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例谈等比数列情境的创设西周中学 王仁亮现代数学教学理论认为，数学教学是数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是在头脑中建构数学认知结构的过程，是主体的一种自主行为。教师在教学活动中就要注意展现数学思想发展的脉络，注重创设问题情境，激发学生的亲身经历数学建构的过程。因此，在数学教学中教师要引导学生动手、动口、动脑，全方位地参与，关键是思维上的参与。而思维上的参与要体现在数学知识的内化、数学技能的形成、数学经验、思想、观念的获得等各个方面。教师的主导作用主要体现在引导学生思维的参与、问题情境的创设、非智力因素的激发等方面，这些已成为当前数学教研的重要课题。 本文就等比数列教学中的几个片断为例，谈谈通过创设问题情境，引导学生积极参与教学的一些做法和体会。 1、创设问题情境，激发学习兴趣。 兴趣是最好的老师，兴趣是学习的源泉，激发学生学习兴趣，调动学生学习的积极性，不仅能使学生热爱数学，而且使他们会学数学，学好数学。 例1：等比数列求和公式的引入。 从故事入手：传说，波斯国王第一次玩国际象棋就给深深地迷住了，他下令要奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么。发明者指着国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8米，按这样的规律放满64格棋盘格。国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了。结果是弄得国王倾尽国家财力还不够支付。同学们，这几粒麦子，怎能会让国王赔上整个国家的财力？ 此问一出，立即引起学生的极大兴趣，麦子多不多，关键就在于计算麦粒的总数。很明显，这是一个以1为首项，以2为公比的等比数列前64项和的问题，即如何计算1+2+22+263？ 教师通过创设这一问题情境，引起了学生的认知与事实冲突，诱发了学生求知的热情及浓厚的兴趣，激发了思维的积极性，增强了再发现的内驱力，而且对发现等比数列的求和公式起到自然的引导作用。 2、创设问题情境，提高合情推理能力。 波利亚认为：“数学有两个侧面。一个是欧几里得式的科学的数学，用欧几里得方式提出来的数学看来像一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”由于数学教材是按照数学理论的逻辑体系来编写的，而这种逻辑体系中的知识呈现顺序与数学理论的真实发现过程往往是相反的（真实发现过程常常采用分析法，而逻辑体系则采用演绎法）。因此，在传统的数学教学中，根据教材顺序所进行的教学往往是“反思想过程”的活动，过分强调逻辑推理，把数学当成“逻辑推理”的一种形式来学习，而获得数学理论时的那种直觉、试验、类比、归纳、猜想等等“合情推理”都被忽视了。这样，学生感到数学是抽象的，学习数学是枯躁乏味的，学习过程中难以满足成为探索者发现者的心理需求，逐步产生畏难情绪，丧失学习积极性。为此。数学教学就应该努力贯彻逻辑推理与合情推理能力的培养，才能体现数学是生动活泼的数学，是充满激情的数学，是隐含理性美的数学！合情推理包括类比推理和归纳推理。类比推理是一种横向思维，是借助于两个系统在某些部分的一致性来推测另一部分上的一致性。归纳推理是从特殊事物的性质推得一般对象的性质，是一种纵向思维。正如法国著名数学家和天文学家拉普拉斯所说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”在教学中适当地运用合情推理的思想方法，进行探索发现、解决问题，使学生体验到数学中发现真理的乐趣，提高学习积极性。 2.1 创设类比性的问题情境 不同的事物，往往具有一些相同或者相似的属性，数学也是如此。新知识的学习总是在旧知识的基础上进行的，而新知识又是旧知识的自然延续或升华，它们之间既有联系又有区别。以新旧知识类比的方法探索新知识，既较好地体现了知识的发生与迁移过程，又有利于学生“内化”，便于将新知识纳入认知结构，使其得到充分发展。 