S04第四讲 地球物理反演.ppt

地球物理反演 师学明副教授 Email xmshi666 xmshi Tel 63125049 小灵通 67885828 家公室 物探楼302 上课班级061031 3学时402006年下半年 地球物理反演 考评及考试 1 平时成绩占总评成绩的比例为40 2 考试方式 闭卷 教材名称 地球物理反演编者姚姚出版社中国地质大学出版社 第一讲 地球物理反演问题的一般理论 主要内容 1 反演问题的一般概念 2 地球物理中的反演问题 3 地球物理反演中的数学物理模型 4 地球物理反演问题解的非唯一性 5 地球物理反演问题的不稳定性与正则化概念 6 地球物理反演问题的求解 第二章 线性反演理论与方法 主要内容 1 线性反演理论的一般论述 2 线性反演问题求解的一般原理 3 离散线性反演问题的解法 第四讲 线性反演问题求解的一般原理 2 2 2适定与超定问题的求解 M N r 2 2 2适定与超定问题的求解 由于存在着观测误差及问题的不稳定性 求解地球物理反演问题的精确解毫无意义 期望得到一组与观测数据之间误差平方和为最小的预测数据所对应的模型参数 即使得误差E为最小的解 其形式为这样的解是在范数L2极小的条件下求得的 因此称这种方法为最小L2解法 也称最小二乘法 2 18 不失一般性 我们先假设观测数据d为M维向量 模型参数m为N维向量 且M N 则 2 18 式的求解可转化为一个线性方程组的求解 即 2 18 2 19 考虑到这是一个多元函数的极小问题 因此 可令其偏导数为0进行求解 即令 2 2 2适定与超定问题的求解 2 2 2适定与超定问题的求解 第一项偏导数 第二项偏导数 第三项偏导数 2 2 2适定与超定问题的求解 2 2 2适定与超定问题的求解 2 18 2 24 M N r 2 2 2适定与超定问题的求解 例 趋势平面拟合问题假设有一组观测数据di i 1 2 M 它们与模型参数m1 m2 m3满足方程 2 25 其中 xi yi为已知空间坐标 试求模型参数m1 m2 m3解 1 正演方程Gm d可表示为 2 2 2适定与超定问题的求解 例 趋势平面拟合问题假设有一组观测数据di i 1 2 M 它们与模型参数m1 m2 m3满足方程 2 25 其中 xi yi为已知空间坐标 试求模型参数m1 m2 m3解 2 形成矩阵GTG 2 2 2适定与超定问题的求解 例 趋势平面拟合问题假设有一组观测数据di i 1 2 M 它们与模型参数m1 m2 m3满足方程 2 25 其中 xi yi为已知空间坐标 试求模型参数m1 m2 m3解 3 形成向量GTd 2 2 2适定与超定问题的求解 例 趋势平面拟合问题假设有一组观测数据di i 1 2 M 它们与模型参数m1 m2 m3满足方程 2 25 其中 xi yi为已知空间坐标 试求模型参数m1 m2 m3解 4 根据公式 2 24 其解为 2 2 2适定与超定问题的求解 例 趋势平面拟合问题假设有一组观测数据di i 1 2 M 它们与模型参数m1 m2 m3满足方程 2 25 其中 xi yi为已知空间坐标 试求模型参数m1 m2 m3解 这个解构造了一个最小二乘拟合平面d m1 m2x m3y 2 2 3欠定问题的求解 r M N 2 2 3欠定问题的求解 在欠定问题情况下 用超定问题的求解方法不能确定唯一解 必须寻找其它途径 2 2 3欠定问题的求解 假定已辨认出反演问题Gm d是一个纯欠定问题 为了简单起见 假设方程数比未知的模型参数少 即M N 而且在这些方程中有相容的 则可能找出不只一个误差为零的解 事实上 我们将看到欠定线性问题有无穷多个这样的解欠定问题 虽然数据能提供有关模型参数的信息 但却不能提供足够的信息来唯一地确定模型参数 2 2 3欠定问题的求解 为了获得反问题的解mest 必须拥有能精确地选出其误差E为零的无穷多个解中某一解的方法 要做到这一点 就得把某些引起未包含在方程Gm d中的信息附加到该问题中 这类附加的信息称为先验信息 先验信息可以取很多形式 但对每一情形 它都使得关于解的特性的期望以定量的形式出现 且这些期望不依赖于实际观测数据 2 2 3欠定问题的求解 例1 在仅通过一个数据点的直线拟合情形中 可能会有直线也通过原点这一期望 现在 这一先验信息便给出足够的信息来求得反问题的唯一解 因为两个点 一个是数据 另一个是先验信息 确定一条直线 例2 另外一个先验信息的例子涉及到模型参数具有一给定的符号 或者位于某一给定的区间的期望 例如 假定模型参数代表地球中不同点处的密度 甚至不做任何测量 便能肯定密度处处大于零 因为密度是固有的正值 此外 因为可以合理的假设地球内部是由岩石组成的 所以其密度值必定在表示岩石特征的某一已知范围内 比方说1 100g m3之间 如果在解该反演问题时能利用这一先验信息 就可以大大缩小可能解的范围 或者甚至得到唯一的解 2 2 3欠定问题的求解 这些信息从何而来 其可靠程度如何 对这些问题 并没有严格的回答 在某些情况下有可能确定一个合理的先验假设 而在另外一些情况下却做不到这一点 显然 先验信息的重要性主要取决于打算在估计模型参数时如何使用它 如果只是想得到对问题解的一个范例 那么先验信息的选取并不重要 然而 如果想要给出取决于估计值的唯一论证 那么先验信息的正确性便是头等重要的了 在估计一个非唯一反问题的模型参数时 必须重视这些问题 对于反问题 由其它类型的不依赖先验信息的 答案 例如局部化的平均值 不过 这些 答案 总是不如模型参数的估计值容易解释 2 2 3欠定问题的求解 我们将研究的一类先验假设是 反问题的解是 简单的 这一期望 其中 简单的 这一概念用解的长度的某种度量来定量表示 解的欧几里德长度就是这种度量 于是 在L2范数度量下 如果长度L很小 就把所有得到的解规定为 简单的 解欠定问题的思路为 在求e d Gm约束下使L mTm极小的解的估计值mest 可采用拉格朗日乘子法求解这个问题 2 2 3欠定问题的求解 设目标函数为 式中 i是拉格朗日乘子 对模型mq取极小 可得 2 31 2 2 3欠定问题的求解 令式 2 31 等于零 并且写成矩阵形式可得到方程 此方程必须与约束方程Gm d一同求解 注意GGT是一个N N阶的方阵 如果它的逆矩阵存在 就能解此方程求出拉格朗日乘子 然后该表达式代入 可得到欠定问题的解 2 2 3欠定问题的求解 2 32 该解是在极小L意义下得到的最小模型 最小模型只有在纯欠定的情况下才有意义 2 2 3混定问题的求解 2 2 4混定问题的求解 大多数地球物理反演问题 既不是完全超定 也不是完全欠定 而是表现为一种混定形式 就观测数据与模型参数数目而言 M N表现为超定 但是GTG的特征值接近或等于零的情况 秩r N 又具有欠定性质 无论是用最小二乘法还是用最小模型法求解这类问题 都不能得到满意的结果 最小二乘法 最小模型法 2 2 4混定问题的求解 把求解超定问题和欠定问题的目标函数综合一下 取它们的线性组合 即目标函数为 2 34 2 33 式中 2称为阻尼因子或加权因子 它取决于预测误差E与模型长度L在极小化过程中的相对重要性 2 2 4混定问题的求解 如果所取的 足够大 那么这一方法明显地使解的欠定部分达到极小 它也有使解的超定部分达到极小的趋势 总的结果 所得的解不一定会使预测误差E极小 因而它本身也就不会是真实模型参数的一个非常好的估计 如果所取的 非常小 等于0 则使预测误差E极小 但是却不存在任何先验信息用于选出欠定的模型参数 有没有可能找到一个的某一个折衷值 在使欠定部分解的长度近似取极小的同时使E近似达到极小 2 2 4混定问题的求解 答案是 没有简单