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理论力学多媒体课件 主讲 蒋士亮教授单位 广西民族大学物理与电子工程学院 教材蓝本 面向21世纪课程教材 金尚年 马永利编著 理论力学 第二版 北京 高等教育出版 2002 主要参考书 1 陈世民 理论力学简明教程 北京 高等教育出版社 2001 2 H Goldstein ClassicalMechanics SecondEdition Cambridge Addison Wesley 1980 3 蒋士亮 理论力学学习导引 桂林 广西师范大学出版社 1997 内容设计蒋士亮教授何良明 脚本蒋士亮教授何良明 多媒体制作赵迎新老师 刘杰 何良明 动画制作吴礼燕老师 文字录入盘佳秀 一 力学 与理论力学 经典力学绝对时空v 光速 一般力学固体力学流体力学交缘力学 量子力学 宏观 绪论 研究杆状构件的强度 刚度和稳定性 研究杆系结构的强度 刚度和稳定性 流体力学 弹性力学 固体力学 材料力学 结构力学 研究非杆结构在弹性阶段的强度 刚度和稳定性 研究流体受力与运动规律 理论力学 属于一般力学 包括 研究质点系机械运动一般规律 静力学 运动学和动力学 绪论 二 研究内容 包括几何静力学 分析静力学 应用 变形固体 块 板 壳 杆与杆结构 三大关系 1 静力学 研究物体所受力系的简化平衡规律及其应用 质点系 刚体 流体 平衡 几何 物理 绪论 2 运动学 与力无关 也是变形体运动基础 3 动力学 包括质点系 刚体 变形体的动力效应 研究点与刚体运动的几何性质 研究物体所受力与运动间的关系 包括位移 轨迹 速度 加速度 绪论 三 力学模型 1 基本模型 2 一般模型 理想流体 无粘性 质点系 基本理论 包括一切模型 质点 具有质量的几何点 刚体 任何两点距离不变的几何体 变形固体 连续 均匀 各向同性或各向异性假设 分为宏 细 微三层次 流体 绪论 地震学中视为多相变形固体 土木工程中视为弹性半空间 地球 天文学中视为质点或刚体 绪论 3 特殊模型 温度变化 电磁效应 支座移动 加工误差等 工程系统的计算简图 结构与机构 形状 联结 铰接 限制平移 可转动刚结 限制平移与转动弹性 可变形 荷载 恒载与活载静载与动载表面力与体积力分布力与集中力 其它外因 绪论 四 研究途径与方法 1 途径 分理论体系与工程应用两条 绪论 分析力学 从两个基本原理出发 公理化 静力学 从5条公理出发 动力学 从牛顿三大定律出发 数学方法 矢量分析 代数方程 微分方程 计算机方法 数值计算 过程仿真 实验方法 机械测试 电测 光测等 开拓新方法 校核 优化设计 响应 参数识别 系统几何物理特性 逆问题 培养能力 抽象与逻辑思维 运动 变形与受力分析 计算模型与方法的选择 1 经典方法分析能力 绪论 2 创新能力 创造新思想 新方法 新产品的能力 创新思维特点 发散性 多向性 开放性 一题多解 多问 多变 探索性 寻找新问题与新途径 由被动接收 主动索取 想象性 想象力比知识更重要 3 考研 土木 力学 机械 航天研究生必考课程之一 科技创新 需要高级力学人才 绪论 第一章牛顿动力学方程 内容 经典力学立论的理论基础 牛顿力学的基本定律和定理 牛顿动力学方程及其应用 解题指导 重点 牛顿动力学方程及其应用难点 角动量概念和角动量定理 牛顿在伽利略 开普勒工作的基础上建立了完整的经典力学理论 这是现代意义下的物理学的开端 经典力学理论的基础是质点运动三条定律 其核心是牛顿动力学方程 1 1经典力学立论的理论基础 包括 三个观点 物质观 时空观 运动观 和四条推理规则 简单性原理 因果性原理 统一性原理 