概率统计 Ch2.ppt

1 第二章随机变量及其分布 1随机变量 2离散型随机变量 3随机变量的分布函数 4连续型随机变量 5随机变量函数的分布 2 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 1 随机变量 3 1 有些试验结果本身与数值有关 因此可用一个变量来表示试验的各种结果 例如 抛一颗骰子出现的点数 七月份江苏的最高温度 某天从南京站下火车的人数 任取10个产品中的次品数 4 2 在有些试验中 试验结果与数值无关 但可以把试验结果数值化 即引进一个变量来表示试验的各种结果 如 抛一枚硬币 出现正 反面用1 0表示 班上任选一名同学可以用其学号表示 飞船返回地球的落点位置可以用坐标或经纬度表示 第二章随机变量及其概率分布 1随机变量 5 我们可以把 中的每个样本点e与一个实数X e 相对应 X e 可看成e的实值函数 称这种定义在样本空间上的实值函数X e 为随机变量 简记为r v randomvariable 不强调样本点时 X e 简记为X 6 1 它随试验结果的不同而取不同的值 因而取值具有随机性 在试验之前只知道它可能取值的范围 而不能预先确定取哪个值 2 由于试验结果的出现具有一定的概率 于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 随机变量的特点 随机变量在某个范围的取值表示随机事件 7 第二章随机变量及其概率分布 1随机变量 例 抛一颗骰子 令X 出现的点数 则X就是一个随机变量 表示点数不超过4这一随机事件 表示点数为偶数这一随机事件 X的取值为1 2 3 4 5 6 例 掷一枚硬币 令 则X是一个随机变量 8 例 观察某电子元件的寿命 单位 小时 令Z 该电子元件的寿命 则Z就是一个随机变量 它的取值为所有非负实数 表示该电子元件的寿命大于1000小时这一随机事件 表示该电子元件的寿命不超过500小时这一随机事件 注意 Z取值无穷多个且Z可取某个区间的所有值 第二章随机变量及其概率分布 1随机变量 9 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 可以使用更多的数学工具 10 随机变量的分类 通常分为两类 如 取到次品的个数 打n枪命中k枪 等 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有可能取值可以一一列举 例如 元件的寿命 到达车站的时刻 等 所有取值不可一一列举 可以取一个区间内的所有值 11 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 2 离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量的分布律与性质 常用离散型随机变量 12 一 离散型随机变量的分布律与性质 1 离散型随机变量的定义 如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个 则称X为离散型随机变量 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 13 2 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的所有可能取值为 并设 则称上式或 为离散型随机变量X的分布律 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 14 3 离散型随机变量分布律的性质 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 15 例2 设随机变量X的分布律为 解 由分布律的性质 得 该级数为等比级数 故有 所以 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 16 例 某篮球运动员投篮命中的概率为0 9 求他两次独立投篮命中次数X的概率分布 解 X可取0 1 2为值 P X 0 0 1 0 1 0 01 P X 2 0 9 0 9 0 81 且P X 0 P X 1 P X 2 1 17 表示为 这就是X的概率分布 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 18 例2 从1 10这10个数字中随机取出5个数字 令X 取出的5个数字中的最大值 试求X的分布律 具体写出 即可得X的分布律 解 X的可能取值为 5 6 7 8 9 10 并且 求分布率一定要说明k的取值范围 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 19 例 某射手向目标连续射击 直到命中为止 设他的命中率是p 求命中时所射枪数X的概率分布 解 X可能取的值是1 2 计算P X k P X 1 P A1 p Ak 第k枪命中 k 1 2 设 于是 可见 这就是求所射枪数X的概率分布 20 则称X服从几何分布 不难验证 若随机变量X的概率分布律为 21 一 0 1分布或两点分布 如果随机试验E只有两个结果 则称E为贝努里试验 二 常用离散型随机变量 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 22 则X的分布律为 两点分布 X取值x1 x2 X的分布律 23 二 二项分布 如果随机变量X的分布律为 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 2 1 分布律的验证 24 设n重贝努里试验中A发生的次数为X 则X服从二项分布 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 二项分布概率背景 X服从0 1分布 记为X B 1 p 当n 1时 所以 0 1分布是二项分布的特例 25 例3已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 解 因为这是有放回地取3次 因此这3次试验的条件完全相同且独立 它是贝努里试验 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 26 注 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各次试验条件就不同了 不是贝努里概型 此时 只能用古典概型求解 超几何分布 27 例 一张考卷上有10道单项选择题 每道题有5个可选答案 只有一个正确 某学生随机选择 至少答对8道题的概率是多少 则答10道题相当于做10重贝努里试验 解 每答一道题相当于做一次贝努里试验 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 28 所以 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 问题 随机选择 答对多少题的概率最大 29 30 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随k单调增加达到最大值 随后单调减少 二项分布X B n p 的图形特点 讨论k取何值时Pn k 达到最大值 31 x 表示不超过x的最大整数 32 记住 二项分布大约在X np附近达到概率最大值 33 34 例 对同一目标进行300次独立射击 设每次射击命中率为0 44 试求300次射击最可能命中几次 其相应的概率是多少 则由题意 解 对目标进行300次射击相当于做300重贝努里试验 令 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 35 因此 最可能射击的命中次数为 其相应的概率为 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 36 例 药效试验 设鸭子感染某传染病的概率为0 2 现有两种动物疫苗 疫苗A注射9只鸭子后无一只感染 疫苗B注射25只鸭子仅有1只感染 试估计哪种疫苗较为有效 解 若疫苗A无效 则鸭子受感染概率仍为0 2 9只鸭子无一只受感染概率为 同理 若疫苗B完全无效 则25只鸭子至多有1只受感染的概率为 0 0247很小 且远比0 1342小 所以B更为有效 37 例 设有颜色味觉相似的A B两种酒各4杯 若从中挑4杯能将A酒全部挑出 算作成功1次 1 某人随机去猜 求他试验成功1次的概率p 2 某人声称通过品尝可区分这两种酒 他连续试验10次成功3次 问他有区分能力吗 解 1 2 若随机去猜 试验10次相当于10重贝努里试验 设X为成功次数 则X B 10 1 70 猜中的概率非常小 几乎不可能猜中 所以他确有区分能力 38 三 泊松 Poisson 分布 如果随机变量X的分布律为 则称随机变量X服从参数 的泊松分布 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 记为X P 39 分布律的验证 由于 可知对任意的自然数k 有 又由幂级数的展开式 可知 所以 是分布律 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 40 泊松分布的应用 泊松分布是概率的重要分布之一 用于描述大量试验中稀有事件出现次数的概率模型 例如 电话在某一时间段收到的呼叫次数 放射物在某一时间间隔内放射的粒子数 容器在某一时间间隔内产生的细菌数 某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 参数 的概率意义 事件的平均发生次数 41 V2飞弹打伦敦弹着点分布 二战期间 德国从本土向伦敦发射V2飞弹 统计表明弹着点遵循泊松分布 伦敦共受533发飞弹袭击 将伦敦分为N 325个区域 因而平均每个区中弹数 533 325 1 64 设fk表示中k发飞弹的区域数 计算中k发飞弹区域的发生频率fk N 设X表示一个区域的落弹数 计算 1 64的泊松分布的概率P X k 列表如下 42 43 621068845177 0 1910 3260 2710 1380 0520 022 0 1940 3180 2610 1430 0590 025 44 例 设随机变量X服从参数为 的泊松分布 且已知 解 X的分布律为 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 得方程 45 例 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 46 解 设B 此人在一年中得3次感冒 则由Bayes公式 得 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 47 泊松近似的应用 由Poisson定理 可知 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 48 例 设每次射击命中目标的概率为0 012 现射击600次 求至少命中3次目标的概率 用Poisson分布近似计算 解 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 49 四 几何分布 若随机变量X的分布律为 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 记为X g p 50 分布律的验证 由条件 由条件可知 综上所述 可知 是一分布律 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 51 几何分布的概率背景 在贝努里试验中 试验进行到A首次出现为止 即 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 52 例设每次射击时的命中率为0 64 对同一目标连续射击 直到击中为止 令X 所需射击次数 试求随机变量X的分布律 并求至少3次射击才能击中目标的概率 解 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 53 几何分布的无记忆性 54 五 超几何分布 如果随机变量X的分布律为 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 记为X H n N M 55 超几何分布的概率背景 一批产品有N件 其中有M件次品 其余N M件为正品 现从中取出n件 令X 取出n件产品中的次品数 则X的分布律为 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 56 思考题 若每蚕产个卵的概率服从泊松分布 参数为 