第3章 平面问题的直角坐标解答.pdf

1 第三章平面问题的直角坐标解答 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1 逆解法与半逆解法多项式解答 3 2 矩形梁的纯弯曲 3 3 位移分量的求出 3 4 简支梁受均布荷载 3 5 楔形体受重力和液体压力 例题讲解 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1 逆解法和半逆解法 多项式解法 1 逆解法和半逆解法 多项式解法 1 当体力为常量 按应力函数求解平面 应力问题时 应满足 1 当体力为常量 按应力函数求解平面 应力问题时 应满足 按求解 4 0 a S b xyxxyxyy ss lmfmlf 多连体中的位移单值条件 c S 上应力边界条件 A内相容方程 2 第三章平面问题的直角坐标解答 对于单连体 c 通常是自然满 足的 只须满足 a b 由求应力的公式是 2 2 xf y xx 2 2 yf x yy 2 yx xy d 第三章平面问题的直角坐标解答 2 逆解法逆解法 先满足 a 再满足 b 步骤 0 4 sxyyy sxyxx l m f m l f e 逆解法 xyyx 先找出满足的解 在给定边界形状S下 由式 b 反推出 各边界上的面力 代入 d 求出 3 第三章平面问题的直角坐标解答 从而得出 在面力 e 作用下的 解答 就是上述和应力 逆解法 逆解法没有针对性 但可以积累 基本解答 第三章平面问题的直角坐标解答 例2 二次式 分别表示常量 的应力和边界面力 如图示 例1 一次式对应于无体力 无面力 无应力状态 故应力函数加减 一次式 不影响应力 axbyc 22 cybxyax 逆解法 2a 2a o y x o y x o y x b b b b 2c2c 4 第三章平面问题的直角坐标解答 例3 逆解法 设图中所示的矩形长梁 l h 试考 察应力函数能解决什么 样的受力问题 43 2 22 3 yhxy h F y x o l h 2 h 2 l h 第三章平面问题的直角坐标解答 解 按逆解法 1 将代入相容方程 可见是 满足的 有可能成为该问题的解 0 4 2 由求出应力分量 41 2 3 0 12 2 2 2 2 2 32 2 h y h F yx x h Fxy y xy y x 5 第三章平面问题的直角坐标解答 因此 在的边界面上 无任何 面力作用 即 3 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力 在主要边界 大边界 上 2 hy 0 y 0 yx 2 hy 0 xy ff 第三章平面问题的直角坐标解答 在x 0 l的次要边界 小边界 上 41 2 3 12 41 2 3 0 0 2 2 3 2 2 0 0 h y h F f y h Fl fxlx h y h F f fxx lxxyy lxxx xxyy xxx 面正 面负 6 第三章平面问题的直角坐标解答 在x 0 l 小边界上的面力如下图 中 a 所示 而其主矢量和主矩如 b 所示 由此 可得出结论 上述应力函数可以 解决悬臂梁在 x 0 处受集中力F作用的问 题 yx ff F F M a b x f y f y f 第三章平面问题的直角坐标解答 FF M a b 7 第三章平面问题的直角坐标解答 代入 解出 3 半逆解法半逆解法 步骤 0 4 半逆解法 由应力 d 式 推测的函数形式 假设应力的函数形式 根据受力情 况 边界条件等 第三章平面问题的直角坐标解答 由式 d 求出应力 半逆解法 校核全部应力边界条件 对于多连体 还须满足位移单值条件 如能满足 则为正确解答 否则修改假 设 重新求解 8 第三章平面问题的直角坐标解答 思考题 半逆解法 1 在单连体中 应力函数必须满足哪些条 件 逆解法和半逆解法是如何满足这些条 件的 2 试比较逆解法和半逆解法的区别 第三章平面问题的直角坐标解答 3 2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 梁l h 1 无体力 只受M作用 力矩 单宽 与力的量纲相同 本题属于纯弯曲 问题 问题提出 h 2 h 2 ly x l h o M M 9 第三章平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出 可取 且满足 求应力 0 4 6ay x 0 xyy 3 ay a 求解步骤 0 4 本题是平面应力问题 且为单连体 