例2：等比数列定义 笔者经过教学实践和反思，认为采用创设如下的类比性问题情境，引导学生再发现等比数列定义，效果较好。 师：（在黑板上写出以下3个等比数列）请同学们填空： 数列1：1，2，4，16，32。 数列2：1， 数列3：， 生：分别为8，。 师：请同学们根据上述各个数列的项的变化规律，结合以前的所学知识，给出这些数列一个统一的名称。 生：等比数列（也有说：等商数列、等倍数列） 师：同学们说得都很对，我们将这些数列的名称统一约定为等比数列，这是我们今天要研究的内容。请同学们思考，如何给等比数列下一个准确定义？（“等倍”与“等比”有区别，这时不作分辨） 生：（议论）与等差数列相似，从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于同一个常数。 师：很好。（板书等比数列定义）等比数列与等差数列在定义上有很多相似之处，这使我们想起有这样的数列，它既是等差数列，又是等比数列？如果有，它的一般形式是什么？ 生：有。如2，2，2，一般形式是，。 师：反过来，形如，的数列一定既是等差数列，又是等比数列吗？ 生：（议论）当时结论成立，当时，数列不是等比数列。 师：对。（强调）在等比数列中，那么公比的值是否有限制？ 生：。 师：对。（强调）等比数列中的公比。我们在使用等比数列定义时，往往需要符号化、等式化。如何用符号语言，写成等式的形式简洁地表示它？ 生：（也有说）。 师：都很好。根据我们学习等差数列的经验，这个等式可起什么作用？ 生：判断是否等比数列。 等比数列通项公式的发现及证明，同样可采用这种方法进行教学。实际上适合于创设类比性的问题情境进行教学的内容很多。例如正切函数图象性质可与正弦函数图象性质类比，双曲线及抛物线的定义、标准方程、几何性质可与椭圆的定义、标准方程、几何性质类比，立体几何中的平面、四面体可与平面几何中的直线、三角形类比等等。 在课堂中，把等比数列定义及通项公式的探索、发现、创新等思维过程的暴露，知识形成过程的揭示，作为教学重点。同时采用启发式、谈话式的教学方法，引导学生进行类比推理，促使学生不知不觉地参与教学的全过程，为学生自己探索发现等比数列的有关知识营造了良好的氛围，体现了数学发现的本质，培养了学生合情推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式及勇于探索的创新意识等个性品质。 需要指出的是：教师如果忽视学生内在的知识结构和新旧知识之间的潜在联系，简单地从外部给学生“灌入”新知识，仅仅以课本为本，以教学大纲为纲进行备课和上课，教学效果定会不尽人意。只有充分考察了学生的知识结构，才能通过引导学生进行知识的迁移、类比，引导他们发现知识之间的联系，从而使新知识有效地纳入学生的认知结构中，并逐步培养了学生的创新能力。 2.2 创设归纳性的问题情境 华罗庚先生说：“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”所以说，定理、法则、公式的归纳、猜想、发现的过程比证明过程更重要。归纳是人类探索真理和发现真理的主要工具之一，归纳法在发现新的数学问题，在探索和发现解题途径的过程中起着重要作用。在研究数学问题时，常常将一些一般问题通过特殊化来考察，从中发现一般问题的结论或解题途径，这种由特殊到一般的思考，能否有所发现，关键在于恰当地运用归纳法。 例3：等比数列求和公式的发现和证明。 本节课的难点在于“错项相减法”这种技巧的发现，其关键在于公式的发现。为此我创设以下问题情境： 师：（续例1）（提出问题）如何求S64=1+2+22+263？（稍候）太大了，我们可以采用退一步的策略，先研究小一些的情况。 生： 可以猜得 师：好。估算一下： 故事中余下的问题只是一个简单的物理问题了，测量一下若干粒麦子的重量，就可估算这些麦子的总重量了。（估算方法及跨科学问题的解决方法，在方便时应该讲一下。）一般地，等比数列前项和应怎样求？（稍候）能用等差数列前同和公式证明方法来类比解决吗？ 生：不能。因为在等差数列中，而等比数列中，一般地。 师：那么怎样解决？ 