真理性原理 物质观 所有的物质都由原子的微粒组成 原子间存在互相吸引力和排斥力 可以凝聚分离 构成万物及运动 时空观 绝对时空观 时间是一维的 均匀的 无限的 与空间和物质都无关 牛顿的绝对时间 可用一条长的直线表示时间 空间是三维的 各向同性的 均匀的 无限的 与时间和物质都无关 牛顿的绝对空间 可用一直角坐标系表示空间 原点为空间任一点 正交的三个坐标轴方向可以任意选取且可向正负方向无限延伸 任一质点在空间的位置均可用坐标系中的三个坐标值表出 绝对时间和绝对空间构成了牛顿力学的绝对时空观 运动观 内容包括 力学的最高原理 牛顿三定律和力学相对性原理的确立 万有引力定律的发现 简单性原理 凡科学上正确的东西都是简单的 因此 力求用简单的方法和形式解决科学问题 表述科学结论 因果性原理 即决定论 绝对性原理 指物质观 时空观 运动观对整个自然都是普遍适用的 是自然哲学的根本所在 真理性原理 既承认客观真理的存在 同时又承认人们在一定认识阶段的认识只能接近真实 即承认相对真理的存在 真理性原理是绝对真理与相对真理结合的观点 四条哲学推理规则是自然科学认识论 方法论的准则 是学习 研究自然科学强大的思想武器 牛顿第二定律的数学表达 设质量为m的物体 质点 沿曲线C运动 所受到的力为 当物体的质量不变时 牛顿第二定律的表示为 式 1 3 在常用的坐标系中的分量式分别为 1 1 则式 1 1 可写为 1 3 直角坐标系 方程 1 3 可表示为 2 平面极坐标系 1 7 1 8 1 10 加速度为 1 11 1 12 3 球坐标系 因此 牛顿第二定律可表示为 位矢和速度为 4 柱坐标 1 22 位矢和速度为 牛顿第二定律为 1 25 5 自然坐标与内禀方程 设质点沿着某一空间曲线MN运动 在轨道MN上的任意点P作密切平面 在密切平面内过P点作切线 和法线n 再作直线b 使三者的方向关 系为 即互相 b称为次法线 和 构成的平面 称为法平面 与 组成的平面称为直切平面 轨道上每一点 都可作出这样的三条正交的直线 以 n b为坐标轴构成空间自然坐标系 用 表示其单位矢量 显然 随着质点的运动 方向随时间t而变化 1 26 质点在任意时刻 P点 的速度和加速度分别为 如图1 9所示 所以加速度为 1 3动力学基本定理 1 3 1动量定理 1 质点系动量定理 1 29 方程 1 30 表明 质点系动量的变化率等于体系所受到的合外力 质点系动量定理 方程中体系中的的内力完全不出现 2 质点系动量守恒定理 即质点系动量不变 质点系动量守恒定律 质点系动量不守恒 但在某一定方向 例如x方向 的合外力 则在该方向动量守恒 例如外力仅为重力时 质点系水平方向动量守恒 您能举出系统总动量不守恒而在水平方向动量守恒的实例吗 3 质心运动定理 质点系的动量 式中 1 35 质点系的动量定理可改写成 1 36 质心运动定理只描述质点系质心的平移 不涉及质点系相对于质心的空间取向 而且质心运动状态的变化取决于质点系所受的外力 而与内力无关 内力可以改变质点系内质点的运动状态 不能改变质心的运动状态 质点系可以是离散的质点组或可变形的柔体 如京剧演员 跳水运动员 或不发生形变的刚体 也可以是运动过程将发生爆炸的炮弹 在这些体系中质心运动定理都成立 如跳水运动员在空中卷缩 抱膝 翻滚 伸展多姿多态 而其质心的运动遵循抛体运动规律 轨迹为抛物线 1 3 2角动量定理 1 角动量 1 37 称为质点对坐标原点O的角动量 或动量矩 是描述物体运动特性的重要物理量之一 质点系的角动量定义为 1 38 2 质点系对惯性系中固定的角动量定理 式 1 38 两边对t求导 上式中内力矩和 于是 1 39 上式表示 质点角动量的变化率等于作用在质点在质点系上所有外力矩的和 与体系内部的相互作用无关 质点系对惯性系中固定点的角动量定理 2 角动量守恒定律 如果质点系所受到的外力矩为零 则体系角动量守恒 1 40 若在某一固定方向的外力矩为零 则角动量在该方向的分量守恒 宇宙中存在着各种层次的天体系统 它们都具有旋转的盘状结构 例如银河系 最初是一团极大的弥漫气体云 具有一定的初角动量 在自身引力作用下收缩 聚集而成现在的形态 由于角动量守恒 银河系演变成了朝一个方向旋转的盘状结构 图1 12 3 质心系中的角动量定理 上式表明 质点系对质心的角动量变化率等于作用在质点系上的外力对质心的力矩的和 对质心的角动量定理 与惯性系中的角动量形式相同 1 3 3能量定理 1 质点系动能定理 质点系的动能 1 42 对上式两边微分得 即 1 43 上式表示 质点系动能的增加等于外力和内力所做的元功之和 质点系动能定理 2 寇尼希 K nig 定理 如图1 10所示 质点系动能 1 44 1 45 式中 为质点系相对于质心的动能 1 44 式表示 质点系的总动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心速度运动的动能 加在各质点相对于质心系的动能 寇尼希定理 3 质心系的动能定理 质点系动能的微分为 根据寇尼希定理 1 46 4 机械能守恒定律 上式为质心系中的动能定理 与惯性系中的动能定理的形式一样 因此得 1 47 则存在某一单值标量函数V x y z 且 1 49 1 48 则力所做的功为 由质点的动能定理 1 4牛顿力学理论的应用例题 例1 长距离自由落体 试求彗星在万有引力作用下从距太阳a处到b处所用的时间 其中a b R R为太阳半径 解 取图示的直角坐标 其运动微分方程为 积分 得 令 代入上式 例2 两个小环套在一悬挂着的大环上沿大环滑动 解 大环和小环各受哪些力作用 如图1 15 大环在竖直方向所受的合力为 F T 2Ncos m g 1 2 3 小环沿大环运动的微分方程为 由 3 式 有 积分上式得 4 4 式代入 2 式可得 5 5 式代入 1 式 6 当合力F 0时大环上升 这时T 0 于是 6 式化为 上式成立的条件为 因此 大环可上升的条件为 大环开始上升时小环所处的位置为 解 半径为R的圆周沿x轴纯滚动时 圆周上一点P x y 的轨迹即为摆线 本题给出摆线方程 求质点运动的加速度的大小 摆线方程通常表成直角坐标形式 如图1 16所示 1 上式为M点的运动学方程 直角坐标形式 称为摆线 式旋轮线 参数方程 积分得 2 则 2 式为 将弧坐标原点移至4R处 上式为 3 3 式为以弧长为变量的摆线方程 轨迹方程 可见 切向加速度和法向加速度随质点的位置改变变化 但总的加速度的大小是常量 例4 变质量方块串的运动 解 以桌面上 水平方向 和竖直方向两部分方块串为研究对象 它们的质量在运动过程中不断变化 是变质量运动问题 其运动方程分别为 1 2 在转角处 方块串微元 的运动方程为 3 代入 1 2 式 并相减 得 例5 带电粒子在电磁场中的运动 的电磁场中的运动规律 磁感应强度为 求电荷量为q 质量为m的带电粒子在电场强度为 解 1 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 运动方程 1 2 粒子受什么力作用 速度 3 动能 或 4 即粒子的动能守恒 何故 方程 2 的分量式为 5 式中 6 称为粒子的回旋频率 是等粒子体物理学中一个重要的特征量 运动轨迹 将 5 式中的第一 二两式再对t求导 得 7 积分可得 10 回旋方向与q的正负有关 见图1 18 对于静止观察者 带电粒子绕磁感应线作螺旋运动 其轨迹形成一个螺旋管 见图1 19 2 带电粒子在均匀恒定电磁场中的运动 设磁场和电场的方向为 牛顿力学方程的分量为 11 积分 11 中的第三式 很容易求得沿磁场方向的速度 12 上式表明带电粒子沿磁场方向作匀加速度运动 对t再求导一次 然后连续积分两次 可得 13 14 地球是一个磁体 周围有地磁场存在 地球的大气层中有由大量的带电粒子 电子 正离子 负离子 构成的电离层 电离层中的带电粒子的正负总电荷相等 但不是中性的而是呈电性的称为等离子体 太阳也是由等离子体组成的 不断从太阳吹向地球的所谓 太阳风 实际上就是带电粒子流 这些带电粒子受到地磁场的作用时 形成丰富的物理现象 因此 本例讨论的带电粒子在电磁场中的运动是一个很有实际意义的力学问题 1 5解题指导 1 习题类型及基本解法 牛顿动力学问题大体上分为两类 2 解题的思路和步骤 确定研究对象 并隔离出来 选取适当的坐标系 对研究对象进行受力分析和运动分析 根据已知条件和所求的量 确定解题方法 建立方程 解方程 求出要求的量 必要时对结果进行讨论 3 范例 例1 质点在粘性介质中的运动 1 质量为m的质点无初速度地自离地面为h处竖直 初始条件为 t 0时 积分上式 得 2 3 讨论 当t 时 质点的速度 这时质点作匀速直线运动 为什么 解 在图1 20的坐标系中 质点的运动微分方程为 1 2 积分 2 式得 讨论 当t 时 1 故极限速度为 小结 求解物体在介质阻力作用下的运动问题需注意以下几点 1 介质对物体的阻力规律是很复杂的 因为阻力的大小与运动物体的形状 大小和介质的物理性质 温度 粘性系数 密度等 以及物体运动的速度有关 通常用下式表示 例3 质点的约束运动 解 本题是质点的约束运动问题 属动力学的逆问题 已知质点运动轨迹 故采用自然坐标法较简便 质点受哪些力作用 如图1 21 质点运动微分方程为 思考 式右边为何为 由 2 式 因 将 式代入 式 得 在顶点O处 x 0 0 所以 N mg mg 2mg 再分析两个约束问题的例题 例4 质点在重力作用下沿竖直平面内光滑的旋轮线运动 旋轮线的参数方程为 将 式代入 式 式为质点振动微分方程 式中 为圆频率 则周期 解 采用自然坐标法 设t 0时 积分 式 得 因 弧坐标s 0 质点运动微分方程为 因 代入 式 得 小结 应用自然坐标系的内禀方程求解约束运动问题时应注意以下几点 1 解约束问题的基本方法是 将约束去掉代之以相应的约束反力 从而把质点当自由质点处理 2 约束力的大小 方向和作用点随约束物的性质 质点的运动状态和质点所受的其他力而变 在理想约束下 约束力方向沿曲线或曲面的法线 因此 采用自然坐标系中的内禀方程较为简便 因为约束力只在微分方程的法向分量中出现 这样约束质点的运动规律和约束力可以分别在微分方程切向分量和法向分量中进行计算 这是用内禀方程解约束问题的优点 3 矢量在自然坐标系中切向和法向分量 内禀方程中的切向分力和法向分力可正可负 设O1PM为OXY平面上任意曲线 质点运动轨迹 如图1 23所示 A为该平面上任一矢量 则A的切向分量和法向分量分别为 1 的一般形式 5 自然坐标系内禀方程符号规则 2 3 此式为质点在重力和约束反力作用下内禀方程的一般式 按以上符号规则选定切线和法线正向并确定内禀方程中各项的符号 其优点是 解 1 用动量定理解 约束方程为 3 由 3 式 得 代入 2 式 得 2 用动能定理和动量矩定理解 根据动能定理 有 由动量矩定理有 4 为常数 所以 4 式为 由 1 式 3 2 用动量矩定理和动量定理理解 在切向应用对O点的动量矩定理和在法向应用动量定理 得 将第一式积分