有限元素法.doc

有限元素法的基本思想: 实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述，更无法順利求其解析解. 有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素. 元素与与元素间以“ 节点” 相连. 由于元素是简单的几何形状，故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量. 采用內插法求得元素內任意点的物理量. 有限元一般方法：直接刚度法 变分方法加全余量法有限元分析的目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)总结有限元计算步骤: 解题思路：0力学模型的选取平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等1寻找与原问题相适应的变分形式；2建立有限元子空间，即选择元素类型、相应的形状函数、位移模式3单元刚度矩阵，单元结点力列阵的计算和整体总刚度矩阵，总结点力列阵4边界条件的处理和利用变分原理有限元方程组求解（应力、应变、位移），由单元的结点位移列阵计算单元应力5回到实际问题中区变分法是把有限元法归结为求泛函的极值问题(例如固体力学中的最小势能原理与最小余能原理)。它使有限元法建立在更加坚实的数学基础上，扩大了有限元法的应用范围。位移函数：有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘 对每个单元 可以假定 情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确 但选取多少项数 要受单元型式的限制，1）数学处理比较方便（微积分运算）2）提高多项式阶数可较好的接近真实解求解的收敛性必须满足：(1) 单元位移模式中应包含单元的刚体位移状态。(2) 单元位移模式中应包含单元的常应变状态。(3) 单元位移模式中应保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。等参元的基本思路：导出规整单元(母元)的形函数，然后采用坐标映射方法，导出不规整单元的形函数和单元刚度矩阵。 等参元的优点： 1. 应用范围广，在杆件结构、平面和空间连续体和板壳中都可应用。 2. 推导方法具有通用性。一维、二维、三维问题的推导方法基本相同。 3. 可以模拟曲线边界，适宜于处理各种复杂边界问题。 4. 可以灵活地增添或减少结点，容易构造各种过渡单元。何谓等参单元？ 等参数单元（简称等参元）就是对坐标变换和单元内的参变量函数（通常是位移函数）采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。 母元中的坐标线对应于等参元的直线等参元整体坐标(x，y)与局部坐标（ ， ）之间存在一一对应关系。而这种一一对应关系成立的条件是在整个单元内雅可比行列式 应处处不为零，这也就是坐标逆变换成立的条件变分: y(x)的增量在它很小时称为变分，用dy(x)或dy表示，dy(x)是指y(x)和与它相接近的y1(x)之差，即dy(x)=y(x)-y1(x)；这里：dy(x)也是x的函数，只是dy(x)在指定的x域中都是微量。（假定y(x)在接近y1(x)的一类函数中是任意改变的）。基本假设板是线弹性、均匀的和各项同性的 研究小挠度问题广义应力应变的关系其中弹性关系矩阵D，对于各项同性才来是 平衡方程 将广义应变和广义应力代入平衡方程： 得关于得微分方程 是作用板表面得z方向分布载荷。 边界条件：（三种情况） 1） 2）3）最小位能数值积分求解阶次的选择：1保证积分的精度，当单元尺寸不断减小时，有限元解将单调地收敛于精确解。2保证结构总刚度矩阵K是非奇异的，即在引入强迫边界条件后K必须是非奇异的。单元矩阵精确积分和减缩积分阶次的计算是在| J |常数的条件下进行的提高精度：提高精度的方法： (1)单元尺寸变小，划分较密的网格 (2)插值函数，完备的多项式次数提高。由其他误差(计算误差，包括截断误差，舍入误差) 提高精度的方法： (1)增长字长(双精度) (2)选取有效的计算方法和合理的程序结构。选择线性单元或高次单元。阶次越高，精度越高选择位移模式的一般原则1广义坐标的个数英语结点自由度相同2选择多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备，必须反映单元刚体位移和长应变的特性3多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式提高单元的精度，若不能选取完全多项式时，应尽量选用坐标对称的项位移插值函数：1以广义坐标为待定参数，给出单元内位移，=。2单元结点位移ae表示广义坐标，3以单元结点位移ae表示位移函数，得到形函数矩阵N，4以结点位移ae表示应变得到应变矩阵B形函数的特点及性质：1)形函数Ni为x y 坐标的函数 与位移函