若按求解 应满足相容方程及 上的应力边界条件 ss 第三章平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件 原则是 边界条件 b 后校核次要边界后校核次要边界 小边界 若不 能精确满足应力边界条件 则应用圣维南 原理 用积分的应力边界条件代替 a 先校核主要边界先校核主要边界 大边界 必须 精确满足应力边界条件 10 第三章平面问题的直角坐标解答 主要边界主要边界 2 hy 0 2 hyy 2 0 b xyyh 从式 a 可见 边界条件 b 均满足 0 0 lxxy 满足 主要边界 次要边界次要边界 x 0 l c 的边界条件无法精确满足 x 第三章平面问题的直角坐标解答 次要边界 2 0 2 2 0 2 d10 d d1 h xxl h h xxl h y yyM 用两个积分的条件代替 11 第三章平面问题的直角坐标解答 当时 即使在边界上面力 不同于 的分布 其误差仅影响梁的两端 部分上的应力 式 d 的第一式自然满足 由第二式得出 3 2hMa 最终得应力解 12 3 y I M y h M x e hl lx 0 x 0 xyy 第三章平面问题的直角坐标解答 如果区域内的平衡微分方程已经满足 且 除了最后一个小边界外 其余的应力边界条件 也都分别满足 则我们可以推论出 最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件 即主矢 量 主矩的条件 必然是满足的 因此可以不 必进行校核 试对此结论加以说明 思考题 12 第三章平面问题的直角坐标解答 3 3 位移分量的求出位移分量的求出 在按应力求解中 若已得出应力 如何 求出位移 在按应力求解中 若已得出应力 如何 求出位移 以纯弯曲问题为例 已知 y I M x 0 xyy 试求解其位移 问题提出 第三章平面问题的直角坐标解答 1 由物理方程求形变 0 1 2 1 1 xyxy xyy yxx E y EI M E y EI M E 求形变 13 第三章平面问题的直角坐标解答 2 代入几何方程求位移 a b 0 x y xy uM y xEI vM y yEI vu c xy 求位移 第三章平面问题的直角坐标解答 对式 a 两边乘积分 xd 1 yfxy EI M u 对式 b 两边乘积分 yd 2 2 2 xfy EI M v 求位移 y EI M x u y EI M y v 14 第三章平面问题的直角坐标解答 再代入 c 并分开变量 21 d d dd fxfyMx EIxy 上式对任意的x y都必须成立 故 两边都必须为同一常量 求位移 0 x v y u 第三章平面问题的直角坐标解答 由此解出 10 2 20 2 fyyu M fxxxv E I 求位移 0 22 0 22 M uxyyu EI MM vyxxv EIEI 得出位移为 3 待定的刚体位移分量 00 v u 须由边界约束条件来确定 15 第三章平面问题的直角坐标解答 2 代入几何方程 积分求 归纳 从应力求位移步骤 从应力求位移步骤 vu 00 u v 3 由边界约束条件确定确定刚体位移分量 1 由物理方程求出形变 第三章平面问题的直角坐标解答 2 铅直线的转角故在任一截面x 处 平面截面假设成立 纯弯曲问题的讨论 1 弯应力与材料力学的解相同 x uM x yEI 3 纵向纤维的曲率同材料力学的结 果 故在纯弯曲情况下 弹性力学解与材料力 学解相同 EI M x v 2 2 1 16 第三章平面问题的直角坐标解答 思考题 2 试证明刚体位移实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量 并应用本节的解答加以 验证 提示 微分体的转动分量为 00 u v y u x v w 2 1 1 弹性力学中关于纯弯曲梁的解答 与材料力学 的解答在应力 形变等方面完全 一致 由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立 第三章平面问题的直角坐标解答 3 4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载 简支梁 受均布荷载 及两端支撑反 力 12 hl q ql 问题 q ql ql y x o ll h 2 h 2 17 第三章平面问题的直角坐标解答 2 1 2 x Mq lxq lx 2 123 x x f yxfyfy xys Fqlq lx 12 xy xfyfy y q 常数 y f