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“点”与“拨”激发学生思维的火花一堂求数列通项训练课（片断）宁波市北仑明港中学 陆安定一、教案例描述上课伊始，老师在黑板上打出上节课后留下的思考题：已知数列an中，a2=2，an+1=(nN*)，求数列通项公式an。让学生各抒己见，充分发表自己的观点，老师一一笑纳，并不失时机地给予“点”、“拨”引导，帮助学生在反思的基础纠正错误，进入正确的解题方向，下面是对这部分教学过程的描述：学生1：由a2=，a2=2。得a1=故d= a2- a1=2+=an=a1+(n-1)d=n-老师：你用等差数列通项公式求出了an，但，你知道这是等差数列吗？学生：不知。老师：不是等差数列，能用等差数列的公式吗？学生：不能。老师：对呀！只有确定了数列是等差数列，才能用等差数列的有关知识。请大家务必要防止这种对公式盲目的“套用”现象。学生2：由递推公式，可以求得此数列的前4项为：-，2，统一形式为：，。则易知此数列中的项是一个分数，且分子都是2，分母依次组成等差数列，从而得：an=老师：这位同学非常好地运用了“通过前几项排列的规律，获知第n项结果”这种从具体到一般的数学思想方法，完成得很精采，我想信所有的同学肯定都有同感，这种方法很值得大家借鉴、学习。（话锋一转）但我总有这么一种担心，a5是不是仍符合前四项的这个规律？学生：有，我算过a5=老师：那a6呢？（静观学生中的反应，然后）a7呢？应该承认，以后的项是否仍有这样的排列规律，的确不得而知，在没有找到这样的保证之前，这位同学的结果，只能算是对an的一个猜测（推测）。老师： 猜测需要证明（找到保证）！ （ 引出新问题：怎么证明？还是另辟途径？）以下是另辟途径的启发、引导过程。老师：你们都确信an=是正确的吗？学生：是。老师：那么an确实不是等差数列，因为等差数列的通项公式是n的一次函数形式，而an不是，但（让学生思考）。学生： =2n- 是n的一次式，因而是等差数列。老师：受此启发，大家不是找到解题的新方向了吗？（师生一起：论证： -=2）老师：动手试一下。（让学生板演推论过程后）老师：由于证明了是等差数列，因此，可以应用等差数列的通项公式得：=+（n-1）2，求得an=老师小结：在猜想结果启发下，我们发现了一个相关的等差数列，进而通过等差数列的知识解决了这个问题。这条思路的发现方法，又是非常值得同学们学习和仿效的。对猜想结果的论证，用以后学习的数学归纳法这种论证方法一般都可以方便地解决。因此，在数列问题中，算前几项，猜后面的项是行之有效的解决方法。课后，请大家做下面一道题，作为进一步的学习材料：数列an中，a1=3，an= 2an-1-1（nN，n1），求an。老师：在黑板上打出第二题： 已知数列an的前n项之和 Sn=3+2n-2n，求an。给予学生适当的思考时间后，开始交流和讨论，汇报他们所做所得。老师：是不是与上题一样，也通过算几项，猜一猜？学生：是。老师：好！那么a1=？a2=？ a3=？ a4=？ 学生：a1=3，a2=0，a3=-2，a4=-6（老师在算法上有意识的征求大家的意见，并在a1 、a2、 a3、 a4的值旁边注上所获得的最佳探求过程：a1= s1 ，a2= s2- s1 ，a3= s3- s2 ，a4= s4- s3。）老师：根据前四项的数值，很难找出其中排列的明显规律（上一题的方法）。对不对？请大家开拓一下思路，扩大观察的视野。学生：从算的式子看，可以得到规律：an =Sn -Sn-1，进而得an=2-2n-1。老师：太好了！先猜测列出的会是什么样的式子，进而推测出会有的结果，学会分步完成非常好！对这个猜测的结果，大家有没有异议？学生：n=1时，不是这个形式，而是a1=S1，因而要分类写。老师：也就是an=学生：对。老师：这个结果当然仍是猜测，想想怎么证明？（一会后）其实也非常容易证明：Sn =a1 + a2 + an-1 +an ，Sn=a1 + a2 + +an-1（1），就可以推出Sn -Sn-1= an（两式相减），而n=1时，a1= S1 显然！老师小结：在算前几项，猜后面的项这一方法实施过程中，算前几项的目的并不在于这几项的数值是多少，而是在于找后面的项所具有的规律。本例说明，有时列式子，比算数值更有用，因为“列式”更有利于找出从中的规律！本例也获得了数列前n项和与通项之间的关系an=，这很重要，希望同学们重视，并学会应用。也留一个题，供大家课后练习：已知数列an满足下列条件之一，分别求an：（1）a1 +a2 + 3a3 +n an=3-2n（2）a1 . a2 an=n（n+1）（以下略）二、案例分析：本案例采用了师生互动的探究式教学方法，与传统的讲授式教学法相比：1、课堂教学的“密度”并没有因为“探究”而降低。教学的内容包括知识学习与能力培养等方面，用此教学法，一堂课讲的例题的数量也许是少了，但一方面由于学生的主动参与，身临其境，全面经历了问题解决的全过程。这里面有成功体验，更有失败教训，但一切都弄得明明白白，成也明白，败也明白。而这一切对学生的学会学习和今后的成长都是难能可贵的。真实发生的一切所留下的深刻印象更有助于学生对知识的理解和掌握，且不易遗忘。另一方面，学生反馈的信息，使教师了解了学生，能够为学生作适时的“点”、“拨”，更能激发学生思维的“火花”，提高分析问题和解决问题的能力。2、课堂教学真正成为教师与学生既分工又协作的有机结合体，教学效益达到最佳。在本案例描述的教学过程中，教师扮演的不是无所不能而居高临下的权威角色，而是整个教学活动的组织者，参与者和指导者。教师实际上事先就将教学内容分成三类，设计并采用了截然不同的教学方法：第一类为学生自己能独立完成的，结果全都让他们独立去完成（做），教师不代替；第二类为学生不能独立完成，但能在教师指导（点、拨）下完成的，教师就“点”到为止，“扶”学生一把；第三类为确实要教师传授的，教师才适时进行讲授。这样，教师做教师的事，学生做学生的事，课堂上，教师的教与学生的学井然有序，自然创造最佳效益。本案例主要教学内容涉及纠错（第一题中的对公式的盲目“套用”，一般学生常犯）和易错点的（第二题中an要分n=1和 n1两段列出）强化、数列前n项和与通项之间的关系及构造等差（比）数列解题和“通过前几项排列的规律，获知第n项结果”这种从具体到一般等数学思想方法，它们在教学过程中自然地始终被摆在最突出的地位而得以突破和把握，更可贵的是这些最重要的教学目标的实现是在那样自然的教学氛围中，在学生不知不觉中自然完成的！3、解题能力培养是贯穿始终的一个重要的教学内容，而这方面，本案例做得更为突出！著名的数学教育专家过伯祥先生在评解析几何中的两圆问题探索性习题训练案例时指出：一个典型的例习题，对教学来说，决不是“（应）怎么去解？”，更重要的是“（可，该）怎么去想？”的问题，对一个例习题作多角度分析，给学生的发展所带来的好处是无容置疑的。本案例，正是教师在这方面的又一成功探索和尝试。教学过程中，在教育、引导学生对问题“（可、该）怎么去想”方面，作了大量的“点”与“拨”的工作，方法上也下了很大功夫，观察学生，思维被有效激活，发言踊跃，对学习表现出极大兴趣。有理由相信，假以时日