模糊集的基本运算.ppt

第二章模糊集的基本运算 一 模糊集的表示方法 模糊集合是论域X到 0 1 的映射 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法 除此以外 还有以下的表示方法 1 序偶表示法A x A x x X 例如 用集合X x1 x2 x3 x4 表示某学生宿舍中的四位男同学 帅哥 是一个模糊的概念 经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度 帅度 做的评价依次为 0 55 0 78 0 91 0 56 则以此评价构成的模糊集合A记为 A x1 0 55 x2 0 78 x3 0 91 x4 0 56 2 向量表示法当论域X x1 x2 xn 时 X上的模糊集A可表示为向量A A x1 A x2 A xn 模糊集 帅哥 A可记为 A 0 55 0 78 0 91 0 56 向量的每个分量都在0与1之间 称之为模糊向量 3 Zadeh表示法当论域为有限集 x1 x2 xn 时 模糊集合可表示为A A x1 x1 A x2 x2 A xn xn 注意 这里仅仅是借用了算术符号 和 并不表示分数和运算 而只是描述A中有哪些元素 以及各个元素的隶属度值 对于任意论域X中的模糊集合A可记为 模糊集 年轻 A可表示为 注意 当论域明确的情况下 在序偶和Zadeh表示法中 隶属度为0的项可以不写出 而在向量表示法中 应该写出全部分量 例如 论域X为1到10的所有正整数 模糊集 近似于5 A可表示为 或 或 二 典型的隶属函数 构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础 一种基本的构造隶属函数的方法是 参考函数法 即参考一些典型的隶属函数 通过选择适当的参数 或通过拟合 整合 实验等手段得到需要的隶属函数 下面介绍典型隶属函数 1 偏小型降半矩形分布 降半 形分布 降半正态分布 降半柯西分布 降半梯形分布 降岭形分布 2 偏大型升半矩形分布 升半 形分布 升半正态分布 升半柯西分布 升半梯形分布 升岭形分布 年轻 模糊集合的隶属函数为降半柯西分布 其中取a 1 5 b 25 c 2 年老 模糊集合的隶属函数为升半柯西分布 其中取a 1 5 b 50 c 2 3 中间型 对称型 矩形分布 尖 形分布 正态分布 柯西分布 梯形分布 岭形分布 三 模糊集上的运算 几点说明经典集合可用特征函数完全刻画 因而经典集合可看成模糊集的特例 即隶属函数只取0 1两个值的模糊集 设X为非空论域 X上的全体模糊集记作F X 于是 P X F X 这里P X 为X的幂集 即X的全体子集构成的集合 特别地 空集 的隶属函数恒为0 全集X的隶属函数恒为1 即 X都是X上的模糊集 2 模糊集的包含关系设X为非空论域 A B为X上的两个经典集合 A B当且仅当属于A的元素都属于B 易证A B当且仅当对任意x X有CA x CB x 定义设X为非空论域 A B为X上的两个模糊集合 称A包含于B 记作A B 如果对任意x X有A x B x 这时也称A为B的子集 例论域X x1 x2 x3 x4 时 X上的模糊集A为 A 0 55 0 78 0 91 0 56 X上的模糊集B为 B 0 35 0 52 0 65 0 37 则根据定义有B A 帅哥 超男 定义论域X上的模糊集A与B称为是相等的 如果A B且B A 即对任意x X有A x B x 3 模糊集的并设X为非空论域 A B为X上的两个经典集合 A B x X x A或x B 易证CA B x max CA x CB x CA x CB x 定义设X为非空论域 A B为X上的两个模糊集合 A与B的并 记作A B 是X上的一个模糊集 其隶属函数为 A B x max A x B x A x B x x X A B x 4 模糊集的交定义非空论域X上的两个模糊集合A与B的交 记作A B 是X上的一个模糊集 其隶属函数为 A B x min A x B x A x B x x X A B x 5 模糊集的补定义非空论域X上的一个模糊集合A的补 记作A 或AC X上的一个模糊集 其隶属函数为A x 1 A x x X 注 两个模糊集的并 交运算可以推广到一般情形 即对任意指标集I 若Ai是X上的模糊集 i I 则模糊集的 任意 并 任意 交定义为 例设论域X x1 x2 x3 x4 为一个4人集合 X上的模糊集合A表示 高个子 A x1 0 6 x2 0 5 x3 1 x4 0 4 模糊集合B表示 胖子 B x1 0 5 x2 0 6 x3 0 3 x4 0 4 则模糊集合 高或胖 为 A B x1 0 6 0 5 x2 0 5 0 6 x3 1 0 3 x4 0 4 0 4 x1 0 6 x2 0 6 x3 1 x4 0 4 模糊集合 又高又胖 为 A B x1 0 5 x2 0 5 x3 0 3 x4 0 4 模糊集合 个子不高 为 A x1 0 4 x2 0 5 x3 0 x4 0 6 四 模糊集的运算性质 1 经典集合的运算性质经典集合关于并 交 补运算具有以下性质 设X为论域 A B C为X上的经典集合 则 1 幂等律 A A A A A A 2 交换律 