高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题四数列1_4_2数列求和及综合应用课件理新人教版

第二讲数列求和及综合应用 知识回顾 1 常用的拆项公式 其中n N 2 常见的求和方法 1 公式法求和 适合求等差数列或等比数列的前n项和 对等比数列利用公式法求和时 一定注意公比q是否取1 2 错位相减法主要用于求数列 an bn 的前n项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 3 裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后 消去一部分从而计算和的方法 适用于求通项为的数列的前n项和 4 分组求和法一个数列既不是等差数列 也不是等比数列 若将这个数列适当拆开 重新组合 就会变成几个可以求和的部分 分别求和 然后再合并 易错提醒 1 裂项求和的系数出错 裂项时 把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误 2 求通项公式忽略验证第一项致误 利用an 忽略n 2的限定 忘记第一项单独求解与检验 3 求项数致误 错位相减法求和时 易漏掉减数式的最后一项 考题回访 1 2016 浙江高考 如图 点列 An Bn 分别在某锐角的两边上 且 AnAn 1 An 1An 2 An An 2 n N BnBn 1 Bn 1Bn 2 Bn Bn 2 n N P Q表示点P与Q不重合 若dn AnBn Sn为 AnBnBn 1的面积 则 A Sn 是等差数列B 是等差数列C dn 是等差数列D 是等差数列 解析 选A 先求出三角形的面积 再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列 作A1C1 A2C2 A3C3 AnCn 垂直于直线B1Bn 垂足分别为C1 C2 C3 Cn 则A1C1 A2C2 AnCn 因为 AnAn 1 An 1An 2 所以 CnCn 1 Cn 1Cn 2 设 A1C1 a A2C2 b B1B2 c 则 A3C3 2b a AnCn n 1 b n 2 a n 3 所以Sn c n 1 b n 2 a c b a n 2a b 所以Sn 1 Sn c b a n 1 2a b b a n 2a b c b a 又S1 ac S2 bc S3 c 2b a S2 S1 c b a S3 S2 c b a 所以数列 Sn 是等差数列 2 2016 浙江高考 设数列 an 的前n项和为Sn 若S2 4 an 1 2Sn 1 n N 则a1 S5 解析 由题意得 a1 a2 4 a2 2a1 1 解得a1 1 a2 3 再由an 1 2Sn 1 an 2Sn 1 1 n 2 所以an 1 an 2an an 1 3an 又a2 3a1 所以an 1 3an n 1 S5 121 答案 1121 热点考向一求数列的通项公式命题解读 主要考查等差数列与等比数列的定义 有关性质以及逻辑推理和各种变形能力 一直是高考的重点和热点 以选择题 填空题 解答题为主 典例1 1 2016 武汉一模 已知数列 an 中 a1 3 满足 则数列 an 的通项公式为 2 2016 全国卷 已知各项都为正数的数列 an 满足a1 1 2an 1 1 an 2an 1 0 求a2 a3 求 an 的通项公式 解题导引 1 将变形 构造等差数列求解 2 将a1 1代入递推关系式求得a2 将a2的值代入递推关系式可求得a3 将已知的递推关系式进行因式分解 由题设条件可判断数列 an 为等比数列 由此可求得数列 an 的通项公式 规范解答 1 由 得 2 所以数列 是首项为 公差为2的等差数列 所以 n 1 2 2n 所以an 答案 an 2 由题意可得a2 a3 由 2an 1 1 an 2an 1 0 得2an 1 an 1 an an 1 因为 an 的各项都为正数 所以故 an 是首项为1 公比为的等比数列 因此an 母题变式 1 本例 1 改为 若数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 an 1 3Sn n 1 求a6的值 解析 因为an 1 3Sn 所以an 3Sn 1 n 2 两式相减得 an 1 an 3an 即 4 n 2 所以数列a2 a3 a4 构成以a2 3S1 3a1 3为首项 以4为公比的等比数列 所以a6 a2 44 3 44 768 2 本例 1 改为 已知数列 an 中 a1 1 an 2an 1 1 n 2 求数列 an 的通项公式 解析 由an 2an 1 1 n 2 得an 1 2 an 1 1 即 2 所以数列 an 1 是首项为2 公比为2的等比数列 所以an 1 2n 所以an 2n 1 规律方法 求通项的常用方法 1 归纳猜想法 已知数列的前几项 求数列的通项公式 可采用归纳猜想法 2 已知Sn与an的关系 利用an 求an 3 累加法 数列递推关系形如an 1 an f n 其中数列 f n 前n项和可求 