是教师指导下的探究学习，教师介入的程度可以因具体情况而异。5语言表达促进探究、思维的策略在探究学习中，需要通过语言表达来调节、整理自己的思维活动，来陈述探究的成果。因此，应当充分让学生描述探究的过程和结果，表达自己的想法和认识，暴露自己的真实思维过程，从中也能让教师了解学生探究的成效与问题。这方面的策略：一是把点名发言、小组交流和同桌两人对讲等不同方式结合起来，尽可能使学生都有表达的机会。二是通过倾听学生的表达，发现学生探究、思维过程中的闪光点与存在问题，给予肯定、纠正或提示，防止那些有探索价值的问题无形中“溜走”。同时，注意组织学生认真听取同学的叙述，参与评价。以免表面“热闹”，实际上只有教师听懂了个别学生的发言，其他学生只是陪客。A仍以探究三角形面积计算为例，有同学沿着三角形的一条中位线把三角形剪开，拼成了一个平行四边形，但在交流时却常常说成“把三角形上下对折剪开”。这时教师就应该加以启发，如：“怎样折”，“折痕的两端在三角形两边的什么位置上”，“剪开后怎样拼”（以A为中心，旋转180），并在黑板上配以图示： 图1三是有意识地鼓励、帮助学习有困难的学生发言，促进和推动他们积极思考，逐步提高语言表达能力。二、周长计算方法的探究过去，直线形的周长，仅限于长方形与正方形。教学时，通常先在学生理解了周长概念的基础上让他们用不同的方法求长方形的周长，然后由长方形周长计算引出正方形周长计算。比如，在巩固长方形周长计算的练习中，插入一个给出两条边长的正方形，不加提醒让学生计算。可能有学生仍用求长方形周长的方法，或者在列出算式后发觉可以简便运算，通过交流，形成共识：求正方形周长，用边长乘以4计算更简便。也有教师由特殊入手，先让学生说出正方形周长的计算方法，再拓展到一般的长方形。现在，比较强调周长概念的一般化，因此，建立周长概念时，已不再局限于直线形。在此基础上不妨出示如下图形，先让学生互相指出每个图形的周长，然后大胆放手，由学生每人选择两个图形，自己量出所需边长，并计算周长。图2接下去，可以组织学生交流，教师根据学生的回答，把各图形的周长算式加以分类板书，以便于小结：各边不等时用连加计算；各边相等时用边长乘边数；对边相等时用邻边之和乘以2。这样，周长的概念和计算周长的思路都更一般化了，有利于学习的迁移和灵活应用。实践表明，在这些图形里，部分学生感到困难的，还是长方形与平行四边形。对此，根据小学生的思维特点，可以指导他们用小棒摆出长方形或画出长方形，明确要求的周长是那几条边组成的，这四条边可以分成几组。引导他们对照图形，说出每个算式各部分的实际意义，以增进理解。例如： 分成两条长、两条宽 分成两组长和宽5533 （53）25232图3至于圆周长的教学，通常都由实验引出圆周率的概念，然后由圆周率的含义导出圆周长公式。还可以让学生用绳子量出圆的直径，取直径的3倍多一点，用来围圆，看看是否正好一周，以增强对圆周长公式的确信感。这里，可以结合教学内容，介绍我国古代数学家刘徽、祖冲之在计算圆周率上的成就。三、面积计算方法的探究长方形面积计算公式是导出其他平面几何图形面积公式的基础，要使学生理解长方形面积公式的导出过程。教学过程一般大同小异，其共同点是：先由直接度量（放置面积单位或数方格）引入间接度量；然后分析长方形的长、宽与长方形所含面积单位个数的关系，概括出面积公式。即长是几厘米，说明一行恰好摆下几个1平方厘米的面积单位；宽是几厘米，说明恰好能摆下几行这样的面积单位。所以长方形所含面积单位数正好等于长和宽的乘积。通常，教师总是给出一个表，以及几个长方形或让学生自己用小正方形拼长方形，然后填表。这里，有两点可以改进。其一，这个表是怎么想到的？例如，提供两组长方形，一组长相等，另一组宽相等，让学生观察、比较，得出长方形面积是由它的长和宽决定的。从而想到探究长、宽与面积的关系。其二，怎样由学生自己通过直接度量发现间接度量的方法？例如，让学生交流各自的方法，教师予以适当的展示： 数一共含多少 数长、宽摆下 量长、宽个面积单位 几个面积单位 图4正方形的面积公式，可引导学生自己从长方形面积公式中直接推出。或者在求长方形面积的练习中插入一个正方形，不作提示，由学生自行解决。然后通过交流，概括出正方形面积公式。平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式，则教材安排在越后面的，转化为已知的途径也就越多。例如：平行四边形转化为长方形图5三角形既可以转化为长方形，也可以转化为平行四边形（A、B为该边上的中点）A BA BA A B用一个三角形割补 用两个全等三角形拼补 图6教学时，可以先复习已学的图形面积计算公式，作为探究的基础、支架。然后提出学习课题，使学生明确探究的目标是找到新学图形的面积计算公式，探究的方向是把该面积公式未知的图形转化为前面学过的面积公式已知的图形，即实现未知向已知的转化。需要时，还可以启发学生明确转化的途径，无非两条：一条是把一个该图形，通过割补或划分，转化为面积公式已知的图形；另一条是把两个该图形，通过拼补，或把其中一个图形分割后再拼补，成为面积公式已知的图形。在明确了探究思路的基础上，放手让学生去探究。也可以先不作启发、提示，让学生尝试探究、交流，最后进行探究结果、探究目标、探究方向和转化途径的小结，使学生不断地积累、丰富这方面的探究经验。