生：可能用到“求麦子”的方法，先变换成，关键在于计算。 师：根据上述过程，有？ 生：（议论）不对，就不对了，这时，。 师：那么等于什么？我们应该怎样办？ 生：设，再设，试试看。 师：好，请大家试一试，是否会得到某方面启发？ 生： 知道了，一般地有， 。 师：同学们都觉得这个结论对吗？ 生：（议论）当时，而无意义，这样不对了。要对进行讨论。 师：非常正确。同学们，等比数列前项和公式已经被我们发现了，现在余下的工作，就是考虑如何证明这个公式。 生：（议论）先证明简单部分即的情况；后证明复杂部分即的情况，需证，把代入展开即可。 至此，“错项相减法”已被诱发而出，证明就不难解决了，在学生完成证明之后，介绍“错项相减法”的名称来由及使用方法，然后进行回顾反思，探求一题多解。 诚然：对于同一数学内容的教学，其问题情境的创设往往有多种方式。也以等比数列前项和的公式为例，有教学杂志曾介绍过创设如下的阶梯性问题情境。 一、计算：(1)(2) (3)(4) 二、(1)猜测(2)猜测等比数列前项和 笔者认为，这个问题情境的创设，优点是：其一在课堂教学中所花费的时间不多，较经济；其二在课堂教学中学生的确能发现公式。但是，这样的发现并不是学生自己探索所发现的，而是沿着教师铺设的阶梯（即教师的思维轨迹）所发现的，一旦失去了这些阶梯，又不知铺设阶梯的方法，就难以有所发现。教师不应当是“木偶的操纵者”，而应是学生主动获取、形成、发现知识的引导者，学生思维策略的指导者。而例3的归纳性问题情境的创设，虽然花费时间较多，却能使学生亲身经历了从特殊到一般、从一般到特殊的认识过程，体验到“一般问题特殊化”这种思维策略的重要作用，并且这种思维策略具有普通性的指导意义。比如数列中的许多问题、解析几何中的点到直线距离公式的发现和证明都可如此处理。因此，教师在教学中要舍得留出时间给学生，让他们动手、动口、动脑，亲自去探索公式的发现和证明的过程，去体验成功的喜悦，增强他们学习的自信心，激发他们的创新思维萌芽，培养他们的创新意识和创新能力。 3、创设问题情境，培养勇于探索的科学精神。 研究性学习强调学生通过自主参与一些类似于科学家从事科研的学习活动，获得亲身体验和产生积极情感，逐步形成一种在日常学习和生活中喜爱质疑，乐于探索，努力求知的心理倾向，养成数学地思维的习惯，形成数学地观察世界、处理和解决问题的能力。研究性学习的过程是围绕着一个需要解决的问题（专题或课题）而展开的，这个问题可以由一个案例、由介绍某些背景或创设一种情景引出，也可以直接提出；可以由教师提出，也可以引导学生自己发现和提出；可以是与人类生存、社会发展密切相关的重大问题，也可以是自己感兴趣的任意细小问题。 例4：等和数列与等积数列。 在等比数列复习课中，我提出这样的问题：课本介绍了两种特殊的数列 等差数列与等比数列，那么是否还有等和数列、等积数列呢？课本中没有这方面的任何说明，同学们能否依靠自己的智慧给予解决呢？在学生表现出浓厚的兴趣时，我要求学生们以组为单位，在三天内写出研究报告，并在班内交流，最后在黑板报上刊出总结性报告。 结果学生模仿课本的编写形式，写出了如下总结性研究报告。等和数列 1、举例：数列：1，3，1，3，1，3， 2、定义：从第2项开始，每一项与它前一项的和是常数的数列叫做等和数列，这个常数叫做这个等和数列的公和（记作A） 3、通项公式： 4、前项和：等积数列 1、举例：数列：2，5，2，5，2，5， 2、定义：从第2项开始，每一项与它的前一项的积是一个不为零的常数数列，叫做等积数列，这个常数叫做这个等积数列的公积（记作B） 3、通项公式 4、前项和 对于等积数列的定义，学生讨论较多的是公积的规定，若允许B=0，则数列的情况比较复杂，它的通项公式、前项和均有其不确定性，不能用首项，公积B及项数表示。 同时，学生们通过研究认识到，无论是等和数列还是等积数列，都是一些特殊的摆动数列，其内涵远没有等差数列、等比数列这样丰富多彩，因此教科书中没有叙述。 等和数列、等积数列的研究成果是细小的，但学生们进行研究探索的意义却不可忽视。在研究和探索过程中，他们都时刻需要审视、反思探索活动，并通过经验的融合和重组来解决遇到的难题，这时他们的直觉思维能力和创新思维能力得到充分的培