上海电机学院材料力学第三章 扭转.ppt

1 第三章扭转 2 标题 第三章扭转 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 3 1扭转的概念和实例 3 3纯剪切 3 4圆轴扭转时的应力 3 5圆轴扭转时的变形 3 一 概述 汽车传动轴 3 1扭转的概念和实例 4 汽车方向盘 3 1扭转的概念和实例 5 丝锥攻丝 3 1扭转的概念和实例 6 二 受力特点 Characterofexternalforce 杆件的两端作用两个大小相等 方向相反 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶 三 变形特点 Characterofdeformation 杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动 7 直接计算 1 外力偶矩 二 外力偶矩扭矩和扭矩图 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 8 按输入功率和转速计算 电机每秒输入功 外力偶作功完成 已知轴转速 n转 分钟输出功率 Pk千瓦求 力偶矩Me 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 9 T Me 2 扭矩和扭矩图 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 10 T Me 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 11 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 12 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 13 扭矩正负规定 右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正 反之为负 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 14 扭矩图 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 15 解 1 计算外力偶矩 例题3 1 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 16 2 计算扭矩 3 扭矩图 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 17 解 1 计算外力偶矩 例题3 1 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 18 3 2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 19 3 3纯剪切 纯剪切 单元体截面上只有切应力而无正应力作用 这种应力状态叫做纯剪切应力状态 20 R0 薄壁圆筒 规定 矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正 薄壁圆筒的扭转 扭转 21 3 3纯剪切 一 薄壁圆筒扭转时的切应力 微机控制扭转试验机 22 扭转实验前 平面假设成立 相邻截面绕轴线作相对转动 横截面上各点的剪 切 应力的方向必与圆周线相切 纵线 圆周线 扭转实验后 结论 扭转 23 3 3纯剪切 一 薄壁圆筒扭转时的切应力 q q截面相对于p p截面转动 扭转后 24 3 3纯剪切 二 切应力互等定律 25 3 3纯剪切 二 切应力互等定律 26 3 3纯剪切 二 切应变剪切胡克定律 其中 比例常数G称为切变模量 常用单位 GPa 27 3 3纯剪切 二 切应变剪切胡克定律 28 3 3纯剪切 二 切应变剪切胡克定律 对各向同性材料可以证明 弹性常数E G 存在关系 表明3个常数只有2个是独立的 变形几何关系 物理关系 静力关系 3 4圆杆扭转的应力分析 强度条件 30 1 变形现象 1 轴向线仍为直线 且长度不变 2 横截面仍为平面且与轴线垂直 一 变形几何关系 3 径向线保持为直线 只是绕轴线旋转 2 平面假设变形前为平面的横截面 变形后仍保持为平面 31 O1 O2 3 几何关系 倾角 是横截面圆周上任一点A处的切应变 d 是b b截面相对于a a截面象刚性平面一样绕杆的轴线转动的一个角度 经过半径O2D上任一点G的纵向线EG也倾斜了一个角度 它也就是横截面半径上任一点E处的切应变 32 同一圆周上各点剪应力 均相同 且其值与 成正比 与半径垂直 二 物理关系 由剪切胡克定律 33 三 静力关系 1 公式的建立 结论 代入物理关系中得到 式中 T 横截面上的扭矩 求应力的点到圆心的距离 IP 为横截面对圆心的极惯性矩 34 Wt称作抗扭截面系数 单位为mm3或m3 2 的计算 r O T dA dA 35 1 实心圆截面 3 极惯性矩和抗扭截面系数的计算 2 空心圆截面 其中 36 应力公式 1 横截面上任意点 2 横截面边缘点 其中 扭转 37 例题2图示空心圆轴外径D 100mm 内径d 80mm M1 6kN m M2 4kN m 材料的剪切弹性模量G 80GPa 1 画轴的扭矩图 2 求轴的最大切应力 并指出其位置 38 1 画轴的扭矩图 BC段 T1 M2 0 T2 M2 M1 0 T2 2kN m AB段 最大扭矩发生在BC段Tmax 4kN m 39 2 求轴的最大切应力 并指出其位置 max 最大切应力发生在截面的周边上 且垂直于半径 max 40 3 4圆轴扭转时的应力 例AB轴传递的功率为P 7 5kW 转速n 360r min 如图所示 轴AC段为实心圆截面 CB段为空心圆截面 已知 D 3cm d 2cm 试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力 