A B B A A B B A 3 结合律 A B C A B C A B C A B C 4 吸收律 A A B A A A B A 5 分配律 A B C A B A C A B C A B A C 6 对合律 复原律 A A 7 两极律 同一律 A X A A X X A A A 8 DeMorgan对偶律 A B A B A B A B 9 排中律 互补律 A A X A A 注 满足上述前四条规律的代数系统称为格 可诱导出一个序A B A B A A B B 满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数 Booleanalgebra 即 有补的有界分配格 2 模糊集合的运算性质定理设X为论域 A B C为X上的模糊集合 则 1 幂等律 A A A A A A 2 交换律 A B B A A B B A 3 结合律 A B C A B C A B C A B C 4 吸收律 A A B A A A B A 5 分配律 A B C A B A C A B C A B A C 6 对合律 复原律 A A 7 两极律 同一律 A X A A X X A A A 8 DeMorgan对偶律 A B A B A B A B 证明DeMorgan对偶律 对任意x X 由于 A B x 1 A B x 1 A x B x 1 A x 1 B x A x B x A B x 所以 A B A B 同理可证 A B A B 注 模糊集中互补律不成立 参见下面的反例 满足以上8条性质的代数系统称为DeMargan代数 也称为软代数 softalgebra 反例设论域X a b 上的模糊集A a 0 6 b 0 3 则A a 0 4 b 0 7 从而A A a 0 6 b 0 7 X A A a 0 4 b 0 3 五 L型模糊集 本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上 并研究这类广义模糊集合及其性质 1 偏序集与格定义称 P 为偏序集 若P上的二元关系 满足以下三个条件 1 自反性 a P a a 2 反对称性 a b且b a a b 3 传递性 a b且b c a c 对于偏序集 P 如果对于任意a b P总有a b或b a成立 则称P为线性序集或全序集 设 P 为偏序集 若存在a P使得对任意b P都有a b 则称a为P的最小元 若存在a P使得对任意b P都有b a 则称a为P的最大元 易知 如果偏序集有最小元或最大元 则最小元或最大元是惟一的 为此 记0为最小元素 1为最大元素 设 P 为偏序集 X P 若存在a P使得对任意x X都有x a 则称a为X的上界 如果X的上界集合有最小元素 则称它为X的最小上界或上确界 记为supX或 X 对偶地 可以定义下界 最大下界或下确界 记为infX或 X 定义偏序集 L 称为格 如果 a b P 上确界a b与下确界a b都存在 任意子集都有上 下确界的格称为完备格 上 下确界运算满足分配律的格称为分配格 这里分配律指有限分配律 定理设 L 为格 则上 下确界运算满足 1 幂等律 a a a a a a 2 交换律 a b b a a b b a 3 结合律 a b c a b c a b c a b c 4 吸收律 a a b a a a b a 定理设代数系统 L 中的二元运算 满足 幂等律 a a a a a a 交换律 a b b a a b b a 结合律 a b c a b c a b c a b c 吸收律 a a b a a a b a 则 1 a b a a b b 2 在L中定义二元关系 如下a b a b a 那么 L 是格 且 是这个格 L 的上 下确界运算 2 Boole代数与DeMorgan代数定义设L是有界分配格 0 1分别是其最大元和最小元 对任意a L 若存在a L使得a a 1 a a 0 则称L为布尔代数 定义设P是偏序集 h P P是映射 如果当a b时恒有h a h b 则称h为保序映射 如果当a b时恒有h b h a 则称h为逆序映射 如果逆序映射h满足对合律h h a a 则h称为逆序对合对应或逆合映射 也称h为伪补 定义设L是有界分配格 h L L是L上的一元运算且满足 1 h h a a 2 h a b h a h b h a b h a h b 则称L为DeMorgan代数 易知DeMorgan代数中h是逆合映射 设X为非空集合 则幂集格 P X c 为布尔代数 而X上的模糊集全体构成的格 F X c 为DeMorgan代数 布尔代数是DeMorgan代数 反之不真 3 L型模糊集及其运算定义设X为论域 经典集合 L是一个有逆合映射 伪补 h的格 则映射A X L称为集合X上的L型模糊集合 记FL X A A X L为L型模糊集合 设A B FL X 若 x X有A x B x 则称A含于B 记为A B 易知 FL X 为偏序集 可分别定义并 交 补如下 A B x A x B x A B x A x B x Ac x h A x 容易验证 如果L是分配格 完备格 则FL X 也是分配格 完备格 如果L是DeMorgan代数 则FL X 也DeMor