D3_2偏导数与全微分1.ppt

第二节 机动目录上页下页返回结束 一 偏导数概念及其计算 二 全微分及可微条件 偏导数与全微分 第三章 一 偏导数定义及其计算法 引例 研究弦在点x0处的振动速度与加速度 就是 中的x固定于 求 一阶导数与二阶导数 x0处 关于t的 机动目录上页下页返回结束 将振幅 定义1 在点 存在 的偏导数 记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动目录上页下页返回结束 注意 同样可定义对y的偏导数 若函数z f x y 在域D内每一点 x y 处对x 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 偏导数 记为 机动目录上页下页返回结束 或y偏导数存在 例如 三元函数u f x y z 在点 x y z 处对x的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 机动目录上页下页返回结束 偏导数定义为 请自己写出 二元函数偏导数的几何意义 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 机动目录上页下页返回结束 对y轴的 函数在某点各偏导数都存在 显然 例如 注意 但在该点不一定连续 上节例目录上页下页返回结束 在上节已证f x y 在点 0 0 并不连续 例1 求 解法1 解法2 在点 1 2 处的偏导数 机动目录上页下页返回结束 例2 设 证 例3 求 的偏导数 解 求证 机动目录上页下页返回结束 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证 证 说明 R为常数 不能看作 分子与分母的商 此例表明 机动目录上页下页返回结束 整体记号 有关偏导数的几点说明 求分段点 不连续点处的偏导数要用定义求 解 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 二 全微分的定义及可微条件 一元函数y f x 的微分 全增量的概念 y 或 例如 1 全微分的定义 函数z f x y 在点 x y 可微 由微分定义 如果 得 函数在该点连续 即 2 可微的条件 显然连续是可微的必要条件 定理1 必要条件 若函数z f x y 在点 x y 可微 则该函数在该点偏导数 同样可证 证 由全增量公式 必存在 且有 得到对x的偏增量 因此有 机动目录上页下页返回结束 反例 函数 易知 但 因此 函数在点 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏导数存在函数不一定可微 即 机动目录上页下页返回结束 定理2 充分条件 证 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分 机动目录上页下页返回结束 所以函数 在点 可微 机动目录上页下页返回结束 注意到 故有 3 偏导数连续 2 函数可微 偏导数存在 函数可微 1 函数可微 函数连续 推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分 的全微分为 于是 机动目录上页下页返回结束 解 所求全微分 解 所求全微分 证 令 则 同理 1 2 不存在 3 说明 此题表明 偏导数连续只是可微的充分条件 令 则 4 多元函数连续 可导 可微的关系 可知当 3 全微分在数值计算中的应用 1 近似计算 由全微分定义 较小时 及 有近似等式 机动目录上页下页返回结束 可用于近似计算 误差分析 可用于近似计算 半径由20cm增大 解 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例3 有一圆柱体受压后发生形变 到20 05cm 则 高度由100cm减少到99cm 体积的近似改变量 机动目录上页下页返回结束 求此圆柱体 例4 计算 的近似值 解 设 则 取 则 机动目录上页下页返回结束 分别表示x y z的绝对误差界 2 误差估计 利用 令 z的绝对误差界约为 z的相对误差界约为 机动目录上页下页返回结束 则 特别注意 类似可以推广到三元及三元以上的情形 乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数 机动目录上页下页返回结束 例5 利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差 解 故绝对误差约为 又 所以S的相对误差约为 计算三角形面积 现测得 机动目录上页下页返回结束 例6 在直流电路中 测得电压U 24伏 解 由欧姆定律可知 欧 所以R的相对误差约为 0 3 0 5 R的绝对误差约为 0 8 0 3 定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差 相对误差为 测得电流I 6安 相对误差为0 5 0 032 欧 0 8 机动目录上页下页返回结束 求用欧姆 思考与练习 函数 在 可微的充分条件是 的