这种类型的数列求通项公式时 常用累加法 叠加法 4 累乘法 数列递推关系形如an 1 g n an 其中数列 g n 前n项积可求 此数列求通项公式一般采用累乘法 叠乘法 5 构造法 递推关系形如an 1 pan q p q为常数 可化为an 1 p 1 的形式 利用是以p为公比的等比数列求解 递推关系形如an 1 p为非零常数 可化为的形式 题组过关 1 2016 合肥一模 已知正项数列 an 满足a1 1 n 2 n 1 anan 1 0 则它的通项an 解析 选B 由 n 2 n 1 anan 1 0 可得 n 2 n 1 又因为an 0 所以又a1 1 则an a1 2 2016 银川一模 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 4an 3 n N 1 证明 数列 an 是等比数列 2 若数列 bn 满足bn 1 an bn n N 且b1 2 求数列 bn 的通项公式 解析 1 依题意Sn 4an 3 n N 当n 1时 a1 4a1 3 解得a1 1 因为Sn 4an 3 则Sn 1 4an 1 3 n 2 所以当n 2时 an Sn Sn 1 4an 4an 1 整理得an an 1 又a1 1 所以 an 是首项为1 公比为的等比数列 2 由 1 知an 由bn 1 an bn n N 得bn 1 bn 可得bn b1 b2 b1 b3 b2 bn bn 1 2 3 1 n 2 当n 1时也满足 所以数列 bn 的通项公式为bn 3 1 n N 加固训练 1 2016 三亚二模 已知数列 an 的前n项和为Sn 且a1 a2 1 若 nSn n 2 an 为等差数列 则an 解析 选A 设bn nSn n 2 an 则数列 bn 为等差数列 由b1 4 b2 8 可得bn 4n 则bn nSn n 2 an 4n 即Sn an 4 当n 2时 Sn Sn 1 an an 1 0 所以an an 1 即2 所以数列是以为公比 1为首项的等比数列 则即an 2 2016 三亚一模 设Sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且3S1 2S2 S3成等差数列 则an 解析 设等比数列 an 的公比为q q 0 依题意得a2 a1q q a3 a1q2 q2 S1 a1 1 S2 1 q S3 1 q q2 又3S1 2S2 S3成等差数列 所以4S2 3S1 S3 即4 1 q 3 1 q q2 所以q 3 q 0舍去 所以an a1qn 1 3n 1 答案 3n 1 3 2016 成都一模 已知数列 an 满足 n2 n 1 n N 1 求a1 a2及a2016 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 由 n2 n 1 n N 得a1 1 a2 20152 20162 由 得 20162 20152 4031 所以a2016 2 由 n2 n 1 n N 得 n 1 2 n 2 n N 两式相减得 n2 n 1 2 2n 1 n 2 n N 所以an n 2 n N 当n 1时 a1 1也满足上式 所以an n N 热点考向二求数列的前n项和命题解读 试题一般设置两个问题 其中第一问考查等差 等比数列的基本运算 属于保分题 第二问的区分度较大 一般与数列的求和有关 方法较灵活 主要是错位相减 裂项相消等方法 以解答题的形式出现 属于中 高档题目 命题角度一裂项相消求和 典例2 2015 全国卷 Sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4Sn 3 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和 解题导引 1 由 2an 4Sn 3及an 1 Sn 1 Sn确定 an 的通项公式 2 由 1 及bn 利用裂项法求和 规范解答 1 由 2an 4Sn 3 可知 2an 1 4Sn 1 3 可得 2 an 1 an 4an 1 即2 an 1 an an 1 an an 1 an 由于an 0 可得an 1 an 2 又 2a1 4a1 3 解得a1 1 舍去 a1 3 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 2 由an 2n 1可知bn 设数列 bn 的前n项和为Tn 则Tn b1 b2 bn 命题角度二错位相减求和 典例3 2016 山东高考 已知数列 an 的前n项和Sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 2 令cn 求数列 cn 的前n项和Tn 解题导引 解答本题第 2 问 可拆解成两个小题 若cn 求cn cn 的前n项和为Tn 求Tn 解析 1 由题意知 当n 2时 an Sn Sn 1 6n 5 当n 1时 a1 S1 11 6n 5 所以an 6n 5 设数列 bn 的公差为d 则a1 2b1 d 11 a2 b2 b2 d 2b1 3d 17 解得b1 