而每个卵变为成虫的概率为 且各卵是否变成成虫彼此间没有关系 求每个蚕养出k只小蚕的概率 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 57 本节小结 1 离散型随机变量的分布律及其性质2 两点分布 二项分布 泊松分布 几何分布 要求 1 掌握分布律的性质2 熟练运用0 1分布 二项分布 泊松分布 几何分布这几个分布模型解决实际问题 特别是二项分布 第二章随机变量及其分布 2 离散型随机变量 58 随机变量的取值表示随机事件 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 如 X 3 X 0 X 5等等都表示随机事件 对某个实数x X x可以表示随机事件 其概率P X x 与实数x有关 对每个实数x 都唯一有概率值P X x 与之对应 从而构成函数关系 记为F x P X x 59 1 概念 定义设X是一个随机变量 x是任意实数 函数 称为X的分布函数 对于任意的实数x1 x2 x1 x2 有 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 60 例 设随机变量X的分布律为 求X的分布函数 解 当x 1时 满足 2 例子 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 61 当 满足X x的X取值为X 1 x X 1 x 当 满足X x的X取值为X 1 或2 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 62 同理当 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 63 10123x 1 64 10123x 1 分布函数F x 在x xk k 1 2 处有跳跃 其跳跃值为pk P X xk Xpk 123 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 65 分布律与分布函数 66 67 68 例 一个靶子是半径为2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 试求随机变量X的分布函数 解 1 若x 0 则是不可能事件 于是 2 X 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 69 3 若 则是必然事件 于是 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 70 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 71 3 分布函数的性质 分布函数F x P X x 具有以下性质 1 F x 是单调不减函数 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 证明 72 2 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 说明 73 3 10123x 任一随机变量的分布函数必满足以上三性质 反之 任一具有以上三性质的函数必定是某个随机变量的分布函数 74 用分布函数F x 计算某些事件的概率 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 75 例 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 76 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 77 例 设随机变量X的分布函数为 解 由分布函数的性质 我们有 第二章随机变量及其分布 3 随机变量的分布函数 解方程组得 78 79 第二章随机变量及其分布 1随机变量 2离散型随机变量 3随机变量的分布函数 4连续型随机变量 5随机变量函数的分布 80 元件寿命 到达时刻等随机变量的取值可以是某个区间内的一切实数 这样的随机变量属于连续型随机变量 4连续型随机变量 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 81 p x 基本性质 证明 2 一 连续型随机变量 1 定义 82 83 连续型随机变量F x p x 性质 1 F x 是连续函数 证 p x 可积 则连续 证明 84 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 1 x 0 说明 p x 85 3 连续型随机变量X在一点a取值的概率等于0 证 由此可得 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 86 设X为连续型随机变量 X a是不可能事件 则有 若X为离散型随机变量 注意 连续型 离散型 87 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 证 p x 连续 则F x 可导 88 解 例1 89 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 90 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 91 二 常见连续型随机变量的分布 1 均匀分布 概率密度函数图形 92 分布函数 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 93 例3设随机变量X在 2 5 上服从均匀分布 现对X进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于3的概率 X的分布密度函数为 设A表示 对X的观测值大于3 解 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 94 因而 设Y表示3次观测中X 3的次数 则 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 95 2 指数分布 96 某些元件或设备的寿命服从指数分布 例如无线电元件的寿命 电力设备的寿命 动物的寿命等都服从指数分布 应用与背景 分布函数 参数 概率意义 若X为寿命 则1 是X平均寿命 97 例4设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为 1 2000的指数分布 单位 小时 1 任取一只这种灯管 求能正常使用1000小时以上的概率 2 有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上 求还能使用1000小时以上的概率 X的分布函数为 解 98 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 指数分布的重要性质 无记忆性 99 指数分布的无记忆性 X E 100 指数分布的无记忆性 X E 101 3 正态分布 p x 102 正态概率密度函数的几何特征 p x 103 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 104 p x 105 正态分布的分布函数 106 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如测量误差 人的身高 体重等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量等都近似服从正态分布 正态分布的应用与背景 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 107 正态分布下的概率计算 原函数不是初等函数 方法 转化为标准正态分布查表计算 108 标准正态分布的密度函数记为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数记为 x 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 109 标准正态分布的图形 密度函数 分布函数 110 证明 111 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 标准正态分布表 x 112 标准正态分布的上 分位点u 设X N 0 1 0 1 称满足 的点u 为X的上 分位点 z 常用数据 注意 u 1 113 解 例 一般正态分布 如何求概率 第二章随机变量及其概率分布 4连续型随机变量 114 证明 115 计算一般正态分布的概率 116 3原理 同样可求 X的取值几乎全部集中在区间内 超出这个范围的可能性小于0 3 117 X N 0 1 3 原理 118 例如 某地成年男子身高 cm X N 172 82 则有68 26 的成年男子身高介于164 180cm 有95 44 的成年男子身高介于156 188cm 有99 74 的成年男子身高介于148 196cm 119 例 假设某地区成年男性的身高 cm X N 170 7 692 1 求该地区成年男性的身高超过175cm的概率 解 1 X N 170 7 692 则 P X 175 0 2578 120 解 2 设车门高度为hcm 按设计要求 P X h 0 01 或P X h 0 99 2 公交车车门高度是按成年男性与车门碰头机会小于1 来设计的 问车门高度应如何确定 故P X h 查表得 2 33 0 9901 0 99 即h 188cm 121 问题 2011年大学英语六级考试的624分 在全体考生中处于什么百分比位置 英语六级考的报道分为标准分 设计成满足均值500 标准差70的正态分布 122 624分的百分位次应这样计算 X N 500 702 设Y X 500 70 则Y N 0 1 即分数 624的考生占考生总数的3 84 因此624分应该位于前3 84 123 第二章随机变量及其分布 1随机变量 2离散型随机变量 3随机变量的分布函数 4连续型随机变量 5随机变量函数的分布 124 随机变量的函数 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 125 一 离散型随机变量的函数 设X是离散型随机变量 其分布律为 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 设Y g X 则Y也是离散型随机变量 Y的取值为 126 第一种情形 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 127 第二种情形 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 合并 128 例 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 X取值 2 0 3 129 设随机变量X的分布律为 求Y X 1 2的分布律 解 例 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 注意P Y 1 P X 0 P X 2 0 3 0 4 0 7 得Y的分布律为 130 例 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 Y的可能取值范围是 1 0 1 131 132 133 二 连续型随机变量函数的分布 求法1 分布函数法 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 134 设随机变量X具有概率密度 试求Y X 4的概率密度 解 1 先求Y X 4的分布函数FY y 例 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 X的可能取值 0 1 Y X 4的可能取值 4 3 135 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 136 证明 137 138 139 定理 若X的分布函数F x 严格单调增加 则随机变量Y F x 服从 0 1 上的均匀分布 140 设随机变量X具有概率密度 求Y X 的概率密度 解 1 先求Y X 的分布函数FY y 例 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 141 例如 设X N 0 1 其概率密度为 则Y X 的概率密度为 第二章随机变量及其分布 5随机变量的函数的分布 142 例 已知X N 0