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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第二课时）设计者：邹新维 河北省廊坊市第四中学1、 概述 本节课是人民教育出版社九年级数学上册第二十二章二次函数第一节第三小节的第二课时，是为了让学生掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，并学会二次函数在平面上的上（下）、左（右）平移及其平移后得到的函数表达式和图象，并利用二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决生活实际中问题，达到学以致用。 二、教学目标分析1.知识与技能目标：（1）学生通过作图实验归纳总结二次函数y=a(x-h)2+k的图像与性质；（2）学生通过观察感知二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的平移变换规律，并能根据平移规律正确写出平移后的函数解析式、开口方向、对称轴以及顶点坐标。（3）学生能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，并建立数学模型，运用二次函数的知识解决简单的实际问题。2.过程与方法目标：（1）通过学生动手作图、观察、类比、小组合作、归纳总结等方法，学生经历体验二次函数y=a(x-h)2+k性质的探究过程，渗透从特殊到一般、由具体到抽象的思考方法；（2）学会用数形结合的方法思考并解决问题的能力，通过二次函数图像的呈现，去研究其二次函数的平移变换规律，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。（3）通过对实际问题的分析转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活，体会二次函数的意义。（4）体验文字语言转化到数学语言的过程，培养学生的转换能力和分析解决问题的能力。3.情感、态度与价值观目标：（1）鼓励学生主动参与教与学的整个过程中，培养学生交流、合作的意识和探究精神；（2）向学生渗透数形结合的思想，体会通过探究发现的乐趣。（3）让学生感受数学与生活的密切联系，培养运用数学知识解决实际问题的意识。三、学情分析 九年级学生已具备一定的观察、分析、归纳、猜想和推理的能力,所以在教学中应抓住这一特点,一方面运用直观生动的形象教学,引发学生的兴趣,另一方面,要创造条件和机会,使他们的注意力集中在课堂上。从知识技能来看,通过二次函数前三节课的讲授，学生初步掌握了二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a（x-h）2 的图象及其性质。运用图象变换的观点二次函数y=ax2的图象经过一定的平移变换,从而得到二次函数y=ax2+k、y=a（x-h）2 （h0,k0）的图象,也基本掌握了求二次函数的图像性质的方法,所以本节课的学习主要运用数形结合、类比的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。提醒学生注意 “类比”前几节课的内容学习,在对比中加强联系和区别,从而深刻地体会二次函数的图像和性质。在相关的知识学习的过程中,学生已经具有解决一些实际问题的能力,感受到了函数反映的是变化的过程,对函数的表达方式特点也有所了解。同时,从学生小组活动经验基础来看,在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作交流的能力。但学生对知识的掌握并恰当运用还不强。四、教学策略选择与设计设计理念：让学生通过所学知识巩固作函数图象的基本方法，掌握在平面内图象的平移变换，并学会把实际问题转化成数学知识，建立平面直角坐标系，在自主学习得到点的坐标、求出函数解析式、解决问题的具体过程中，深入领会运用二次函数的知识解决简单的实际问题。整体思路：利用所学的二次函数顶点坐标形式，掌握其图象，性质，并运用到实际生活中解决问题。通过学生独立思考、然后小组相互讨论合作，然后归纳总结，教师在学生疑点处适度点拨。五、教学重、难点：教学重点：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质教学难点：二次函数y=a(x-h)2+k的平移变换及其在实际生活中的应用六、教学资源与工具设计利用学校喷泉的实例，电脑、PPT幻灯片，三角板，运用多媒体。y=ax2+ka0yya0 k0 k0开口开口向上开口向下|a|越大，开口越小对称性关于y轴对称顶点(0,k)顶点是最低点顶点是最高点增减性当x0时，y随x的增大而增大当x0时，y随x的增大而减小 七、教学过程 （一）知识回顾1.二次函数y=ax2+k的性质（设计意图：利用表格帮助学生快速复习主要知识，帮助学生快速进入课堂情境时间分配为3分钟）2.说出下列变换的平移方式，并指出其变换后顶点与对称轴。y=ax2 y=ax2+k ( k0,上移k个单位；k0,下移k个单位.顶点（0，k）在y轴上对称轴为x=0即y轴)y=ax2 y=a（x-h）2 ( h0,右移h个单位.顶点（h，0）在x轴上对称轴为x=h.（设计意图：复习所学知识巩固平移知识，并从此引入新知，时间分配为3分钟）新课引入 问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？例3.画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴。怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？教师引导学生解: 1、 先列表-1-1.5-3-5.52、再画图：描点、连线-5.5-3-1.5直线x=1设计意图帮助学生巩固复习用列表描点法，学会利用其画不太熟悉的二次（函数图象。时间分配为5分钟）讨论：1、抛物线 的开口方向、对称轴、顶点？ 解：抛物线 开口向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）。 二次函数图象平移讨论：2、抛物线 与抛物线 有什么关系？ 平移方法一：图象向下平移一个单位，得到的图象，然后向左平移一个单位得到图象。平移方法二：图象向左平移一个单位，得到的图象，然后向下平移一个单位得到图象。（设计意图帮助学生复习平移知识，利用其学会对复杂一些的二次函数的进行平移得到。时间分配为5分钟） 归纳总结：一般地,抛物线y=a(xh)2k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x h)2k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.（ 黑板上板书）平移方法:y=ax2通过向左(右)平移|h|个单位得到y=a(xh)2，通过向上(下)平移|k|个单位y=a(xh)2+k y=ax2通过向上(下)平移|k|个单位y=ax2+k，通过向左(右)平移|h|个单位y=a(xh)2+k抛物线y=a(xh)2+k有如下特点: (1)当a0时, 开口向上;当a0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).（ 黑板上板书）随堂演练1. 完成下列表格:二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2 +5 y=3(x1)22y = 4(x3)27y=5(2+x)26（设计意图巩固二次函数的相关特征，让学生快速作答，小组检查并讨论达到准确无误，完全掌握）1、完成下列表格:二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2 +5向上直线x=3(3,5)y=3(x1)22向下直线x=1(1,-2)y = 4(x3)27向上直线x=3(3,7)y=5(2+x)26向下直线x=2(2,-6)2. 请回答抛物线y = 4(x3)25由抛物线y=4x2怎样平移得到？ 向上平移5个单位，向右平移3个单位3.抛物线y =4(x3)25能够由抛物线y=4x2平移得到吗？不能，平移不改变开口方向（设计意图帮助学生巩固平移知识，并学会判断哪些函数可以相互平移，哪些仅通过平移不能达到目的的，时间分配为5分钟）巩固练习：画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？函数开口方向对称轴顶点最值增减性y=2（x-3）2+3向上x=3(3,3)最小值为3x3，递增y=2（x+3）2-2向下x=-3(-3,-2)最大值为-2x-3，递减；x-2，递减；x-2，递增y=3（x+1）2+1向上x=-1(-1,1)最小值为1x-1，递增y= 2（x-3）2+3 y= 2（x+3）2-2y= 2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1（设计意图帮助学生再次巩固二次函数的相关性质，学生独立完成后，小组检查，相互帮助，纠错，更正，达到每个学生掌握相关知识，时间分配为5分钟） 典型例题 yB(1，3) 例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？302C(3,0)1132x 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数 这段抛物线经过点(3,0) 解得:因此抛物线的解析式为: 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.（黑板上板书）（设计意图引导学生自主建立平面直角坐标系，运用二次函数观点分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步渗透，初步体会运用函数观点解决生活中实际问题。时间分配为8分钟）跟踪训练（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=_. （2） 设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。（3） 抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是_ 。（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是_。（设计意图通个几个简单的问题巩固二次函数基本性质，学会运用所学知识求二次函数表达式。时间分配为5分钟）y=a(x-h)2+k(a0)a0a0开口方向向上向下顶点坐标(h ,k)(h ,k)对称轴x=hx=h增减性当xh时，y随着x的增大而增大。 当xh时，y随着x的增大而减小。极值x=h时,y最小值=kx=h时,y最大值=k抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.当堂小结（设计意图巩固本节课所学二次函数的基本性质，学生通过表格寻求知识的相同点和不同点，加强学生对知识的记忆和理解，时间分配为4分钟）课后作业：1、教材习题22.1 复习巩固 第5题的3、4小题， 综合运用 第7题的