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第三章空间向量与立体几何 3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 共线向量定理 复习 共面向量定理 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 问题 我们知道 平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 平面向量基本定理 对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢 一 空间向量的坐标分解 给定一个空间坐标系和向量且设为空间两两垂直的向量 设点Q为点P在所确定平面上的正投影 由平面向量基本定理有 一 空间向量的坐标分解 由此可知 如果是空间两两垂直的向量 那么 对空间任一向量 存在一个有序实数组 x y z 使得我们称为向量在上的分向量 空间向量基本定理 都叫做基向量 注 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在有序实数组 x y z 使 探究 在空间中 如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗 1 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 特别提示 对于基底 a b c 除了应知道a b c不共面 还应明确 2 由于可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是 3 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关连的不同概念 推论 设O A B C是不共线的四点 则对空间任一点P 都存在唯一的有序实数组 x y z 使当且仅当x y z 1时 P A B C四点共面 二 空间直角坐标系 x y z e1 e2 e3 O 在空间直角坐标系O xyz中 对空间任一向量 平移使其起点与原点o重合 得到向量OP P由空间向量基本定理可知 存在有序实数组 x y z 使P xe1 ye2 ze3 此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系oxyz中的坐标 x y z 其中x叫做点P的横坐标 y叫做点P的纵坐标 z叫做点P的竖坐标 x y z O P x y z e1 e2 e3 在空间直角坐标系O xyz中 对空间任一点P 对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组x y z 使 如图 显然 向量的坐标 就是点P在此空间直角坐标系中的坐标 x y z x y z O P x y z 也就是说 以O为起点的有向线段 向量 的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系 从而互相转化 我们说 点P的坐标为 x y z 记作P x y z 其中x叫做点P的横坐标 y叫做点P的纵坐标 z叫做点P的竖坐标 e1 e2 e3 例题讲解 2
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