高中数学第三章空间向量与立体几何3_1_3空间向量基本定理3_1_4空间向量的坐标表示课件苏教版选修2_1

3 1 3空间向量基本定理3 1 4空间向量的坐标表示 学习目标1 理解空间向量基本定理 并能用基本定理解决一些几何问题 2 理解正交基底 基向量及向量的线性组合的概念 3 掌握空间向量的坐标表示 能在适当的坐标系中写出向量的坐标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间向量基本定理 思考1 平面向量基本定理的内容是什么 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 其中 不共线的e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 答案 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗 不一定 只需三个向量不共面 就可作为空间向量的一组基底 不需要两两垂直 答案 思考2 梳理 空间向量基本定理 1 定理内容 条件 三个向量e1 e2 e3 结论 对空间中任一向量p 存在惟一的有序实数组 x y z 使 不共面 p xe1 ye2 ze3 2 基底 不共面 基底 e1 e2 e3 垂直 单位向量 i j k 3 推论 条件 O A B C是的四点 结论 对空间中任意一点P 都存在惟一的有序实数组 x y z 使得 不共面 知识点二空间向量的坐标表示 思考1 对于空间任意两个向量a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 若a与b共线 则一定有吗 不一定 当b中的x2 y2 z2中存在0时 式子无意义 故此种说法错误 答案 思考2 若向量 x1 y1 z1 则点B的坐标一定为 x1 y1 z1 吗 不一定 由向量的坐标表示知 若向量的起点A与原点重合 则B点的坐标为 x1 y1 z1 若向量的起点A不与原点重合 则B点的坐标就不为 x1 y1 z1 答案 梳理 1 空间向量的坐标表示 向量a的坐标 在空间直角坐标系O xyz中 分别取与x轴 y轴 z轴方向相同的向量i j k作为基向量 对于空间任意一个向量a 根据空间向量基本定理 存在的有序实数组 使 有序实数组叫做向量a在空间直角坐标系O xyz中的坐标 记作 单位 惟一 x y z x y z a xi yj zk a x y z 2 空间中有向线段的坐标表示设A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 坐标表示 语言叙述 空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的 x2 x1 y2 y1 z2 z1 终点 坐标减去它的起点坐标 3 空间向量的加减法和数乘的坐标表示设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 试根据下面的提示填空 4 空间向量平行的坐标表示若a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 且a 0 则a b b1 a1 b2 a2 b3 a3 R a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 题型探究 类型一空间向量基本定理及应用 命题角度1空间基底的概念 解答 由向量共面的充要条件知存在实数x y 基底判断的基本思路及方法 1 基本思路 判断三个空间向量是否共面 若共面 则不能构成基底 若不共面 则能构成基底 2 方法 如果向量中存在零向量 则不能作为基底 如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示 则不能构成基底 假设a b c 运用空间向量基本定理 建立 的方程组 若有解 则共面 不能作为基底 若无解 则不共面 能作为基底 反思与感悟 跟踪训练1以下四个命题中正确的是 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 若 a b c 为空间的一个基底 则a b c全不是零向量 如果向量a b与任何向量都不能构成空间的一个基底 则一定有a与b共线 任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 答案 解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示 故 不正确 正确 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底 故 正确 空间向量基底是由三个不共面的向量组成的 故 不正确 命题角度2空间向量基本定理的应用 解答 引申探究若将本例中的 G是 ABC的重心 改为 G是AD的中点 其他条件不变 应如何表示 解答 用空间向量基本定理时 选择合适的基底是解题的关键 反思与感悟 解答 连结AC AD 解答 解答 解答 类型二空间向量的坐标表示 解答 例3棱长为1的正方体ABCD A B C D 中 E F G分别为棱DD D C BC的中点 以为基底 求下列向量的坐标 解答 引申探究 解答 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤 答案 解析 OM 2MA 点M在OA上 类型三空间向量的坐标运算及应用 例4已知空间三点A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 解答 假设存在x y R满足条件 由已知可得 2 1 2 由题意得 1 0 2 x 1 1 0 y 2 1 2 所以 1 0 2 x 2y x y 2y 所以存在实数x 1 y 1使得结论成立 解答 反思与感悟 向量的坐标可由其两个端点的坐标确定 即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标 特别地 当向量的起点为坐标原点时 向量的坐标即是终点的坐标 进行空间向量的加减 数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质 b a t 1 2t 1 0 跟踪训练4已知a 1 t 1 t t b 2 t t 求 b a 的最小值 解答 当堂训练 正确 作为基底的向量必须不共面 正确 不正确 a b不共线 当c a b时 a b c共面 故只有 正确 1 有下列三个命题 三个非零向量a b c不能构成空间的一个基底 则a b c共面 不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底 若a b是两个不共线的向量 而c a b R且 0 则 a b c 构成空间的一个基底 其中为真命题的是 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 依题意 得b a 1 2 1 a 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 2 已知a 1 2 1 a b 1 2 1 则b 答案 解析 2 4 2 2 3 4 5 1 4a 2b 4 3 2 1 2 2 4 0 12 8 4 4 8 0 8 0 4 3 已知向量a 3 2 1 b 2 4 0 则4a 2b 答案 解析 8 0 4 2 3 4 5 1 根据已建立的空间直角坐标系知A 0 0 0 C1 2 2 1 D1 0 2 1 则的坐标为 0 2 1 的坐标为 2 2 1 4 如图所示 在长方体ABCD A1B1C1D1中建立空间直角坐标系 已知AB AD