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变化率与导数 现有温州市某年3月和4月某天日最高气温记载 观察 3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化 用曲线图表示为 注 3月18日为第一天 引例 问题1 从3月18日到4月18日气温上升了多少度 问题2 从4月18日到4月20日气温上升了多少度 问题3 从3月18日到4月18日气温平均每天变化了多少度 问题4 从4月18日到4月20日气温平均每天变化了多少度 这就是气温的平均变化率 4 我们用比值表示 32 34 上的气温平均变化率 3 我们用比值表示 1 32 上的气温平均变化率 从以上的例子中 我们可以了解到 平均变化率是指在某个区间内数值的平均变化量 对于函数y f x 有 平均变化率 令 增量 平均变化率 例题 求函数在区间上的平均变化率 并求当时 平均变化率的值 练习 设函数y f x 当自变量x由改变到时 函数的改变量为 A B C D 一质点运动的方程为 则在一段时间内相应的平均速度为 A B C D 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O A B x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线AB的斜率 平均变化率的几何意义 什么叫瞬时变化率 瞬时变化率 即是时间增量趋近于0时某一时刻的变化率 由极限的观点可知 当时 为函数h x 在点t1的瞬时变化率 瞬时变化率 一般地 函数y f x 在点x x0处的瞬时变化率是 导数的概念 由导数的定义可知 求函数y f x 的导数的一般步骤 求函数的改变量2 求平均变化率3 求值 一差 二化 三极限 求导的步骤 试求函数在x 1处的导数 解 在x 3处的导数 例题 练习 求函数在处的导数 求函数在处的导数 如果质点A按规律运动 则在t 3s时的瞬时速度为 A 6B 18C 54D 81 设函数在点附近有定义 且有 a b为常数 则 变式练习 已知一个物体运动的位移 m 与时间t s 满足关系S t 2t2 5t 1 求物体第5秒和第6秒的瞬时速度 2 求物体在t时刻的瞬时速度 3 求物体t时刻运动的加速度 并判断物体作什么运动 课堂练习 如果质点A按规律则在t 3s时的瞬时速度为A 6B 18C 54D 81 练习 小结 1 瞬时速度的概念2 导数的概念3 思想方法 以已知探求未
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