圆面积公式的导出，过去主要依靠教师演示，现在则经常有教师组织学生探究。教师演示时，可以把圆逐步分割成8等份、16等份、32等份，分别进行实验，使学生通过观察感悟到等分的份数越多，上下两边越接近于直线，拼成的图形就越接近于长方形，通过演示，渗透以直代曲、逐步逼近思想，帮助学生增强确信感。分析拼成的图形面积与圆面积之间的关系时，应先明确它们的面积是相等的。再分析转化后的图形，如近似长方形的长、宽同圆的周长、半径有什么关系。经验告诉我们，“化圆为方”对小学生具有很大的吸引力，但他们往往将注意力集中在图形的变换上，对割补后长方形的长是圆周长的一半这一关系，则常常视而不见。出现这种情况时，教师可以把长方形恢复成圆，再次演示，并提醒学生注意长方形的长是圆的哪一部分。如果组织学生探究，通常是由教师提供操作材料，如把圆分割成16个全等扇形，学生可能将这些扇形拼成一个近似的平行四边形、三角形或梯形，当把其中一个扇形等分成两份时，则可以拼成一个近似的长方形。这些等积转化方式，都有可能导出圆的面积公式。当然，也可以尝试让小学生自己想到把圆分割成若干个全等扇形，不过比较困难。四、表面积计算方法的探究在小学数学中，习惯上将面积描述为“物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。”但在首次引进面积概念时，学生较难理解“物体表面的大小”。从实际教学情况看，往往是让学生摸摸课桌面、看看黑板面就算是认识了“物体表面的大小”，事实上只是感知了物体表面一部分的大小，并不是物体整个表面大小的全部。鉴此，笔者曾尝试将各种不同形状的药品盒放入袋中，让学生凭感觉摸出整个表面最大、最小的盒子。其中有的盒子某两个面较大，但整个表面并非最大。这样的设计，理论上比较符合“物体表面”的涵义，实践也表明学生的触觉判断大多比较准确，但由于首次教学面积概念，这个环节没有时间展开，因此学生对于 “物体表面大小”的认识，仍然处于笼统、模糊、粗略的水平。换句话说，无论是面积概念还是面积计算，都需要经历从平面到立体的两个认识阶段。基于以上实践与分析，教学长方体表面积时，有必要首先使学生明确什么是长方体的表面积，然后再探究解决长方体表面积的计算问题。教学时，通常先复习长方体和正方体的特征，有几个面，相对面的面积有什么关系，然后引出长方体表面积的概念，明确长方体的表面积就是六个面的面积之和。进而可以对照长方体的模型、直观图和表面展开图，让学生通过独立思考、探究、交流，明确只要运用长方形面积公式求出三个不同的面的面积，就能最终求出长方体的表面积。学生掌握长方体表面积计算的关键，在于理解长方体的长、宽、高与各个面长、宽之间的关系，形成正确的表象，这是正确计算长方体表面积的重要基础。可以将手工制作与学数学结合起来。比如，让学生量一量、画一画、剪一剪，用硬纸制作模型，使学生在实践活动中进一步掌握长方体、正方体的特征，形成长方体、正方体表面展开图的表象。这不仅对掌握长方体、正方体表面积的计算有帮助，也有利于发展学生的空间观念。对于空间观念较差的学生，可以先让他们看着长方体实物、模型说出每个面的面积分别是哪两个量的积，然后看着长方体直观图说。以后再通过练习，逐步做到根据给出的长、宽、高，就能想象出各个面的长与宽。应当允许学生根据长方体表面积的概念，列出不同的算式求长方体的表面积。通过比较，对不同的算法作出评价，但不必强求统一认识，也可以不出计算公式。因为这一知识的实际应用，常常并非求六个面的面积之和，与其套公式，不如根据实际情况进行计算。正方体的表面积，可以让学生根据表面积的意义和正方体的特征直接推出计算方法。也可以在看图求长方体表面积的练习中，插入一个正方体，教师不作提示，由学生自己计算。然后通过交流，确认合理算法。圆柱体表面积计算的探究，通常是先解决圆柱侧面积的计算问题，再解决圆柱表面积计算的问题。理由是圆面积计算是学生已有的知识，所以学习圆柱表面积的计算，首先应当学会计算圆柱的侧面积。实际上，基于同样的理由，也可以转变教学思路，先让学生自行观察、思考，首先明确圆柱表面积的计算步骤，再探究圆柱侧面积的计算方法，然后自行解决圆柱表面积计算的问题。掌握圆柱表面积计算的关键，一是明白圆柱表面展开图的构成，明确圆柱表面积是侧面积与两个底面积的和，二是弄清侧面展开图的长、宽与圆柱底面周长、高的关系。教学时，可以通过演示，对照模型与展开图，让学生看“懂”。更好的教学处理是让学生人人动手，画、剪圆柱表面的展开图，再将展开图围成圆柱，从而自行搞清圆柱展开图的各部分与圆柱体各部分之间的对应关系。五、体积计算方法的探究体积计算方法的探究与面积计算方法的探究有许多相似、相通之处。例如，通过用体积单位的小立方体摆长方体的实验，概括出长方体体积公式；由长方体体积公式导出正方体体积公式；将圆柱体割补成长方体。诸如此类，都与相应的面积计算有着深刻的联系。因此，教学时，应当充分利用已有的知识基础与学习经验，促进学习的迁移。例如，探究长方体体积计算方法，可以先让学生由长方形面积大小是由长与宽决定的，类比、猜想长方体体积大小是由什么决定的？然后再让学生用1立方厘米的正方体学具摆长方体，从而使学生比较自觉地联系长方体的长、宽、高各是多少厘米，发现长宽高的积正好跟