《概率论与数理统计教程》课件

2 9二维随机变量的联合分布 二维随机变量的概念二维随机变量的分布函数二维离散随机变量的概率分布二维连续随机变量的概率密度 二维随机变量的概念 注 二维r v X Y 的性质不仅与X和Y有关 而且还依赖于这两个r v 的相互关系 二维随机变量的分布函数 设 X Y 是二维随机变量 对于任意实数x y 称 为二维随机变量 X Y 的分布函数 或称为二维随机变量 X Y 的联合分布函数 注 若将二维随机变量 X Y 看作是平面上的随机点的坐标 则分布函数在点 x y 处的函数值 就是随机点 X Y 落在如图所示的以点 x y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率 联合分布函数的性质 1 2 F x y 分别是变量x y的单调不减函数 3 对任意x y 有 二维离散随机变量的概率分布 L 1 j y x 2 j j 或可列多对则称 j i j i 的联合概率函数 L 2 联合概率函数的性质 若二维随机r v 的联合概率函数知道 则联合概率分布函数为 二维连续随机变量联合概率密度函数的性质 课堂练习 2 10二维随机变量的边缘分布 二维离散随机变量的边缘分布边缘分布函数边缘分布与联合分布的关系二维连续随机变量的边缘概率密度 一 二维离散r v 的边缘概率函数 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 则X的边缘概率函数为 Y的边缘概率函数为 X Y 二 边缘分布函数 三 边缘分布函数与联合分布函数的关系 注意 由二维随机变量 X Y 的联合概率分布可唯一地确定X和Y的边缘分布 反之 若已知X Y的边缘分布 并不一定能确定它们的联合分布 四 二维连续r v 的边缘概率密度 例2 设随机向量 X Y 服从区域D上的均匀分布 其中D x y x2 y2 1 求X Y的边缘密度函数f1 x 和f2 y 解 1 由题意得 1 1 当 x 1时 f x y 0 所以 f1 x 0 当 x 1时 所以 同理 注意 均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 2 11随机变量的独立性 例1 X Y 的联合概率分布为 1 求X Y的边缘分布 2 判断X Y是否独立 解 1 X Y的概率分布分别为 X01P0 70 3 Y01P0 50 5 2 P X 0 Y 0 0 3 P X 0 P Y 0 0 35 X Y不独立 注意 X Y独立时 需对所有的 xi yj 一一验证 0 7 0 5 例2已知随机向量 X Y 的联合密度为 1 问X与Y是否独立 2 求概率 解 1 2 P X Y 所以 X Y独立 例3 设 X Y 服从区域D上的均匀分布 判断X Y的独立性 其中 1 D x y x 1 y 1 2 D x y x2 y2 1 f1 x x 1 x 1 0 f2 y 解 1 同理 所以 X Y独立 2 所以 X Y不独立 2 12二维随机变量函数的分布 和的分布商的分布平方和的分布最值的分布 离散型r v 和的分布 离散型r v X Y 求Z X Y的概率分布 X Y独立 连续型r v 和的分布 连续型r v X Y 求Z X Y的概率密度 结论 若X Y是连续型r v 且X与Y相互独立 则X Y也是连续型r v 且它的密度函数为X与Y的密度函数的卷积 例3设随机变量X与Y独立 并且都在区间 a a 上服从均匀分布 求它们的和Z X Y的分布 商的分布 了解 X Y独立时 平方和的分布 注 最大值的分布 设X Y相互独立 分布函数分别为FX x 和FY y 求M max X Y 的分布 最小值的分布 设X Y相互独立 分布函数分别为FX x 和FY y 求m min X Y 的分布 推论 1 设X1 X2 Xn相互独立 分布函数分别为F1 x F2 x Fn x 则M max X1 X2 Xn 的分布函数为FM z F1 z F2 z Fn z m min X1 X2 Xn 的分布函数为Fm z 1 1 F1 z 1 F2 z 1 Fn z 2 当X1 X2 Xni i d 时 设分布函数为F x 则FM z F z n Fm z 1 1 F z n 例7设随机变量X Y相互独立 且都服从U a b 求 1 Z1 max X Y 的概率密度 2 Z2 min X Y 的概率密度 例8有2个相互独立的工作的电子装置 它的寿命X1 X2服从同一指数分布 其概率密度为若将这个电子装置串联接组成整机 求整机寿命的数学期望 备注 利用 分布函数法 导出两r v 的和 商等的分布函数或密度函数的公式 其要点为 课堂练习 2 设随机变量X与Y独立 且X U 0 5 Y E 5 令 求 1 X Y的概率密度 2 Z的分布律 本章小结 理解随机变量的概念 理解离散型随机变量的分布律的概念与性质 理解连续型随机变量概率密度的概念与性质 理解随机变量分布函数的概念和性质 会用分布律 概率密度 分布函数计算随机事件的概率 掌握二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 会求简单随机变量函数的概率分布 了解二维随机变量的概念掌握二维随机变量的联合分布函数及其性质 掌握二