y 现采用此假设 半逆解法 按半逆解法半逆解法求解 假设应力分量 由材料力学 xsy M F q 因为 因为 所以 可假设 所以 可假设 因为 所以 可假设 2 2 xl q xlql xlqql 第三章平面问题的直角坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式 由 2 2 yf x y 对x 积分 1 yfyxf x 2 12 2 x fyxfyfy 对x再积分 a 半逆解法 18 第三章平面问题的直角坐标解答 将代入相容方程 求解 0 d d 2 d d d d d d 2 1 2 2 4 2 4 4 1 4 2 4 4 y yf y yf x y yf x y yf 相容方程对于任何均应满足 故yx 012 xxx 的系数均应等于0 由此得三个常微分方程 半逆解法 第三章平面问题的直角坐标解答 610 2345 2 23 1 23 KyHyy B y A f GyFyEyf DcyByAyf 显然G0 K0对解无影响 式 b 中已略 去对于的一次式 b 半逆解法 解出 2 23 2 DCyByAy x 0 23 GGyFyEyx 610 0 2345 KKyHyy B y A 代入 a 式 得到 19 第三章平面问题的直角坐标解答 对称性条件 由于结构和荷载对称于 轴 故应为的偶函数 为 x的奇函数 故 由求应力 y yx x xy 0 GFE 半逆解法 在无体力下 应力公式如书中式 f g h 所示 2622 26 26 2 23 2 2 2 KHyByAyFEyxBAy x y x 23 2 2 DCyByAy x y 23 23 22 2 GFyEyCByAyx yx xy f g h 第三章平面问题的直角坐标解答 考察边界条件 0 0 2 2 2 hyxy hyy hyy q 由上述条件组成四个独立方程 解出系数 A B C D 主要边界主要边界 02 hy 主要边界 3 2 h q A 0 B h q C 2 3 2 q D 20 第三章平面问题的直角坐标解答 次要边界 右边界 次要边界 右边界 dy lx h h x 01 2 2 次要边界 积分得到 K 0 应用圣维南原理 列出三个积分条件 lx 1 2 2 3 33 2 0 26 46 h h dyKHyy h q y h ql ydy lx h h x 01 2 2 2 2 2 3 33 2 0 6 46 h h ydyHyy h q y h ql 第三章平面问题的直角坐标解答 qldy h h lxxy 1 2 2 次要边界 积分得到 积分后 可见这一条件自然满足 另一次要边界 x l 的条件 自然满足 h q h ql H 10 3 2 3 2 2 3 2 2 36 h h qldy h ql y h ql 21 第三章平面问题的直角坐标解答 最后应力解答 5 3 4 6 2 2 22 3 h y h y qyxl h q x 5 3 4 2 2 h y h y qy I M 应力 4 6 2 2 3 bI SF y h x h q S xy 2 1 1 2 2 h y h yq y 第三章平面问题的直角坐标解答 应力的量级应力的量级 当时 x l同阶 y h同阶 hl x 第一项同阶 与材料力学解同 2 h l q 第二项同阶 弹性力学的修正项 q xy h l q 同阶 与材料力学解同 应力的量级 y q 同阶 材料力学中不计 22 第三章平面问题的直角坐标解答 当时 量级的值很小 可以不计 应力与材料力学解比较应力与材料力学解比较 最主要量级 和次要量级 在材料 力学中均已反映 且与弹性力学相同 2 h l q h l q 最小量级 在材料力学中没有 q 当时 仅占主项的1 15 6 hl y I M hl q 应力比较 x 2 2 3 4 5 yy q hh 中的弹性力学修正项 第三章平面问题的直角坐标解答 弹性力学与材料力学的解法比较 弹性力学与材料力学的解法比较 应力比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡 微分方程 几何方程和物理方程 以及S上的 所有边界条件 在小边界上尽管应用了圣维南 原理 但只影响小边界附近的局部区域 材料力学在许多方面都作了近似处理 所以得出的是近似解答 23 第三章平面问题的直角坐标解答 几何条件中引用平截面假定 沿为直线分布 bxh d x u y 例如 边界条件也没有严格考虑 平衡条件中没有考虑微分体的平衡 只 考虑的内力平衡 材料力学解往往不满足相容条件 