4 d 3 所以bn 4 n 1 3 3n 1 2 由 1 知 cn 3 n 1 2n 1 所以Tn c1 c2 cn 两式相减 Tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 3n 2n 2 所以Tn 3n 2n 2 规律方法 1 分组求和中的分组策略 1 根据等差 等比数列分组 2 根据正号 负号分组 2 裂项相消的规律 1 裂项系数取决于前后两项分母的差 2 裂项相消后前 后保留的项数一样多 3 错位相减法的关注点 1 适用题型 等差数列 an 与等比数列 bn 对应项相乘 an bn 型数列求和 2 步骤 求和时先乘以数列 bn 的公比 把两个和的形式错位相减 整理结果形式 变式训练 2016 漳州二模 已知数列 an 的前n项和是Sn 且Sn an 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log4 1 Sn 1 n N Tn 求使Tn 成立的最小的正整数n的值 解析 1 当n 1时 a1 S1 由S1 a1 1 a1 当n 2时 Sn an 1 Sn 1 an 1 1 得an an an 1 0 即an an 1 所以 an 是以为首项 为公比的等比数列 故an 2 由 1 知1 Sn 1 an 1 bn log4 1 Sn 1 log4 n 1 故使Tn 成立的最小的正整数n的值为2014 加固训练 2016 惠州一模 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 n N 1 求a2的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 解析 1 由题意 得2S1 a2 1 又S1 a1 1 所以a2 4 2 当n 2时 2Sn nan 1 n3 n2 n 2Sn 1 n 1 an n 1 3 n 1 2 n 1 两式相减得2an nan 1 n 1 an n2 n 整理得 n 1 an nan 1 n n 1 即 1 又 1 故数列是首项为 1 公差为1的等差数列 所以 1 n 1 1 n 所以an n2 所以数列 an 的通项公式为an n2 n N 3 所以对一切正整数n 有 热点考向三与数列求和有关的综合问题命题解读 数列的综合应用主要体现在以下两点 1 以等差 等比数列的知识为纽带 在数列与函数 方程 不等式的交汇处命题 主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质 2 数列与解析几何交汇的命题 往往会遇到递推数列 通常以解析几何作为试题的背景 从解析几何的内容入手 导出相关的数列关系 再进一步地解答相关的问题 试题难度大都在中等偏上 有时会以压轴题的形式出现 典例4 1 2016 哈尔滨一模 设n N an是曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线与x轴交点的横坐标 设bn 则数列 bn 前n项和Sn 2 2016 枣庄一模 已知数列 an 的前n项和为Sn 数列 bn 的前n项和为Tn 且有Sn 1 an n N 点 an bn 在直线y nx上 求Tn 试比较Tn和2 的大小 并说明理由 解题导引 1 根据导数的几何意义求出曲线的切线方程 从而得出数列 bn 的通项公式 利用裂项法求数列 bn 前n项和 2 题目拆解 本题第 问可拆成三个小题 求 an 的通项公式 求 bn 的通项公式 求Tn 规范解答 1 y 2n 2 x2n 1 曲线y x2n 2 1在点 1 2 处的切线的斜率为2n 2 从而切线方程为y 2 2n 2 x 1 令y 0 解得切线与x轴交点的横坐标an 则bn 所以Sn 答案 2 当n 1时 a1 S1 1 a1 解得a1 当n 2时 an Sn Sn 1 1 an 1 an 1 则有2an an 1 即所以数列 an 是以a1 为首项 为公比的等比数列 所以an n N 因为点 an bn 在直线y nx上 所以bn nan 令Bn 2 则Tn Bn 所以当n 1时 T1 B10 所以Tn Bn 综上所述 当n 1时 Tn2 规律方法 数列与函数交汇问题的常见类型及解法 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 需构造函数 利用函数知识解决问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 分式 求和方法对式子化简变形 另外 解题时要注意数列与函数的内在联系 灵活运用函数的思想方法求解 题组过关 1 2016 枣庄一模 已知函数f x 满足f x 1 f x x R 且f 1 则数列 f n n N 前20项的和为 A 305B 315C 325D 335 解析 选D 因为f 1 f 2 f 3 f n f n 1 所以 f n 是以为首项 为公差的等差数列 所以S20 2 2016 烟台二模 已知数列 an 的前n项和为Sn 点在直线y 上 数列 bn 满足bn 2 2bn