数列求通项及求和专项讲义(杰中杰教育).doc

杰中杰教育 数列综合题型方法训练数列综合题型方法训练（适用基础较好学员使用）第一部分 综合基础题型方法一、求数列通项：求数列通项常用的有公式法、累加法、累乘法、待定系数法、迭代法以及换元法等.1 公式法：公式法即运用数列通项与前项和的关系()或等差、等比数列公式求通项，注意验证.例1 已知数列的前项和，求数列的通项.解析：此题已知数列的前项和公式，且既不是等差数列也不是等比数列，用公式求通项 由题意， 所以数列的通项为（）练习1 数列的前项和，求数列的通项.练习2 数列的前项和，求数列的通项.练习3 数列的前项和，求数列的通项.2 累加法：对于的形式，可以用累加法，注意验证.例2 已知数列满足，求数列的通项.解析：由于已知，将等式右边左移，然后用累加法求得数列通项 由题意得 将上述等式左、右两边对应相加得即 式左边是首项为2，公比为2的等比数列前项和，则求得， 所以数列的通项为练习1 已知数列满足，求数列的通项.练习2 已知数列满足，求数列的通项.练习3 已知数列满足，求数列的通项.3 累乘法：对于的形式，可以累乘法，注意验证.例3 已知数列满足，求数列的通项.解析： 由题意得 将上述式子等式两边对应相乘得即 所以数列的通项为（）练习1 已知数列满足，求数列的通项.练习2 已知数列满足，求数列的通项.4 待定系数法：对于的形式，构造求得表达式中的系数值，然后另，可以发现数列是以为首项，为公比的等比数列，求得的通项，从而可求数列的通项，注意验证.例4.1 已知数列满足，求数列的通项.解析： 由题意设（），即 将代入式解得， 则得到，故是以为首项，公比为2的等比数列，则有 ， 故数列的通项为例4.2 已知数列满足，求数列的通项.解析： 由题意设（），即 将代入式解得 则有，故是以为首项， 公比为的等比数列，即有 ， 故数列的通项为 例4.3 已知数列满足，求数列的通项.解析： 由题意设（），即 将代入式解得： 得，故是以为首项，公比为3的等比数列， 则有，即 ，故数列的通项为练习1 已知数列满足，求数列的通项.练习2 已知数列满足，求数列的通项.练习3 已知数列满足，求数列的通项.练习4 已知数列满足，求数列的通项.（提示：当时，可以将等式各项同时除以后再用待定系数法）5 迭代法：对于及的形式，可以用迭代法求得数列的通项，注意验证.例5 已知数列满足，求数列的通项.解析：由题意可以用迭代法求解 故（指数是一个以1为首项，末项为，公差为2的等差数列求前项和） 则，且，故数列的通项为（此题也可用累乘法）.练习1 已知数列满足，求数列的通项.练习2 已知数列满足，求数列的通项.练习3 已知数列满足，求数列的通项.小结： 常用的几个特殊处理类型：（1）对于形式，通常可以将整个式子各项同时除以然后可使用待定系数法构造形式的等比数列求解；（2）对于的形式，可以将整个式子各项同时除以然后用待定系数法构造形式的等比数列求解；（3）对于的形式，用将去掉以后再用其他方法求解；（4）对于的形式，可以用换得，然后用其他方法求解（换元法）；（5）对于的形式，可以用等式两边同时取对数，然后再用待定系数法构造形式的等比数列求解；巩固练习（1）已知数列的前项和，求数列的通项.（2）已知数列满足，求数列的通项.（3）已知数列满足，求数列的通项.（4）已知数列满足，求数列的通项.（5）已知数列满足，求数列的通项.（6）已知数列满足，求数列的通项.（7）已知数列满足，求数列的通项.（8）已知数列满足，求数列的通项.（9）已知数列满足，求数列的通项.（10）已知数列满足，求数列的通项.（11）已知数列满足，求数列的通项.（12）已知数列满足，求数列的通项.二、数列求和：常用的数列求和方法有用等比等差数列的公式及性质求解、裂项相消求和、并项求和、分组求和、错位相减求和、倒序相加求和等.1 公式性质法：运用等差、等比数列求和公式，等差、等比数列连续K项和之间关系以及等差等比数列奇偶项数关系等求解.例1.1 已知等差数列的前项和为，求.例1.2 已知公差为等差数列的前项和为，求.例1.3 已知等比数列的公比为2，前项和为，求.练习1 已知等比数列的前项和为，求.练习2 已知等差数列公差为2，前项和为，求数列的全部项数之和.2 裂项相消：数列通项公式诸如 、及等形式，可以用将其裂项为、及的方式来求和.例2.1 已知数列满足 ，求数列前项和.例2.2 已知数列满足，求数列前项和.练习1 已知等差数列的公差即首项均为2，若，求数列的前项和.练习2 已知数列满足，求数列前项和.练习3 求数列的前项和.3 错位相减：对于数列通项公式为的形式，可以先写出，再构造，两式子错位相减得 .例3.1 求数列的前项和.例3.2 已知等比数列的公比和首项均为2，等差数列的公差和首项均为3，若，求数列前项和为.练习1 已知等比数列的公比和首项均为2，等差数列的公差和首项均为3，若，求数列前项和为.4 分组求和：对于数列通项公式为的形式，可以将其按等差、等比分别求和.例4.1 求数列的