第三章平面问题的直角坐标解答 对于杆件 材料力学解法及解答具有 足够的精度 对于非杆件 不能用材料力学解法求 解 应采用弹性力学解法求解 24 第三章平面问题的直角坐标解答 1 当问题中的y轴为对称轴时 试说明和 应为x的偶函数 而应为x的 奇函数 v yx u xy 思考题 2 对于梁的弯曲问题 试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的 第三章平面问题的直角坐标解答 3 试说明从弹性力学得出的解答 3 6 不 符合平面截面假设 4 材料力学的解答往往不满足相容条件 为什么 25 第三章平面问题的直角坐标解答 3 5 楔形体受重力及液体压力 3 5 楔形体受重力及液体压力 设有楔形体 左面垂直 顶角为 下端无限长 受重力及齐顶液体 压力 0 xf 1g fy o y x n 2 g 1 g 2 第三章平面问题的直角坐标解答 用半逆解法半逆解法求解 因为应力 而应力的量纲 L 1MT 2 只比 L 2MT 2 高一次 L 所以应力 x y 一次式 即可假设应力为x y的一次式 g g 21 g g 21 12 g g 1 用量纲分析法假设应力 26 第三章平面问题的直角坐标解答 2 由应力 关系式 应为x y的三次式 3 满足相容方程 0 4 4 由求应力 62 2 2 dycxxf y xx 26 1 2 2 gybyaxyf x yy 22 2 cybx yx xy 3223 dycxyybxax 注意 体力fx 0 fy 1g 第三章平面问题的直角坐标解答 5 考察边界条件 本题只有两个大边 界 大边 界 均应严格满足应力边界条件 x 0 铅直面 20 gy xx 0 0 xxy a 解出c d d 2g 6 c 0 gydycx xxx200 62 0 22 00 xxxy cybx 27 第三章平面问题的直角坐标解答 tanyx 斜边界上 0 tan yxyxx ml 0 tan yxxyy lm b 须按一般的应力边界条件来表示 有 0 tan2 sin cos 2 bygy 0 tan2 cos 2tan6 sin 1 bygybyay 321 36 ctg g ctg g a 22 2 ctg g b 由式 b 解出 b 第三章平面问题的直角坐标解答 其中 cos cos xnl sin cos ynm 最后的应力解答 2 12 21 2 3 2 2 cotcot c cot cot x y xy gy g 2 g x g g y gx 应力 28 第三章平面问题的直角坐标解答 水平截面上的应力分布如图所示 x y yx x y 2g 1g 第三章平面问题的直角坐标解答 楔形体解答的应用 作为重力坝的参考解答 分缝重力坝接近平面应力问题 在坝体中部的应力 接近楔形体的解答 重力坝的精确分析 可按有限单元法进行 29 第三章平面问题的直角坐标解答 思考题 重力法是按应力求解的 试回忆应力 分量必须满足哪些条件 在重 力法中考虑了哪些条件 xyyx 第三章平面问题的直角坐标解答 本章重点与难点本章重点与难点 一 按应力函数求解平面问题念一 按应力函数求解平面问题念 1 用应力函数表示的应力分量通解 2 应力函数满足的双调和方程 相容方程 二 逆解法与半逆解法的基本步骤二 逆解法与半逆解法的基本步骤 1 逆解法 2 半逆解法 本章总结本章总结 30 第三章平面问题的直角坐标解答 三 多项式解答三 多项式解答 1 一次式 2 二次式 3 三次式 4 四次及以上多项式 四 设置应力函数四 设置应力函数 1 由多项式叠加拼凑 2 由量纲分析法得出 3 根据材料力学解答导出 4 根据边界条件分析 cybxa 22 cybxyax 3223 dycxyybxax 第三章平面问题的直角坐标解答 例题1 例题2 例题3 例题4 例题6 例题5 例题7 31 第三章平面问题的直角坐标解答 例题1 习题 3 7 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用 体力可以不计 图3 12 试用应力函数求 解应力分量 hl 332 DxyCyByAxy 返回例题返回例题 图3 5 x xy M s F N F y dy y x l h 2 h 2 o 1 hl 第三章平面问题的直角坐标解答 解 本题是较典型的例题 已经给出了应 力函数 可按下列步骤求解 1 将代入相容方程 显然是满足的 2 将代入式 2 24 求出应力分量 3 0 662 2 DyA DxyCyB xyy x 32 第三章平面问题的直角坐标解答 