2013北师大版选修4-5-第二章　几个重要不等式课时练习题及答案解课时作业12.doc

一、选择题1某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN，且k1)时命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立现已知n5时，该命题不成立，那么应有()A当n4时该命题成立X k B 1 . c o mB当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n6时该命题不成立【解析】当n4时命题成立，由递推关系知，n5时命题成立，与题中条件矛盾n4时，该命题不成立【答案】C2在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C. D.【解析】a1，由Snn(2n1)an，得a1a22(221)a2，解得a2，a1a2a33(231)a3，解得a3，a1a2a3a44(241)a4，解得a4.猜想an.【答案】C3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nN)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3【解析】假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设 ，只需将(k3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除【答案】A4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_()A. BC2 D.【解析】nk到nk1时，内角和增加.【答案】B二、填空题5探索表达式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！22！11！(n1且nN)的结果时，第一步n_时，A_.【解析】第一步n2时， A(21)(21)！1.【答案】216用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_【解析】nk时， 命题为“12222k12k1”，nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k，又考虑到目的，最终应为2k11.【答案】12222k12k2k117用数学归纳法证明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n1时1236能被6整除，n1时命题成立(2)假设nk时成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1时，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)k、k1、k2和k1、k2、k3分别是三个连续自然数其积能被6整除故nk1时命题成立综合(1)、(2)，对一切nN，n(n1)(2n1)能被6整除这种证明不是数学归纳法，主要原因是_【答案】没用上归纳假设三、解答题8证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设nk时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2X|k |B| 1 . c|O |mk(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立综合(1)(2)可知，等式对任何nN都成立9已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【解】(1)由题意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an()n1.下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，()n1()01，等式成立假设当nk时，等式成立，即ak()k1，则当nk1时，由Sk1ak12，Skak2得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak()k1()(k1)1.即当nk1时，等式成立由可知，对nN，an()n1.10已知点的序列An(xn,0)，nN，其中x10，x2a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点， ，An是线段An2An1的中点，.(1)写出xn与xn1，xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明【解】(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)(a)a，由此推测an()n1a(nN)用数学归纳法证明：当n1时，a1x2x1a()0a，公式成立，假设当nk(k1，kN)时， 公式成立，即ak()k1a成立那么当nk1时，ak1xk2xk1xk1(xk1xk)ak()k1a()(k1)1a，当nk1时，公式仍成立根据可知对任意nN，公式an()n1a成立1在数列an中，a11，an1cancn1(2n1)(nN)，其中实数c0.求an 的通项公式【解】由a11，a2ca1c233c2c(221)c2c，a3ca2c358c3c2(321)c3c2，a4ca3c4715c4c3(421)c4c3，猜测an(n21)cncn1，nN.下面用数学归纳法证明当n1时，等式成立；假设当nk(k1，kN)时，等式成立，即ak(k21)ckck1，则当nk1时，ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21ck1ck.综上，an(n21)cncn1对任意nN都成立2已知ABC的三边长是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数【证明】(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A是有理数(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数假设当nk(k1)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数当nk1时，由cos(k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin(k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin