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一 正项级数及其审敛法 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 11 2常数项级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数 这是因为正项级数的部分和数列 sn 是单调增加的 而单调有界数列是有极限 定理1 正项级数收敛的充要条件 定理2 比较审敛法 推论 解 定理2 比较审敛法 设 un和 vn都是正项级数 且un kvn k 0 n N 若级数 vn收敛 则级数 un收敛 若级数 un发散 则级数 vn发散 设 un和 vn都是正项级数 且un kvn k 0 n N 若级数 vn收敛 则级数 un收敛 若级数 un发散 则级数 vn发散 p 级数的收敛性 证 定理2 比较审敛法 例2证明级数是发散的 因为 而级数发散 故所给级数发散 定理3 比较审敛法的极限形式 解 解 定理3 比较审敛法的极限形式 例4判别级数的敛散性 因为 而级数发散 故所给级数发散 定理4 比值审敛法 达朗贝尔判别法 解 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 例5用比值审敛法判定级数的收敛性 级数的一般项为 因为 所以 根据比值审敛法可知所给级数发散 所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 解 定理4 比值审敛法 达朗贝尔判别法 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 例6用比值审敛法判定级数的收敛性 因为 提示 所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 解 定理4 比值审敛法 达朗贝尔判别法 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 定理5 根值审敛法 柯西判别法 所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 例8用根值审敛法判定级数的收敛性 定理5 根值审敛法 柯西判别法 所以当b a时级数收敛 当b a时级数发散 因为 解 收敛 当 1 或 时级数发散 当 1时级数可能收敛也可能发散 例9用根值审敛法判定级数其中an a n an b a均为正数的收敛性 定理6 极限审敛法 因为 解 根据极限审敛法 知所给级数收敛 定理6 极限审敛法 因为 解 根据极限审敛法 知所给级数收敛 二 交错级数及其审敛法 交错级数交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 例如 二 交错级数及其审敛法 交错级数交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 定理7 莱布尼茨定理 1 un un 1 n 1 2 3 则级数收敛 且其和s u1 其余项rn的绝对值 rn un 1 这是一个交错级数 解 由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和s u1 1 则级数收敛 且其和s u1 其余项rn的绝对值 rn un 1 定理7 莱布尼茨定理 因为此级数满足 例12判定级数是否收敛 三 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛 例如 三 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛与条件收敛
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