3 考察边界条件 主要边界上应精确满足式 2 15 2 hy 2 2 2 0 3 0 0 a 4 yyh xyyh ADh 满足 得 第三章平面问题的直角坐标解答 在次要边界x 0上 只给出了面力的主矢 量和主矩 应用圣维南原理 用三个积分的 边界条件代替 注意x 0是负x面 图3 5中表 示了负x面上的的正方向 由此得 xyx 和 33 第三章平面问题的直角坐标解答 2 0 2 d 2 h N xxN h F yFB h 得 2 0 3 2 2 d h xx h M y yMC h 得 2 3 0 2 1 d b 4 h xYxss h yFAhDhF 得 第三章平面问题的直角坐标解答 由 a b 解出 3 32 2 ss FF AD hh 最后一个次要边界条件 x l上 在平 衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下 是必然满足的 故不必再校核 34 第三章平面问题的直角坐标解答 代入应力公式 得 33 2 2 1212 0 3 14 2 Ns x y s xy FFM yxy hhh Fy hh 第三章平面问题的直角坐标解答 例题2 习题 3 11 挡水墙的密 度为 厚度 为b 图示 水的密 度为 试求 应力分量 图3 15 1 2 y o x 2 b 2 b g 1 g 2 返回例题返回例题 35 第三章平面问题的直角坐标解答 解 用半逆解法半逆解法求解 1 假设应力分量的函数形式 因为在y b 2边界上 y b 2 边界 上 所以可假设在区域内 沿x向 也是一次式变化 即 0 y gx y 2 y yxf y 第三章平面问题的直角坐标解答 2 按应力函数的形式 由 推测 的形式 2 2 2 1 3 12 2 6 y xfy x x fyfy x x fyxfyfy y 所以 36 第三章平面问题的直角坐标解答 3 由相容方程求应力函数 代入得 0 4 0 d d 2 d d d d d d 6 2 2 4 2 4 4 1 4 4 4 3 y f x y f y f x y f x 要使上式在任意的x处都成立 必须 第三章平面问题的直角坐标解答 4 32 4 42 5432 1 1 42 4 32 2 2 4 d 0 d dd 20 dd106 d 0 d f fAyByCyD y ffAB fyyGyHyIy yy f fEyFy y 得 得 得 代入 即得应力函数的解答 其中已 略去了与应力无关的一次式 37 第三章平面问题的直角坐标解答 4 由应力函数求解应力分量 将 代入式 2 24 注意 体力求得应力分量为 0 1 yx fgf 2 3 2 32 1 3 2262 62 xx B xfxAy y xAyByGyHEyFgx 2 32 2 yy yfx AyByCyD x 22 2 432 32 2 2 32 23 xy x A yB yC xy AB yyG yH yI 第三章平面问题的直角坐标解答 5 考察边界条件 主要边界主要边界上 有 2 by 22 yy b gx 2 0 yyb 2 0 xyyb 32 2 a 842 bbb x ABCDgx 32 0 b 842 bbb xABCD 22 432 3 24 3 0 32124 xb ABb C bbb ABGHb I 得 得 得 38 第三章平面问题的直角坐标解答 由上式得到 2 3 0 c d 4 b ABbC 432 3 0 e f 32124 bbb ABGH bI 第三章平面问题的直角坐标解答 求解各系数 由 a b a b 3 2 1 822 bb ACg 2 3 C0 4 b A 2 2 1 42 b BDg 3 2 1 822 bb ACg c d c d 得 得 得 得 39 第三章平面问题的直角坐标解答 由此得 22 3 23 2 AgCg bb 又有 0 4 3 32 0 24 I b G b Afe Hfe 得 得 代入A 得 2 2 3 g 164 bb IgG 第三章平面问题的直角坐标解答 在次要边界次要边界 小边界 x 0上 列出三 个积分的边界条件 2 0 2 2 0 2 2 2 02 2 d0 0 d0 0 d0 h 804 b xx b b xx b b xyx b yF yyE bb yIgG 得 得 得 由式 g h 解出 10 1 80 22 g b Gg b I 40 第三章平面问题的直角坐标解答 代入应力分量的表达式得最后的应力解答 33 222 1 33 3 2 3 23 2 22 33 234 5 21 2 3