随机变量及其分布.ppt

掷一颗骰子面上出现的点数 七月份郑州的最高温度 每天从郑州下火车的人数 昆虫的产卵数 掷一枚硬币 观察出现正面还是反面 灯泡的寿命 第二章随机变量及其分布 一 随机变量的概念 二 离散型随机变量及其分布 三 连续型随机变量及其分布 四 随机变量函数的分布 X e e 随机变量是定义在样本空间上的单值实函数 1随机变量的概念 定义 设E是随机试验 称X e 为随机变量 简记为r v 单值实函数X e 一 随机变量的定义 它的样本空间为S e 如果对于样本空间的每一个e 都有一个实数X e 与之对应 这样就得到一个定义在样本空间S上的 随机变量通常用大写字母X Y Z或希腊字母等表示 而表示随机变量所取的值时 一般采用小写字母x y z等 定义 设E是随机试验 称X e 为随机变量 简记为r v 单值实函数X e 它的样本空间为S e 如果对于样本空间的每一个e 与之对应 这样就得到一个定义在样本空间S上的 都有一个实数X e 二 随机变量的分类 通常分为两类 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有可能取值为有限个或无穷可列个 所有可能取值连续的充满某一个区间 非离散型随机变量 取值的概率分别为p1 p2 pk 一 离散型随机变量的分布律 其所有可能的取值为x1 x2 xk 2离散型随机变量及其分布律 定义 X为离散型随机变量 用表格形式表示为 k 1 2 其中 k 1 2 满足性质 k 1 2 1 非负性 2 归一性 p1p2 pk x1x2 xk X pi X的概率分布或分布律 离散型随机变量落在一个区间内的概率等于这个区间所包含的取值点的概率作和 例1袋中有5个球 分别编号为1 2 3 4 5 从中任取3个球 求取出的3个球中的最大号码数X的分布律 X的所有可能的取值为 解 345 X pi X的分布律为 3 4 5 例2一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号灯显示的时间相等 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 求X的概率分布 解答 例2一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号灯显示的时间相等 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 求X的概率分布 解答 例2一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号灯显示的时间相等 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 求X的概率分布 解答 例2一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号灯显示的时间相等 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 求X的概率分布 解答 由概率分布的性质知 从中解得 解 即有 二 常见的离散型随机变量的分布 1 0 1 分布或两点分布 若随机变量X的分布律为 则称X服从 0 1 分布或两点分布 0 p 1 01 X pk p 1 p 若试验E只有两个可能结果 伯努利 Bernoulli 试验 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 定义 A或 则称试验E为伯努利试验 若在相同的条件下将伯努利试验E独立地重复进行n次 n重伯努利试验具有以下特点 1 每次试验条件相同 2 每次试验只有两个对立的结果A或 且P A p 0 p 1 3 各次试验相互独立 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 若在相同的条件下将试验E独立地重复进行n次 若试验E只有两个可能结果 A或 则称试验E为伯努利试验 n重贝努里试验中事件A发生k次的概率 k 0 1 2 n 用X表示n重贝努里试验中事件A出现的次数 k 0 1 2 n n重伯努利试验具有以下特点 1 每次试验条件相同 2 每次试验只有两个对立的结果A或 且P A p 0 p 1 3 各次试验相互独立 则 则称r vX服从参数为n和p的二项分布 X b n p 记作 此时X服从 0 1 分布 若随机变量X的分布律为 2 二项分布 当n 1时 例5已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 依题意 每次试验取到次品的概率为 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 则 X b 解 3 0 05 0 05 例6已知100个产品中有5个次品 现从中无放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 例7按规定 某种型号的电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品 已知某一大批产品的一级品率为0 2 现从中随机抽查20只 求20只元件中恰有k只 k 0 1 2 20 为一级品的概率 设X为20只元件中的一级品数 于是所求概率为 则 X b 解 20 0 2 k 0 1 2 20 例8某人进行射击 设每次射击的命中率为0 001 独立射击5000次 求命中次数不少于1次的概率 解 则X b 5000 0 001 令X表示命中次数 所求概率为 问题 如何计算 二项分布的泊松近似 泊松定理 设是一个正整数 n为任意正整数 则对任一固定的非负整数k 有 此定理表明 当n很大 p很小时有以下近似式 其中 3 泊松分布 若随机变量X的分布律为 则称X服从参数为的泊松分布 其中 0是常数 记作 X P 或X 例9某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用的泊松分布来描述 为了以95 以上的把握保证不脱销 问商店在月底应存有多少件该种商品 假设只在月底进货 解答 练习1在保险公司里有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险 在每一年里每个人死亡的概率为0 002 每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费 而在死亡时 家属可从保险公司里领取2000元赔偿金 求保险公司亏本的概率是多少 依题意 X可取值为 P X 0 设Ai 第i个路口遇红灯 i 1 2 3 例2解 0 1 2 3 1 2 P A1 P 1 4 P X 1 P 1 8 P X 2 1 8 P X 3 P 0123 X pi X的分布律为 某电话交换台收到的电话呼叫数 到某机场降落的飞机数 一个售货员接待的顾客数 一台纺纱机的断头数 一放射性源放射出的粒子数 例如 则当时就不会脱销 设月底存货为a件 查泊松分布表可得 于是这家商店只要在月底保证存货不少于15件就能以95 以上的把握保证下月