例题3 2 41 已知 P 7 5kW n 100r min 最大切应力不得超过40MPa 空心圆轴的内外直径之比 0 5 二轴长度相同 求 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2 确定二轴的重量之比 解 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴 例题3 3 3 4圆轴扭转时的应力 42 已知 P 7 5kW n 100r min 最大切应力不得超过40MPa 空心圆轴的内外直径之比 0 5 二轴长度相同 求 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2 确定二轴的重量之比 空心轴 d2 0 5D2 23mm 3 4圆轴扭转时的应力 43 确定实心轴与空心轴的重量之比 空心轴 D2 46mm d2 23mm 实心轴 d1 45mm 长度相同的情形下 二轴的重量之比即为横截面面积之比 3 4圆轴扭转时的应力 44 已知 P1 14kW P2 P3 P1 2 n1 n2 120r min z1 36 z3 12 d1 70mm d2 50mm d3 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 P1 14kW P2 P3 P1 2 7kW n1 n2 120r min 解 1 计算各轴的功率与转速 M1 T1 1114N m M2 T2 557N m M3 T3 185 7N m 2 计算各轴的扭矩 例题3 3 3 4圆轴扭转时的应力 45 3 计算各轴的横截面上的最大切应力 3 4圆轴扭转时的应力 46 1 数学表达式 Mathematicalformula 四 强度条件 StrengthCondition 47 三 强度条件 强度条件 t 许用切应力 轴扭转时 其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态 所以 扭转许用切应力也可利用上述关系确定 根据强度条件可进行 强度校核 选择截面 计算许可荷载 理论与试验研究均表明 材料纯剪切时的许用切应力 t 与许用正应力 之间存在下述关系 对于塑性材料 t 0 5一0 577 对于脆性材料 t 0 8 1 0 l 式中 l 代表许用拉应力 扭转 48 1 等截面圆轴 2 阶梯形圆轴 五 圆轴扭转时的强刚度设计 3 4圆轴扭转时的应力 49 A B C 解 作轴的扭矩图 MA MB MC 分别校核两段轴的强度 例题3图示阶梯圆轴 AB段的直径d1 120mm BC段的直径d2 100mm 扭转力偶矩为MA 22kN m MB 36kN m MC 14kN m 已知材料的许用切应力 80MPa 试校核该轴的强度 因此 该轴满足强度要求 50 例题4实心圆轴 和空心圆轴 图a b 材料 扭转力偶矩m和长度l均相等 最大切应力也相等 若空心圆轴的内外径之比为 0 8 试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比 l l a b 分析 设实心圆截面直径为d1 空心圆截面的内 外径分别为d2 D2 又扭转力偶矩相等 则两轴的扭矩也相等 设为T 已知 d d2 D2 51 因此 解得 两轴材料 长度均相同 故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻 即节省材料 52 相对扭转角 抗扭刚度 四 圆轴扭转时的变形计算 3 5圆轴扭转时的变形 53 单位长度扭转角 扭转刚度条件 许用单位扭转角 3 5圆轴扭转时的变形 54 扭转强度条件 扭转刚度条件 已知T D和 校核强度 已知T和 设计截面 已知D和 确定许可载荷 已知T D和 校核刚度 已知T和 设计截面 已知D和 确定许可载荷 t t 3 5圆轴扭转时的变形 55 例题 3 5圆轴扭转时的变形 56 3 5 圆轴扭转时的强度条件刚度条件圆轴的设计计算 例题 57 2 扭矩图 按刚度条件 3 直径d1的选取 按强度条件 3 5 圆轴扭转时的强度条件刚度条件圆轴的设计计算 58 按刚度条件 4 直径d2的选取 按强度条件 5 选同一直径时 3 5 圆轴扭转时的强度条件刚度条件圆轴的设计计算 59 6 将主动轮安装在两从动轮之间 受力合理 3 5 圆轴扭转时的强度条件刚度条件圆轴的设计计算 60 例题5图示等直杆 已知直径d 40mm a 400mm 材料的剪切弹性模量G 80GPa DB 1 试求 1 AD杆的最大切应力 2 扭转角 CA 解 画扭矩图 计算外力偶矩M DB CB DC 1 Tmax 3Me 61 1 AD杆的最大切应力 2 扭转角 CA 62 例题6某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成 钢管外径D 76mm 壁厚t 2 5mm 轴传递的转矩M 1 98kN m 材料的许用剪应力 100MPa 剪变模量为G 80GPa 轴的许可扭角 2 m 试校核轴的强度和刚度 63 解 轴的扭矩等于轴传递的转矩 轴的内 外径之比 由强度条件 由刚度条件 64 将空心轴改为同一材料的实心轴 仍使 max 96 1MPa 两轴材料 长度均相同 故两轴重量比等于两轴的横截面积比 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻 即节省材料 其截面面积为 空心轴的截面面积为 65 例题7两端固定的圆截面杆AB 在截面C处受一个扭转力偶矩M的作用 如图所示 已知杆的抗扭刚度GIP 试求杆两端的支反力偶矩 66 解 去掉约束 代之以支反力偶矩 这是一次超静定问题 须建立一个补充方程 C截面相对于两固定端A和B的相对扭转角相等 杆的变形相容条件是 67 C M a b A B l 1 变形几何方程 2 由物理关系建立补充方程 解得 68 例题8图示一长为l的